人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册1.1 《空间向量及其运算》课时2 教学设计

《空间向量及其运算》教学设计
课时2空间向量的数量积运算
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
空间向量及其相关概念 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 创造迁移能力 猜想探究 数学抽象 【考查内容】 空间向量及其线性运算，空间向量的共线及共面定理，利用空间向量求夹角和数量积 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
空间向量的线性运算 数学抽象 数学运算
共线向量定理和共面向量定理 数学抽象 数学运算
空间向量的数量积运算 数学运算 数学抽象 逻辑推理
一、本节内容分析
本节的主要内容是空间向量的定义，几种常见的空间向量，零向量、单位向量、共线向量、相等向量、相反向量、方向向量，空间向量的线性运算，向量加法、向量减法、向量数乘，空间向量的夹角以及数量积，空间向量的投影向量，我们可利用空间向量解决有关立体几何中的夹角，距离，平行，垂直等问题.
空间向量是解决立体几何问题的重要手段之一，了解并掌握空间向量在立体几何中的使用有利于解决立体几何中的关键问题.对于本节课而言，它是空间向量的基础，不管是在以后学习中要用空间向量求异面直线的夹角，线面角，面面角，还是两点之间的距离，证明平行，垂直都离不开空间向量的线性运算和数量积，掌握本节课对以后空间向量的学习至关重要.
本节内容的重点是认识空间向量，并能熟练应用线性运算法则进行空间向量的运算，熟练掌握空间向量的数量积，会为以后学习线线角、线面角、面面角起到至关重要的作用.难点是空间向量线性运算以及空间向量数量积.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.空间向量及其相关概念 2.空间向量的线性运算 3.共线向量定理和共面向量定理 4.空间向量的数量积运算 逻辑推理 数学抽象 数学运算 核心素养
二、学情整体分析
学生已经学面向量并对平面向量的相关知识较熟悉，在此基础上学习求解空间向量，学生还是比较容易接受的，也更容易理解，同时也是比较感兴趣的.
鉴于学生在学习平面向量阶段基础参差不齐、认识上也有很大偏差，特别对概念的理解也不是太深入，所以更应该让学生学会自主学习，鼓励学生大胆讨论交流、认真总结，建立能学好数学的自信心.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.空间向量的基本概念
2.空间向量的线性运算
3.共线向量定理
4.共面向量定理
5.空间向量的夹角
6.空间向量的数量积运算
【教学目标设计】
1.通过本节的学习，理解空间向量的有关概念.
2.掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解.
3.能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义.培养空间向量的应用意识.
【教学策略设计】
本节介绍了空间向量的相关概念，线性运算，共线向量定理，共面向量定理和数量积，先由学生自己复习回顾平面向量的相关概念、线性运算、共线向量定理、共面向量定理和数量积，通过对比平面向量和空间向量得出，平面向量和空间向量的关系，进而类比平面向量给出空间向量的相关知识点，并通过例题巩固加深理解.
【教学方法建议】
迁移教学法、问题教学法,还有________________________________________________.
【教学重点难点】
重点
1.掌握空间向量的概念和空间向量的线性运算.
2.掌握空间向量的共线向量定理和共面向量定理.
3.掌握空间向量的夹角和空间向量的数量积.
4.掌握空间向量的投影向量.
难点
空间向量的线性运算、共线向量定理、共面向量定理和数量积.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________.
四、教学活动设计
教学导入
师:在学习平面向量时我们还学习了向量的夹角和数量积,接下来我们回顾一下与它们有关的内容.
生:已知两个非零向量与,在空间任取一点,作,则叫做向量与的夹角.已知两个非零向量与,它们的夹角为,把叫做与的数量积(或内积).
师:很好,上节课我们已经知道任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面的两个向量,因此,两个空间向量的夹角以及它们的数量积也可以像平面向量那样来定义.接下来我们来学习空间向量的数量积运算.
【设情境 巧激趣】
回顾前面所学过的平面向量数量积运算，类比平面向量学习本节课内容，降低了学习新课的难度，提高学生学习的兴趣.
教学精讲
探究1 空间向量的夹角
师：类似于平面向量的夹角，我们来定义空间向量的夹角，请同学分组讨论，并展示结果.
【学生讨论，并选代表回答】
【要点知识】
平面向量的相关概念
已知两个非零向量与,在空间任取一点,作,则叫做向量与的夹角,记作.
【概括理解能力】
通过类比平面向量夹角的定义，给出空间向量夹角的概念，培养学生概括理解能力.
