人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.1空间向量及其运算、空间向量基本定理 练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.1空间向量及其运算、空间向量基本定理 练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1003.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-14 22:33:07 | ||
图片预览
文档简介
空间向量及其运算、空间向量基本定理
一、单选题
1．（2019·全国高二课时练习）已知，，是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（ ）
A．2，﹣，+2 B．2，﹣，+2
C．，2，﹣ D．，+，﹣
2．（2020·贵州省铜仁第一中学高二开学考试）如图所示，在平行六面体中，设，，，是的中点，试用，，表示（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·山东省章丘四中高二月考）如图,在四面体中,是的中点,是的中点,则等于（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·河南省高二期末）如图在平行六面体中，为的中点，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·广东省红岭中学高二期末） 与共线是直线AB∥CD的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2020·广东省红岭中学高二期末）为空间任意一点,三点不共线,若=,则四点
A．一定不共面 B．不一定共面
C．一定共面 D．无法判断
7．（2019·随州市第一中学高二期中）空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·甘肃省高二期末）如图，空间四边形OABC中，，，，且，，则等于( )
A． B．
C． D．
9．（2020·广西壮族自治区高二期末）在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A． B． C． D．
10．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）在平行六面体ABCD-EFGH中，若=x﹣2y+3z，，则x＋y＋z等于( )
A． B． C． D．1
二、多选题
11．（2019·山东省济南一中高二期中）已知平行六面体，则下列四式中其中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
12．（2020·江苏省高二期末）如图，在正方体中，下列各式中运算的结果为的有( )
A． B．
C． D．
13．（2020·山东省高二期末）已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
14．（2019·江苏省高二期末）直三棱柱中，若，则__________．
15．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）已知非零向量，，且＝＋，＋，，则中一定共线的三点是________.
16．（2019·浙江省诸暨中学高二期中）已知三棱锥O-ABC，点D是BC中点，P是AD中点，设，则________；x=________.
17．（2019·江苏省高二期中）如图在正方体中，已知,,,为底面的的中心，为的重心，则______
四、解答题
18．（2018·全国高二课时练习）如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.
(1)单位向量共有多少个
(2)试写出模为的所有向量.
(3)试写出与相等的所有向量.
(4)试写出的相反向量.
19．（2020·全国高一课时练习）如图，已知一点O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别为，求．
20．（2019·三亚华侨学校高二期中）如图，在平行六面体中，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且，记.
（1）试用表示；
（2）求模.
21．（2018·全国高二课时练习）在四棱锥P-ABCD中,ABCD为平行四边形,AC与BD交于O,G为BD上一点,BG=2GD,=,= ,= ,试用基底{,,}表示向量.
22．（2019·全国高一课时练习）设e1,e2是不共线的空间向量，已知=2e1+ke2，=e1+3e2，=2e1-e2.若A,B,D三点共线，求k的值.
23.（2018·全国高二课时练习）已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断{}能否作为空间的一个基底 若能,试以此基底表示向量=2e1-e2+3e3;若不能,请说明理由.
空间向量及其运算、空间向量基本定理答案
一、单选题
1．（2019·全国高二课时练习）已知，，是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（ ）
A．2，﹣，+2 B．2，﹣，+2
C．，2，﹣ D．，+，﹣
【答案】C
【解析】
对于A，因为2=（﹣）+（+2），得2、﹣、+2三个向量共面，故它们不能构成一个基底，A不正确；
对于B，因为2=（﹣）+（+2），得2、﹣、+2三个向量共面，故它们不能构成一个基底，B不正确；
对于C，因为找不到实数λ、μ，使=λ 2+μ（﹣）成立，故、2、﹣三个向量不共面，
它们能构成一个基底，C正确；
对于D，因为=（+）﹣（﹣），得、+、﹣三个向量共面，故它们不能构成一个基底，D不正确
故选：C．
2．（2020·贵州省铜仁第一中学高二开学考试）如图所示，在平行六面体中，设，，，是的中点，试用，，表示（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
是的中点，
.
