人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 素养评价练习：1.1.1空间向量及其线性运算（含解析）

一　空间向量及其线性运算
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.如图所示,在四棱柱的上底面ABCD中,=,则下列向量相等的是(　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
2.已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,则++为 (　　)
A. B. C. D.0
3.四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是平行四边形,M是AC与BD的交点.若=a,=b,=c,则可以表示为 (　　)
A.a+b+c　　　　　 B.-a-b+c
C.-a-b-c D.a+b+c
4.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有=x++,则x的值为(　　)
A.1 B.0 C.3 D.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.把所有单位向量的起点移到同一点,则这些向量的终点组成的图形是　　.
6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,则下列结论中正确的是　　　　.
①+与+是一对相等向量;
②-与-是一对相反向量;
③+++与+++是一对相反向量;
④-与-是一对相等向量.
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点,化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量:
(1)+;(2)++;(3)--.
8.如图,已知M,N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心,G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3.求证:B,G,N三点共线.
　　　　　(15分钟·30分)
1.(5分)(多选题)已知空间向量,,,,则下列结论正确的是 (　　)
A.=+ B.-+=
C.=++ D.=+
2.(5分)已知空间四边形OABC,其对角线为OB和AC,M,N分别是边OA,CB的中点,点G在线段MN上,且使MG=2GN,用向量,,表示向量是 (　　)
A.=++
B.=++
C.=++
D.=++
3.(5分)对于空间中的非零向量,,,有下列各式:①+=; ②-=; ③||+||=||;④||-||=||.其中一定不成立的是　　　　.
4.(5分)在三棱锥A-BCD中,若△BCD是正三角形,E为其中心,则化简+ --的结果为　　　　.
5.(10分)已知M,G分别是空间四边形ABCD的两边BC,CD的中点,化简下列各式.
(1)+(+);(2)-(+).
(2)分别取AB,AC的中点S,N,
1.如图,已知空间四边形ABCD中,=a-2c,=5a+6b-8c,对角线AC,BD的中点分别为E,F,则=　　　　.(用向量a,b,c表示)
2.如图,已知OE是平行六面体OADB-CFEG的体对角线,点M是△ABC的重心,求证:点M在直线OE上.
一　空间向量及其线性运算答案
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.如图所示,在四棱柱的上底面ABCD中,=,则下列向量相等的是(　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
【解析】选D.根据题意可知,与,与为相反向量,与只是模相等.
2.已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,则++为 (　　)
A. B. C. D.0
【解析】选A.++=+=.
3.四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是平行四边形,M是AC与BD的交点.若=a,=b,=c,则可以表示为 (　　)
A.a+b+c　　　　　 B.-a-b+c
C.-a-b-c D.a+b+c
【解析】选C.因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是平行四边形,M是AC与BD的交点,所以=+,=-=-(+),所以=-c-a-b.
4.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有=x++,则x的值为(　　)
A.1 B.0 C.3 D.
【解析】选D.因为=x++,且M,A,B,C四点共面,所以x++=1,x=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.把所有单位向量的起点移到同一点,则这些向量的终点组成的图形是　　.
【解析】在空间中把所有的单位向量的起点移到同一点,则这些向量的终点组成的图形是以这些单位向量的公共起点为球心,半径为1的球面.
答案:球面
6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,则下列结论中正确的是　　　　.
①+与+是一对相等向量;
②-与-是一对相反向量;
③+++与+++是一对相反向量;
④-与-是一对相等向量.
【解析】依题意,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有+=0,+=0,
+=0,+=0,故(+++)+(+++)=0,③正确;
+与+是相反向量,①错误;-=,-=,所以-=-,②错误;-=,-=,与是相反向量,
所以④错误.
答案:③
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点,化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量:
(1)+;(2)++;(3)--.
【解析】(1)+=.
(2)因为M是BB1的中点,所以=.
又=,所以++=+=.
(3)--=-=.
向量,,如图所示,
8.如图,已知M,N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心,G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3.求证:B,G,N三点共线.
【证明】设=a,=b,=c,则=+=+
=-a+(a+b+c)=-a+b+c,
=+=+(+)
=-a+b+c=,所以∥.
又BN与BG有公共点B,所以B,G,N三点共线.
　　　　　(15分钟·30分)
1.(5分)(多选题)已知空间向量,,,,则下列结论正确的是 (　　)
A.=+ B.-+=
C.=++ D.=+
【解析】选BD.+=,故A错;-+=++=+=,故B正确;++=+,故C错;+=,故D正确.
2.(5分)已知空间四边形OABC,其对角线为OB和AC,M,N分别是边OA,CB的中点,点G在线段MN上,且使MG=2GN,用向量,,表示向量是 (　　)
A.=++
B.=++
C.=++
D.=++
【解析】选A.因为MG=2GN,M,N分别是边OA,CB的中点,所以=+= +=+(++)=++(-)=++.
3.(5分)对于空间中的非零向量,,,有下列各式:①+=; ②-=; ③||+||=||;④||-||=||.其中一定不成立的是　　　　.
【解析】根据空间向量的加减法运算,对于①:+=恒成立;对于③:当,,方向相同时,有||+||=||;对于④:当,,共线且,方向相同,||>||时,有||-||=||.只有②一定不成立.
答案:②
4.(5分)在三棱锥A-BCD中,若△BCD是正三角形,E为其中心,则化简+ --的结果为　　　　.
【解析】如图,延长DE交边BC于点F,则+=,+=+=,故+--=0.
答案:0
5.(10分)已知M,G分别是空间四边形ABCD的两边BC,CD的中点,化简下列各式.
(1)+(+);(2)-(+).
【解析】(1)如图所示,
取BD的中点H,连接MG,GH.
因为M,G分别为BC,CD的中点,
所以四边形BMGH为平行四边形,
所以(+)=+=,
从而+(+)=+=.
(2)分别取AB,AC的中点S,N,
连接SM,AM,MN,则四边形ASMN为平行四边形,
所以(+)=+=,
所以-(+)=-=.
1.如图,已知空间四边形ABCD中,=a-2c,=5a+6b-8c,对角线AC,BD的中点分别为E,F,则=　　　　.(用向量a,b,c表示)
【解析】设G为BC的中点,连接EG,FG,则=+=+=
(a-2c)+(5a+6b-8c)=3a+3b-5c.
答案:3a+3b-5c
2.如图,已知OE是平行六面体OADB-CFEG的体对角线,点M是△ABC的重心,求证:点M在直线OE上.
【证明】如图,连接AM并延长交BC于点H,
因为M是△ABC的重心,所以H为BC的中点,
所以=(+),所以=
=(+)=[(-)+(-)]
=+-,
所以=+=(++).又因为=++=++,所以=,所以点M在直线OE上.
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