师:平面向量的夹角范围是什么 当平行时, 的大小是多少呢 当垂直时, 的大小又是如何呢
生:平面向量的夹角范围是,当平行时,同向或者反向,故的大小为0或;当垂直时, 的大小为.
师:那空间向量的夹角又如何呢 请同学回答.
生:与平面向量相同,空间向量的夹角范围是,当平行时,同向或者反向,故的大小为0或;当垂直时, 的大小为.
师:夹角的范围如下.
【观察记忆能力】
通过提问的方式概括总结空间向量夹角的范围，提高学生学习的参与度，加强学生观察记忆能力，提高学习效率.
【要点知识】
空间向量的夹角范围
空间向量的夹角范围是.
当平行时,(1)同向, 的大小为0;(2)反向, 的大小为;
当垂直时, 的大小为.
师:由角的余弦值可知,设,当时,;当时,.
探究2 空间向量的数量积运算
师:类似平面向量的数量积,我们来定义空间向量的数量积.
【请学生代表来定义空间向量的数量积】
生:已知两个非零向量,则叫做的数量积,记作,即.
师：空间向量的数量积定义如下.
【要点知识】
空间向量的数量积
已知两个非零向量,则叫做的数量积,记作,即.
师：根据空间向量的数量积，我们可以知道，数量积的结果为实数还是向量？它的正负和谁有关？
生：向量的数量积是实数，它的正负由决定.
师：在这里，我们把向量的数量积记为，这里的“”不能省略，也不能换成“×”.
【概括理解能力】
通过类比平面向量数量积的定义，概括总结空间向量数量积的概念，培养学生概括理解能力.
【要点知识】
空间向量的数量积的性质
1.零向量与任何向量的数量积为0 .
2.常用结论(为非零向量)
(1).
(2).
(3).
【要点知识】
夹角问题
已知,,则向量与之间的夹角为（ ）
A.30°
B.45°
C.60°
D.以上都不对
【简单问题解决能力】
通过本题的练习，让学生感受数量积的应用，体会利用空间向量数量积证明线面垂直方法的益处，加深学生空间向量数量积的理解，培养逻辑推理素养.
师: 分组讨论, 并找学生代表上黑板展示.
生解: ,,
∴以这三个向量首尾相连组成;
令,则三边之长分别为;由余弦定理,得:,
又向量和是首尾相连,
∴这两个向量的夹角是,
∴,
即向量与之间的夹角不是特殊角.
所以本题选D.
【少教精教】
学生分组讨论回答本题，通过从各个方面考查空间向量的数量积，加强对空间向量数量积的理解，锻炼学生的分析计算能力.
师:通过本题可知,求两个向量的夹角有两种方法:(1)结合图形,平移向量,利用空间向量夹角的定义来求,但要注意向量夹角的范围;(2)先求,再利用公式求出的值,最后确定的值.
师:用数量积解决的距离问题一般有哪几种
生:线段长度即点点距、点线距、点面距.
师:完成下面的练习题.
【巩固练习】
距离问题
如图,已知线段平面平面,且与在平面的同侧,若,试求两点间的距离.
【观察记忆能力】
通过本题的练习，归纳总结利用空间向量数量积求夹角，加深学生学习观察记忆能力，培养学生逻辑推理核心素养.
师:本题中求两点之间的距离,可转化为求的问题.
【请同学分组讨论,并回答本题】
生解:∵,
∴,
∴,即两点间的距离为.
师:通过本题可知,怎样求模的长,常用哪些公式
生:由公式可以推广为.
师:学习平面向量时,我们还学面向量的投影,接下来我们来学习空间向量的投影.
【要点知识】
投影向量
在空间,向量向向量投影,可以先将它们平移到同一个平面内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量共线的向量,,则向量称为向量在向量上的投影向量,同理向量在向量上的投影向量是.
向量向平面投影,就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线,垂足分别为.
得到向量,则向量称为向量在平面上的投影向量.这时,向量,的夹角就是向量所在直线与平面所成的角.
【概括理解能力】
通过类比平面向量的投影，定义空间向量的投影向量，以及向量在平面上的投影向量，培养学生概括理解能力.
师：接下来我们总结数量积的运算律
【学生分组讨论，并得出结论，教师补充后多媒体展示】
【要点知识】
数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律
交换律
分配律
【意义学习】
通过前面所学知识，概括总结空间向量数量积的性质，加深学生对空间向量数量积的理解.