故选：A.
3．（2020·山东省章丘四中高二月考）如图,在四面体中,是的中点,是的中点,则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
在四面体中,是的中点,是的中点
故选:C.
4．（2020·河南省高二期末）如图在平行六面体中，为的中点，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意结合平行六面体的性质可得
.
故选：A.
5．（2020·广东省红岭中学高二期末） 与共线是直线AB∥CD的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
根据向量共线的定义，可知若与共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重合；若AB∥CD，则与共线；根据充分条件和必要条件的概念，可知与共线是直线AB∥CD的必要不充分条件，
故选B
点睛：向量共线的定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量 .
6．（2020·广东省红岭中学高二期末）为空间任意一点,三点不共线,若=,则四点
A．一定不共面 B．不一定共面
C．一定共面 D．无法判断
【答案】C
【解析】：点P在平面ABC内，O是平面ABC外的任意一点，则且．利用此推论可直接证明一定共面．
详解：因为=，且，所以四点共面.
7．（2019·随州市第一中学高二期中）空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为空间四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点都有，所以，解得.故选A
8．（2020·甘肃省高二期末）如图，空间四边形OABC中，，，，且，，则等于( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
，，，，
，故选：C.
9．（2020·广西壮族自治区高二期末）在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
.故选B.
10．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）在平行六面体ABCD-EFGH中，若=x﹣2y+3z，，则x＋y＋z等于( )
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】
在平行六面体ABCD﹣EFGH中，=++，
∵=x﹣2y+3z，=，
∴x=1，﹣2y=1，3z=1，
∴，z=，∴x+y+z=，故选：C．
二、多选题
11．（2019·山东省济南一中高二期中）已知平行六面体，则下列四式中其中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
作出平行六面体的图像如图，可得，则A正确；，则B正确；C显然正确；，则D不正确.综上，正确的有ABC.
故选：ABC
12．（2020·江苏省高二期末）如图，在正方体中，下列各式中运算的结果为的有( )
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】
A．，故错误；B．，故正确；
C．，故正确；D．，故正确.
故选：BCD.
13．（2020·山东省高二期末）已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
当时，可知点与点共面，所以，
所以，
所以，
不妨令，，，且此时，
因为，，，，
由上可知：BD满足要求.
故选：BD.
点睛：常见的证明空间中四点共面的方法有：(1)证明；(2)对于空间中任意一点，证明；(3) 对于空间中任意一点，证明.
三、填空题
14．（2019·江苏省高二期末）直三棱柱中，若，则__________．
【答案】
【解析】
直三棱柱中，若
故答案为
15．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）已知非零向量，，且＝＋，＋，，则中一定共线的三点是________.
【答案】A，B，D
【解析】
由向量的加法原理：.
又共点B，故A，B，D三点共线.
故答案为：A，B，D
16．（2019·浙江省诸暨中学高二期中）已知三棱锥O-ABC，点D是BC中点，P是AD中点，设，则________；x=________.
【答案】1 ；
【解析】
如图，
,
所以，所以，.
故答案为：1；
17．（2019·江苏省高二期中）如图在正方体中，已知,,,为底面的的中心，为的重心，则______
【答案】
【解析】
在正方体中，,,,
为底面的的中心，为△的重心，
.
故答案为：.
四、解答题
18．（2018·全国高二课时练习）如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.
(1)单位向量共有多少个
(2)试写出模为的所有向量.
(3)试写出与相等的所有向量.
(4)试写出的相反向量.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．
【解析】
分析：
（1）根据定义模为1的向量即为单位向量（2）在长方体中求出对角线长为，即可写出所求向量（3）根据大小相等，方向相同即为相等向量可写出（4）大小相等，方向相反的向量即为相反向量.
详解：
(1)模为1的向量有,共8个单位向量.
(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为,因此模为的向量为
.
