人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册《空间向量及其运算课时1》教学设计

《空间向量及其运算》教学设计
课时1空间向量及其线性运算
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
空间向量及其相关概念 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 创造迁移能力 猜想探究 数学抽象 【考查内容】 空间向量及其线性运算，空间向量的共线及共面定理，利用空间向量求夹角和数量积 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
空间向量的线性运算 数学抽象 数学运算
共线向量定理和共面向量定理 数学抽象 数学运算
空间向量的数量积运算 数学运算 数学抽象 逻辑推理
一、本节内容分析
本节的主要内容是空间向量的定义，几种常见的空间向量，零向量、单位向量、共线向量、相等向量、相反向量、方向向量，空间向量的线性运算，向量加法、向量减法、向量数乘，空间向量的夹角以及数量积，空间向量的投影向量，我们可利用空间向量解决有关立体几何中的夹角，距离，平行，垂直等问题.
空间向量是解决立体几何问题的重要手段之一，了解并掌握空间向量在立体几何中的使用有利于解决立体几何中的关键问题.对于本节课而言，它是空间向量的基础，不管是在以后学习中要用空间向量求异面直线的夹角，线面角，面面角，还是两点之间的距离，证明平行，垂直都离不开空间向量的线性运算和数量积，掌握本节课对以后空间向量的学习至关重要.
本节内容的重点是认识空间向量，并能熟练应用线性运算法则进行空间向量的运算，熟练掌握空间向量的数量积，会为以后学习线线角、线面角、面面角起到至关重要的作用.难点是空间向量线性运算以及空间向量数量积.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.空间向量及其相关概念 2.空间向量的线性运算 3.共线向量定理和共面向量定理 4.空间向量的数量积运算 逻辑推理 数学抽象 数学运算 核心素养
二、学情整体分析
学生已经学面向量并对平面向量的相关知识较熟悉，在此基础上学习求解空间向量，学生还是比较容易接受的，也更容易理解，同时也是比较感兴趣的.
鉴于学生在学习平面向量阶段基础参差不齐、认识上也有很大偏差，特别对概念的理解也不是太深入，所以更应该让学生学会自主学习，鼓励学生大胆讨论交流、认真总结，建立能学好数学的自信心.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.空间向量的基本概念
2.空间向量的线性运算
3.共线向量定理
4.共面向量定理
5.空间向量的夹角
6.空间向量的数量积运算
【教学目标设计】
1.通过本节的学习，理解空间向量的有关概念.
2.掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解.
3.能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义.培养空间向量的应用意识.
【教学策略设计】
本节介绍了空间向量的相关概念，线性运算，共线向量定理，共面向量定理和数量积，先由学生自己复习回顾平面向量的相关概念、线性运算、共线向量定理、共面向量定理和数量积，通过对比平面向量和空间向量得出，平面向量和空间向量的关系，进而类比平面向量给出空间向量的相关知识点，并通过例题巩固加深理解.
【教学方法建议】
迁移教学法、问题教学法,还有________________________________________________.
【教学重点难点】
重点
1.掌握空间向量的概念和空间向量的线性运算.
2.掌握空间向量的共线向量定理和共面向量定理.
3.掌握空间向量的夹角和空间向量的数量积.
4.掌握空间向量的投影向量.
难点
空间向量的线性运算、共线向量定理、共面向量定理和数量积.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________.
四、教学活动设计
教学导入
师：对于平面向量而言我们很熟悉，生活中也经常见到，比如力，速度等等，过正方体同一点的三条棱上我们会得到三个向量，它们与以前我们学过的向量有什么不同？
生：这三个向量不是平面向量.
师：也就是说，它们是不共面的向量，不共面的向量与平面向量有什么区别与联系？这就是我们本节要学习研究的问题，也叫做空间向量.
【设计意图】
回顾前面所学过的平面向量，提出新的问题，引出关于本节课的问题，激发学生学习的兴趣，提出本节课题.
教学精讲
探究1 空间向量的基本概念
师：本节我们来研究空间向量的概念和运算，空间向量与平面向量的区别与联系，接下来我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量的知识点.
【学生回顾并回答上述问题，教师予以肯定并总结学生结果】
【设活动 深探究】
回答教师提出的问题，复习旧的知识，为学习新的知识做准备，培养归纳记忆能力.
【要点知识】
平面向量的相关概念
1.平面向量:在平面上既有大小又有方向的量叫做向量.
2.长度或模:平面向量的大小.
3.表示方法:
(1)几何表示法:平面向量用有向线段表示.
(2)字母表示法:用字母表示;若向量的起点是,终点是,也可记作:,其模记为或.
(3)坐标表示法:建立平面直角坐标系后,还可以用坐标表示平面向量.如:.
4.零向量:长度为0的向量叫做零向量,记为0.