师:对于三个均不为0的数,若,则.对于向量,若,你能得到吗 如果不能,请举出反例.
生:不能得到,若三个向量模相等且相互之间的夹角为,这时有,但是得不出.
师:对于三个均不为0的数,有,对于向量成立吗 为什么
生:不成立,因为,最后得到的向量的方向与的方向相同或相反,最后得到的向量的方向与的方向相同或相反,这里方向不一定相同或相反,所以不成立.
师:若,则一定有吗
生:若,不一定有,也可能或.
师:若,则一定是锐角吗
生:当时,也有,故当时,不一定是锐角.
【少教精教】
学生自主总结数量积的运算律，锻炼学生的概括总结能力，以达到精教的目的.
【活动学习】
通过提问的方式探索数量积运算律，加深学生对数量积运算律的理解，加强学生记忆，提高学习效率.
师: 完成下列问题.
【典型例题】
空间向量数量积的运算
例3 如图,三棱锥中,,则等于（ ）
A.
B. 2
C.
D.
师:本题,没有直接告诉,需要我们利用向量的加法或者减法先表示出来,请同学们选择合适的表示方法,并完成此题.
生解:∵,
∴.答案
师:由于空间图形的许多性质可由向量的运算表示出来,所以,立体几何中的许多问题可以用向量运算的方法解决.
【典型例题】
利用数量积证明空间垂直关系
例4 如图，m，n是平面 内的两条相交直线.如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥ .
师:如何证明线面垂直呢
生:我们可以利用线面垂直的定义,线面垂直的判定定理,面面垂直的性质定理.
师:本题我们采用线面垂直的定义来做.
生证明:在平面内作任意一条直线,分别在直线上取非零向量.
因为直线与相交,所以向量不平行.由向量共面的充要条件可知,存在唯一的有序实数对,使.
将上式两边分别与向量作数量积运算,
得.
因为,所以.
所以.
即直线垂直于平面内的任意一条直线,所以.
【先学后教】
引导学生分析题目，应用空间向量数量积计算本题，培养学生分析计算能力.
师:本节课我们学习了空间向量的夹角、数量积运算以及投影向量,请同学们完成课本第8~9页课后练习.
【意义学习】
增加训练，让学生能够熟练掌握空间向量的数量积，提升学生的逻辑推理核心素养.
【设计意图】
总结空间向量的数量积运算具体内容，让学生对此节内容有一个系统的认识与学习，提升学生逻辑推理核心素养.
【课堂小结】
空间向量的数量积运算
1.空间向量的夹角
2.空间向量的数量积运算
教学评价
学完本节课，学生对空间向量有了深刻认识.这堂课由平面向量引出，通过平面向量类比给出空间向量的相关概念，定义空间向量的加法、减法、数乘以及数量积，体会空间向量在数学学习中的重要性.根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处，不足之处及改进方法.应用所学知识，完成下题：
如图,在中,,AD与BC相交于点M..
【设计意图】
引导学生加深理解空间向量的知识，让学生体会所学知识，通过具体知识点的演练，运用课堂教学中所学分析计算等能力，解决本题，达到数学运算、逻辑推理核心素养目标.
(1)试用和表示向量.
(2)在线段上取一点,在线段上取一点,使过点,设,,当为时,,此时.有人得出如下结论:不论在线段上如何变动,总成立,试问他的这个结论对吗 请说明理由.
解析：(1)设,则.
∵三点共线,∴与共线.
故存在实数,使得,即
,
消去,得,即.①
,,
又三点共线,与共线.
同理可得.②
联立①②,解得,
故.
(2)他的结论是对的.理由如下:
,
又与共线,故存在实数,使得,
即,消去,得.
整理即得.
教学反思
本节课我们学习了空间向量的定义及相关概念，空间向量的线性运算，空间向量的共线向量定理和共面向量定理以及空间向量的数量积.通过探究教学法，让学生更深刻地理解空间向量及其运算的相关知识.
【以学定教】
类比平面向量的定义和相关概念，线性运算以及数量积，给出空间向量的定义和相关概念，线性运算以及数量积，并利用空间向量解决有关问题.
【以学论教】
向量是一种重要的教学工具，是沟通代数和集合的桥梁.空间向量为处理立体几何问题提供了一个新视角，是解决空间中图形位置关系与度量问题的有效手段.在教学过程中，使学生体会认识事物的本质，体会数形结合的数学思想方法，并提高运用所学知识解决实际问题的能力.通过学习和运用，进一步使学生体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养.
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