(3)与向量相等的向量(除它自身之外)为.
(4)向量的相反向量为.
19．（2020·全国高一课时练习）如图，已知一点O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别为，求．
【答案】
【解析】
因为，，所以．
20．（2019·三亚华侨学校高二期中）如图，在平行六面体中，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且，记.
（1）试用表示；
（2）求模.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
（1）.
（2）因为AB，AD，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1.
所以，
.
21．（2018·全国高二课时练习）在四棱锥P-ABCD中,ABCD为平行四边形,AC与BD交于O,G为BD上一点,BG=2GD,=,= ,= ,试用基底{,,}表示向量.
【答案】
【解析】
因为BG=2GD,所以.
又=a+c-2b,
所以=b+(a+c-2b)=a-b+c.
22．（2019·全国高一课时练习）设e1,e2是不共线的空间向量，已知=2e1+ke2，=e1+3e2，=2e1-e2.若A,B,D三点共线，求k的值.
【答案】k=-8.
【解析】
分析：A，B，D三点共线，故存在唯一实数，使得，再由已知条件表示出与,建立方程组可求出和值
详解：
由已知，有-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2.
∵A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使=λ，即2e1+ke2=λ(e1-4e2)，∴2e1+ke2=λe1-4λe2.
∵e1,e2是不共线的空间向量，∴，解得.
23．（2018·全国高二课时练习）已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断{}能否作为空间的一个基底 若能,试以此基底表示向量=2e1-e2+3e3;若不能,请说明理由.
【答案】能，=17-5-30．
【解析】
能作为空间的一组基底．
假设共面,由向量共面的充要条件知存在实数x,y使=x+y成立
又因为是空间的一个基底,
所以不共面.
因此此方程组无解,
即不存在实数x,y使=x+y,
所以不共面.
故{}能作为空间的一个基底.
设=p+q+z,
则有
因为为空间的一个基底,
所以解得
故=17-5-30.
点睛：如果三个向量不共面，那么对于空间任意一个向量，存在一个唯一的有序实数组使．我们把叫做空间的一个基底，其中叫基向量.
一、单选题
1．（2019·全国高二课时练习）已知，，是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（ ）
A．2，﹣，+2 B．2，﹣，+2
C．，2，﹣ D．，+，﹣
2．（2020·贵州省铜仁第一中学高二开学考试）如图所示，在平行六面体中，设，，，是的中点，试用，，表示（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·山东省章丘四中高二月考）如图,在四面体中,是的中点,是的中点,则等于（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·河南省高二期末）如图在平行六面体中，为的中点，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·广东省红岭中学高二期末） 与共线是直线AB∥CD的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2020·广东省红岭中学高二期末）为空间任意一点,三点不共线,若=,则四点
A．一定不共面 B．不一定共面
C．一定共面 D．无法判断
7．（2019·随州市第一中学高二期中）空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·甘肃省高二期末）如图，空间四边形OABC中，，，，且，，则等于( )
A． B．
C． D．
9．（2020·广西壮族自治区高二期末）在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A． B． C． D．
10．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）在平行六面体ABCD-EFGH中，若=x﹣2y+3z，，则x＋y＋z等于( )
A． B． C． D．1
二、多选题
11．（2019·山东省济南一中高二期中）已知平行六面体，则下列四式中其中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
12．（2020·江苏省高二期末）如图，在正方体中，下列各式中运算的结果为的有( )
A． B．
C． D．
13．（2020·山东省高二期末）已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
14．（2019·江苏省高二期末）直三棱柱中，若，则__________．
15．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）已知非零向量，，且＝＋，＋，，则中一定共线的三点是________.
16．（2019·浙江省诸暨中学高二期中）已知三棱锥O-ABC，点D是BC中点，P是AD中点，设，则________；x=________.
17．（2019·江苏省高二期中）如图在正方体中，已知,,,为底面的的中心，为的重心，则______
四、解答题
18．（2018·全国高二课时练习）如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.