5.单位向量:模为1的向量叫做单位向量.
6.相反向量:与向量长度相等而方向相反的向量,叫做的相反向量,记为.
7.共线向量:方向相同或相反的非零向量叫平行向量,也叫共线向量.
8.相等向量:方向相同且模相等的向量叫做相等向量.
师：其实空间向量就是把向量放到空间中了，同学们可以给空间向量下个定义吗？
生：可以.在空间中既有大小又有方向的量.
师：很好，请同学们类比平面向量得到空间向量的其他定义.
生：分组讨论，并回答.
【要点知识】
空间向量的相关概念
1.空间向量:在空间中, 既有大小又有方向的量叫做空间向量.
2.长度或模: 空间向量的大小．
3.表示方法:
(1)几何表示法: 空间向量用有向线段表示.
(2)字母表示法:用字母表示;若向量的起点是,终点是,也可记作:,其模记为或.
(3)坐标表示法:建立空间直角坐标系后,还可以用坐标表示空间向量.如:.
4.零向量:长度为0的向量叫做零向量,记为.
5.单位向量:模为1的向量叫做单位向量.
6.相反向量:与向量长度相等而方向相反的向量,叫做的相反向量,记为.
7.共线向量:方向相同或相反的非零向量叫平行向量,也叫共线向量.
8.相等向量:方向相同且模相等的向量叫做相等向量.
9.方向向量:在直线上取非零向量,与向量平行的非零向量称为直线的方向向量.
【猜想探究能力】
通过类比的手法给出空间向量的概念以及相关知识点，锻炼学生的猜想探究能力.
师：下面练习有关空间向量的有关题目巩固概念.
【要点知识】
利用空间向量的有关概念解题
思考辨析.（正确的打“√”，错误的打“×”）
(1)空间向量,若,则. （ ）
(2)相等向量一定是共线向量. （ ）
(3)三个空间向量一定是共面向量. （ ）
(4)零向量没有方向. （ ）
【概括理解能力】
通过类比的手法给出空间几个特殊向量的概念，并能掌握它们之间的差别与联系，锻炼学生的概括理解能力.
师: 本题考查向量的有关概念, 请同学们独自完成.
【学生回答问题,并说明理由】
生:(1);若时,与不一定平行.
(2)√;相等向量一定共线，但共线不一定相等.
(3);两个空间向量一定是共面向量,但三个空间向量可能是共面的,也可以是不共面的.
(4);零向量有方向,它的方向是任意的.
探究2 空间向量的线性运算
师：在学习平面向量后我们学面向量的运算，空间向量的运算我们也可采用与平面向量相同的方法，首先我们来回顾一下平面向量的加法、减法、数乘.
【学生复习回顾并回答问题】
【多媒体展示】
【要点知识】
平面向量的加、减、数乘运算
1.向量的加法、减法
平面向量的运算 加法
减法
加法运算律 ①交换律: ②结合律:
向量加法用三角形法则或平行四边形法则, 减法用平行四边形法则.
2.平面向量的数乘运算
(1)定义:实数与空间向量的乘积仍然是一个向量,称为向量的数乘运算.
当时,与向量方向相同;当时,与向量方向相反; 的长度是的长度的倍.
(2)运算律
①结合律:.
②分配律:.
【设情境 巧激趣】
复习向量的运算，即平面向量的加法、减法及数乘的运算法则及满足的运算律，培养学生的自主学习能力，提升学生的归纳记忆能力.
师:很好.由此我们可知
生:.
师:予以肯定,对于两个向量来说,空间向量和平面向量有没有区别
生:平面向量可在同一平面内平移,而空间向量也可在空间中平移,平移后的向量与原向量是同一向量.由此得出空间任意两个向量都可转化为共面向量.
师:换句话说,空间任意两个向量都可转化为共面向量,那它们的加、减、数乘运算呢
生:空间任意两个向量的线性运算,平面向量的结论都适用.
【猜想探究能力】
通过上面的学习，学生回答教师提出的问题，猜想、推测，找出空间向量和平面向量的联系，从而最终总结出合适的结论，锻炼猜想探究能力.
【要点知识】
空间向量的加法，减法运算
空间向量的运算 加法
减法
加法运算律 ①交换律: ②结合律:
师：平面向量的加法有几种做法？
生：两种，三角形法则和平行四边形法则.
师：同样的，空间向量的加法也有两种.请同学上黑板展示两向量的加法.
【选一个代表进行展示】
【归纳总结】
空间向量加法的几何作图
三角形法则:已知非零向量,在平面内任取一点,作,则向量叫做与的和,记作,即,这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则,即,三角形法则的结果是向量的首尾相接,如图:
平行四边形法则:先把两个已知向量的起点平移到同一点,再以这两个已知向量为邻边作平行四边形,则这两邻边所夹的对角线所在向量就是这两个已知向量的和.