(1)单位向量共有多少个
(2)试写出模为的所有向量.
(3)试写出与相等的所有向量.
(4)试写出的相反向量.
19．（2020·全国高一课时练习）如图，已知一点O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别为，求．
20．（2019·三亚华侨学校高二期中）如图，在平行六面体中，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且，记.
（1）试用表示；
（2）求模.
21．（2018·全国高二课时练习）在四棱锥P-ABCD中,ABCD为平行四边形,AC与BD交于O,G为BD上一点,BG=2GD,=,= ,= ,试用基底{,,}表示向量.
22．（2019·全国高一课时练习）设e1,e2是不共线的空间向量，已知=2e1+ke2，=e1+3e2，=2e1-e2.若A,B,D三点共线，求k的值.
23.（2018·全国高二课时练习）已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断{}能否作为空间的一个基底 若能,试以此基底表示向量=2e1-e2+3e3;若不能,请说明理由.
空间向量及其运算、空间向量基本定理答案
一、单选题
1．（2019·全国高二课时练习）已知，，是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（ ）
A．2，﹣，+2 B．2，﹣，+2
C．，2，﹣ D．，+，﹣
【答案】C
【解析】
对于A，因为2=（﹣）+（+2），得2、﹣、+2三个向量共面，故它们不能构成一个基底，A不正确；
对于B，因为2=（﹣）+（+2），得2、﹣、+2三个向量共面，故它们不能构成一个基底，B不正确；
对于C，因为找不到实数λ、μ，使=λ 2+μ（﹣）成立，故、2、﹣三个向量不共面，
它们能构成一个基底，C正确；
对于D，因为=（+）﹣（﹣），得、+、﹣三个向量共面，故它们不能构成一个基底，D不正确
故选：C．
2．（2020·贵州省铜仁第一中学高二开学考试）如图所示，在平行六面体中，设，，，是的中点，试用，，表示（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
是的中点，
.
故选：A.
3．（2020·山东省章丘四中高二月考）如图,在四面体中,是的中点,是的中点,则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
在四面体中,是的中点,是的中点
故选:C.
4．（2020·河南省高二期末）如图在平行六面体中，为的中点，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意结合平行六面体的性质可得
.
故选：A.
5．（2020·广东省红岭中学高二期末） 与共线是直线AB∥CD的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
根据向量共线的定义，可知若与共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重合；若AB∥CD，则与共线；根据充分条件和必要条件的概念，可知与共线是直线AB∥CD的必要不充分条件，
故选B
点睛：向量共线的定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量 .
6．（2020·广东省红岭中学高二期末）为空间任意一点,三点不共线,若=,则四点
A．一定不共面 B．不一定共面
C．一定共面 D．无法判断
【答案】C
【解析】：点P在平面ABC内，O是平面ABC外的任意一点，则且．利用此推论可直接证明一定共面．
详解：因为=，且，所以四点共面.
7．（2019·随州市第一中学高二期中）空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为空间四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点都有，所以，解得.故选A
8．（2020·甘肃省高二期末）如图，空间四边形OABC中，，，，且，，则等于( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
，，，，
，故选：C.
9．（2020·广西壮族自治区高二期末）在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
.故选B.
10．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）在平行六面体ABCD-EFGH中，若=x﹣2y+3z，，则x＋y＋z等于( )
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】
在平行六面体ABCD﹣EFGH中，=++，
∵=x﹣2y+3z，=，
∴x=1，﹣2y=1，3z=1，
∴，z=，∴x+y+z=，故选：C．
二、多选题
11．（2019·山东省济南一中高二期中）已知平行六面体，则下列四式中其中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
作出平行六面体的图像如图，可得，则A正确；，则B正确；C显然正确；，则D不正确.综上，正确的有ABC.
故选：ABC
12．（2020·江苏省高二期末）如图，在正方体中，下列各式中运算的结果为的有( )
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】
A．，故错误；B．，故正确；
C．，故正确；D．，故正确.
故选：BCD.
13．（2020·山东省高二期末）已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
当时，可知点与点共面，所以，
所以，
所以，
不妨令，，，且此时，
因为，，，，
由上可知：BD满足要求.
故选：BD.
点睛：常见的证明空间中四点共面的方法有：(1)证明；(2)对于空间中任意一点，证明；(3) 对于空间中任意一点，证明.
三、填空题
14．（2019·江苏省高二期末）直三棱柱中，若，则__________．
【答案】
【解析】
直三棱柱中，若
故答案为
15．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）已知非零向量，，且＝＋，＋，，则中一定共线的三点是________.
【答案】A，B，D
【解析】
由向量的加法原理：.
又共点B，故A，B，D三点共线.
故答案为：A，B，D
16．（2019·浙江省诸暨中学高二期中）已知三棱锥O-ABC，点D是BC中点，P是AD中点，设，则________；x=________.
【答案】1 ；
【解析】
如图，
,
所以，所以，.
故答案为：1；
17．（2019·江苏省高二期中）如图在正方体中，已知,,,为底面的的中心，为的重心，则______
【答案】
【解析】
在正方体中，,,,
为底面的的中心，为△的重心，
.
故答案为：.
四、解答题
18．（2018·全国高二课时练习）如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.
(1)单位向量共有多少个
(2)试写出模为的所有向量.
(3)试写出与相等的所有向量.
(4)试写出的相反向量.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．
【解析】
分析：
（1）根据定义模为1的向量即为单位向量（2）在长方体中求出对角线长为，即可写出所求向量（3）根据大小相等，方向相同即为相等向量可写出（4）大小相等，方向相反的向量即为相反向量.
详解：
(1)模为1的向量有,共8个单位向量.
(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为,因此模为的向量为
.
(3)与向量相等的向量(除它自身之外)为.
(4)向量的相反向量为.
19．（2020·全国高一课时练习）如图，已知一点O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别为，求．
【答案】
【解析】
因为，，所以．
20．（2019·三亚华侨学校高二期中）如图，在平行六面体中，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且，记.
（1）试用表示；
（2）求模.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
（1）.
（2）因为AB，AD，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1.
所以，
.
21．（2018·全国高二课时练习）在四棱锥P-ABCD中,ABCD为平行四边形,AC与BD交于O,G为BD上一点,BG=2GD,=,= ,= ,试用基底{,,}表示向量.
【答案】
【解析】
因为BG=2GD,所以.
又=a+c-2b,
所以=b+(a+c-2b)=a-b+c.
22．（2019·全国高一课时练习）设e1,e2是不共线的空间向量，已知=2e1+ke2，=e1+3e2，=2e1-e2.若A,B,D三点共线，求k的值.
【答案】k=-8.
【解析】
分析：A，B，D三点共线，故存在唯一实数，使得，再由已知条件表示出与,建立方程组可求出和值
详解：
由已知，有-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2.
∵A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使=λ，即2e1+ke2=λ(e1-4e2)，∴2e1+ke2=λe1-4λe2.
∵e1,e2是不共线的空间向量，∴，解得.
23．（2018·全国高二课时练习）已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断{}能否作为空间的一个基底 若能,试以此基底表示向量=2e1-e2+3e3;若不能,请说明理由.
【答案】能，=17-5-30．
【解析】
能作为空间的一组基底．
假设共面,由向量共面的充要条件知存在实数x,y使=x+y成立
又因为是空间的一个基底,
所以不共面.
因此此方程组无解,
即不存在实数x,y使=x+y,
所以不共面.
故{}能作为空间的一个基底.
设=p+q+z,
则有
因为为空间的一个基底,
所以解得
故=17-5-30.
点睛：如果三个向量不共面，那么对于空间任意一个向量，存在一个唯一的有序实数组使．我们把叫做空间的一个基底，其中叫基向量.