以为起点作向量,以为邻边作平行四边形,则以为起点的对角线就是与的和,记作,如图:
【概括理解能力】
教师通过引导学生类比平面向量的线性运算归纳空间向量的线性运算，锻炼学生的概括理解能力.
师：空间向量的减法呢？
生：也是两种，三角形法则和平行四边形法则.（其中，平行四边形法则是由相反向量得出，由相反向量的定义可知，，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量）
【学生分组讨论，并总结答案，教师予以肯定学生答案，并多媒体展示】
【深度学习】
通过类比平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，归纳出空间向量加法的三角形法则和平行四边形法则，锻炼学生的概括理解能力.
【归纳总结】
空间向量减法的几何作图
作法一:利用相反向量作图,(同加法)通过向量加法的平行四边形法则作出,作,则,如图:
作法二:已知非零向量,在平面内任取一点,作,则向量叫做与的差,记作,即,这种求向量差的方法,称为向量减法的三角形法则,如图:
师:利用此方法作图时,把两个向量的起点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.
师:空间向量的加法与减法的法则与平面向量的加减法法则是一致的,那么它们的运算律也是一致的.都满足哪些运算律
【学生分组讨论】
生:(1)交换律:.
(2)结合律:.
【要点知识】
空间向量的数乘
实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算.
【深度学习】
通过类比平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，归纳出空间向量减法的三角形法则和平行四边形法则，锻炼学生的概括理解能力.
师:空间向量的数乘与平面向量的数乘是一样的,数乘的运算结果仍然为向量.
当时,与的方向如何 大小呢
生:当时, 与向量方向相同. 的长度是的长度的倍.
师:若或呢 情况又如何
【学生分组讨论,并总结结果,选一个代表回答问题,并展示结果】
生:当时, 与向量方向相同;当时, 与向量方向相反;当时,的长度是的长度的倍.
师:平面向量数乘运算满足哪些运算律 空间向量的数乘运算与平面向量相同,它满足什么运算律呢
生:平面向量数乘运算满足结合律与分配律,所以空间向量也满足结合律与分配律.
【意义学习】
学生通过学习空间向量加法，减法的运算，可以用其解决问题.
【要点知识】
数乘运算的运算律
1.结合律:.
2.分配律:.
【概括理解能力】
通过类比平面向量的数乘，定义空间向量的数乘，锻炼学生的概括理解能力.
师：根据空间向量的线性运算，我们来看下面例题.
【典型例题】
向量的线性运算
例1 在三棱锥中,若是正三角形,为其中心,则化简的结果为_____________.
师：由△BCD是正三角形可知E，F分别是DF与BC的几分点？
生：E是DF的3分点，F是BC的2分点.
师：回答上述例题问题.
【学生利用向量线性运算规则回答上述问题】
【多媒体展示】
【典型解析】
向量的线性运算
解:延长交边于点,连接,
则有,故.
【先学后教】
先引导学生分析题目，本题给出一个正三角形以及正三角形的中心，中心是只有正三角形有的，而且是它的重心，垂心，内心，外心四心合一，所以E是DF的三分点，F是BC的中点，进而根据空间向量的运算法则化解式子，让学生自己感受化解向量式子的方法和具体策略，让学生对做题方法印象更深、运用更好.
探究3 共线向量定理
师:复习回顾平面向量的共线向量定理.
生:共线向量定理:对于平面任意两个向量的充要条件是存在实数使.
师:类似于平面向量共线定理,我们可得出空间向量的共线向量定理.
【要点知识】
共线向量定理
对于空间任意两个向量的充要条件是存在实数使.
师:如图,是直线上一点,在直线上取非零向量,则对于直线上任意一点,由数乘向量定义及共线向量定理可知有什么关系
生:由数乘向量定义及共线向量定理可知,存在实数,使得.
师:是直线上一点,在直线上取非零向量,则对于直线上任意一点,由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知,存在实数,使得.同时我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量.
师:同理,如图,如果为经过已知点且平行于已知向量的直线,那么对任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,满足哪个等式
生:在上取,所以可得到.
师:由向量加法可知,那么.
生:①(或者).
师:还可以得出什么
生:②.
师:①或②式都叫做空间直线的向量参数方程.
师:由此我们得出共线向量定理的推论,也就得出三点共线的证明方法.
【意义学习】
教师通过对学生的提问，使学生加深空间向量的共线向量的定理的理解，加深对它的记忆，在以后学习应用中能够更熟练地使用.
【要点知识】
共线向量定理推论
设三点不共线,那么点在直线上的充要条件是:存在唯一实数,使得.
【概括理解能力】
通过类比平面向量的共线向量定理总结空间向量的共线向量定理，锻炼学生的概括理解能力.
师:从上述推论可知,系数之和为1.
师:下面我们来练习利用共线向量定理及推论解题.
【典型例题】
共线向量定理的应用
例2 设是空间两个不共线的向量,已知,,且三点共线,实数_____________.
师:本题中由三点共线,可知和有何关系
生:由共线向量定理可知,存在实数,使得.
师:请同学黑板展示上题结果.
生解:,设,
则,
所以解得.
【猜想探究能力】
教师一步步引导学生根据空间向量共线定理推导出利用空间向量证明三点共线的共线定理推论，锻炼猜想探究能力.
探究4 共面向量定理
师：下面我们继续探究共面向量.
【要点知识】
共面向量
如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合,那么称向量平行于直线.如果直线平行于平面又或在平面内,那么称向量平行于平面.平行于同一个平面的向量叫做共面向量.
师:我们知道空间任意两个向量总是共面的,空间任意三个向量一定共面吗
生:不一定共面,如图,空间四边形中不共面.
师：那么什么情况下三个空间向量共面呢？请看结论.
【先学后教】
引导学生分析题目，确定完成此题需要用到的定理，然后确定目标，找出合适的向量之间的关系，来证明三点共线.
【要点知识】
共面向量定理及其推论
1.共面向量定理
若两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,使.
2.共面向量定理推论
空间一点位于平面内的充要条件:存在有序实数对,使或对空间任意一点,有.
【概括理解能力】
通过类比平面向量的共面向量定理总结空间向量的共面向量定理，锻炼学生的概括理解能力.
师：下面我们根据共面向量定理及其推论来解题.
【典型例题】
空间向量的共面向量
例3 若空间任意一点和不共线的三点,满足,则点与点是否共面
师：我们可利用共面向量定理推论来解决本题，请同学自主完成.
【自主学习】
学生自主回答问题，通过解决本题，让学生完全理解什么是空间共面向量定理，并锻炼学生计算能力及解题速度，学生自主摸索证明共面的方法，以达到学习以学生为主的目的.
【学生独立思考，并完成.教师多媒体展示】
【典型例题】
空间向量的共面向量
解:由得
即,
因此点与点共面.
【概括理解能力】
根据空间向量的定义，概括总结空间向量共面的定义，锻炼学生的归纳概括理解能力.
【教师：对学生解题过程予以肯定并给出总结】
师：本节课我们要学习的知识已经全部完成.我们来一起回顾我们都学了哪些内容？
（提问同学，并口述回答）
【设计意图】
总结本节课所学知识，让学生对空间向量及其线性运算有一个系统的理解与把握，并巩固所学知识.
【课堂小结】
空间向量及其线性运算
1.空间向量的基本概念
2.空间向量的线性运算
3.共线向量定理
4.共面向量定理
教学评价
学完本节课，学生对空间向量有了深刻认识.这堂课由平面向量引出，通过平面向量类比给出空间向量的相关概念，定义空间向量的加法、减法、数乘以及数量积，体会空间向量在数学学习中的重要性.根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处，不足之处及改进方法.应用所学知识，完成下题：
如图,在中,,AD与BC相交于点M..
【设计意图】
引导学生加深理解空间向量的知识，让学生体会所学知识，通过具体知识点的演练，运用课堂教学中所学分析计算等能力，解决本题，达到数学运算、逻辑推理核心素养目标.
(1)试用和表示向量.
(2)在线段上取一点,在线段上取一点,使过点,设,,当为时,,此时.有人得出如下结论:不论在线段上如何变动,总成立,试问他的这个结论对吗 请说明理由.
解析：(1)设,则.
∵三点共线,∴与共线.
故存在实数,使得,即
,
消去,得,即.①
,,
又三点共线,与共线.
同理可得.②
联立①②,解得,
故.
(2)他的结论是对的.理由如下:
,
又与共线,故存在实数,使得,
即,消去,得.
整理即得.
教学反思
本节课我们学习了空间向量的定义及相关概念，空间向量的线性运算，空间向量的共线向量定理和共面向量定理以及空间向量的数量积.通过探究教学法，让学生更深刻地理解空间向量及其运算的相关知识.
【以学定教】
类比平面向量的定义和相关概念，线性运算以及数量积，给出空间向量的定义和相关概念，线性运算以及数量积，并利用空间向量解决有关问题.
【以学论教】
向量是一种重要的教学工具，是沟通代数和集合的桥梁.空间向量为处理立体几何问题提供了一个新视角，是解决空间中图形位置关系与度量问题的有效手段.在教学过程中，使学生体会认识事物的本质，体会数形结合的数学思想方法，并提高运用所学知识解决实际问题的能力.通过学习和运用，进一步使学生体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养.
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