人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册《空间向量的数量积运算》教学设计

《1.1.2空间向量的数量积运算》教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
空间向量数量积的定义、运算律，向量投影.
2.内容解析
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的数量积与平面向量的数量积一致，并且满足交换律和分配律等运算律.给出空间向量的数量积运算及其运算律后，所有空间向量所构成的向量空间进一步成为一个欧氏空间，这为用向量方法研究空间中的位置关系和度量问题奠定了基础.
空间向量的投影包括空间向量向另一个向量、一条直线和一个平面的投影等三种情况，其中前两种投影的定义与平面向量的相应投影是一致的.一般地，向量投影是高维空间到低维子空间的一种线性变换，是构建高维空间与低维空间联系的桥梁.空间向量的投影对研究立体几何问题有重要意义，它为后续研究各种距离问题提供普适性方法，也是本课时证明空间向量数量积分配律的基础.
本课时的学习，类比平面向量的数量积学习空间向量的数量积，将空间向量的投影转化为面向量的投影，体现了类比、转化等思维方法.利用空间向量的数量积运算及运算律，解决一些简单的立体几何中的求长度、角度，证明垂直等问题，体现了用空间向量解决立体几何问题的向量方法，有助于提升学生直观想象、数学运算等素养.
根据上述分析，确定本节课的教学重点：空间向量数量积的概念和运算律.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解空间向量数量积的定义，掌握空间向量数量积的运算律.
（2）理解空间向量的投影.
（3）会利用空间向量的数量积运算解决简单立体几何问题.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）能类比平面向量的数量积的概念，给出空间向量的数量积的概念，会计算两个向量的数量积.能将平面向量数量积的运算律推广到空间向量数量积的交换律、结合律、分配律，体会空间向量运算律和实数运算律的联系与区别.
（2）能画一个向量在另一个向量、一条直线上或者一个平面上的投影.
（3）能利用向量数量积解决几何度量问题，证明与垂直有关的简单问题；体会空间向量的数量积运算及运算律在解决立体几何问题中的作用，体会立体几何中的向量方法.
三、教学问题诊断分析
生有平面向量学习的基础，有类比平面向量的线性运算学习空间向量的线性运算的经验，把平面向量数量积的概念推广到空间并不难，也能较容易由平面向量数量积的运算律推广得到空间向量数量积的运算律.尽管在平面向量的学习中已经积累了一些用向量法解决几何问题的经验，但学生还缺乏利用空间图形解决立体几何问题的经验，想到向量方法以及把空间图形的位置关系转化为向量表示对学生来讲都是难点.突破难点的关键是引导学生利用平面向量解决平面几何问题的经验，结合具体问题，从几何的向量表示人手，深入理解问题中相关条件的几何意义，在此基础上进行向量表示.
对于空间向量的投影，将其转化为平面向量的投影，并画出投影向量，需要较强的空间想象能力，也是本节课的一个难点.教学时，应类比平面向量投影的画法，借助辅助平面把空间向量投影转化为平面向量的投影.对于向量投影在解决立体几何问题中的作用，则需要学生在后续学习中逐步体会.
四、教学支持条件分析
准确把握空间向量的投影需要较强的空间想象能力，为了帮助学生理解空间向量投影的概念，教学时可以利用三维动画直观展示空间向量向另一个向量、一条直线和一个平面的投影.
五、教学过程设计
1.回顾旧知，类比得到空间向量数量积的概念
引导语：前面我们学习了空间向量的线性运算，任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，空间向量的线性运算与平面向量完全一致.在必修第二册中我们还学面向量的数量积运算，现在我们类比平面向量数量积的运算，学习空间向量的数量积运算.
问题1：想一想，在学习平面向量的数量积时，我们都学习了哪些内容，是怎么学习的，请同学们类比平面向量的数量积运算研究空间向量数量积运算，小组合作完成表格.
平面 空间
夹角 对非零向量，作，则叫做与的夹角，记作，.
特例：当时，则
数量积 两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即=
特例：.
师生活动：首先让学生回忆平面向量数量积运算的内容和学习过程，师生共同画出上述表格，确定表格的表头、并完成表格的左侧部分.然后通过小组合作，完成表格右侧部分.
设计意图：通过完成表格这种形式，使得类比学习更为生动直接，进一步让学生体会平面向量到空间向量的推广是“平行”推广.师生共同画出表格的过程也体现了从平面向量到空间向量的研究内容和方法的类比.
2.借助几何直观，揭示空间向量投影概念的本质
问题2：根据平面向量数量积的学习经验，为了研究数量积的运算律，需要先定义向量的投影.想一想空间向量的投影有哪些情况.
师生活动：学生独立思考后，通过合作交流，得出结论.
设计意图：明确问题，培养空间想象力.
问题3：下面我们分情况展开空间向量投影的研究.如图1（1），如何定义并画出空间向量向向量的投影？
师生活动：先让学生自主探究，然后教师引导学生总结画投影的步骤：空间向量是自由向量，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因而空间向量的投影就是平面向量的投影.进而在图1（1）中，首先平移向量，使表示向量的有向线段的起点与表示向量的有向线段的起点重合，画出这时它们确定的平面（图1（2）），再在平面内画出向量向向量的投影，得到投影向量（图1（3））.
追问1：你能用向量、向量表示出投影向量吗？
师生活动：教师引导学生类比平面向量的投影，得到空间向量向向量b投影得到的投影向量的表示：.
追问2：类似于向量向向量投影，你能定义并画出空间向量向直线的投影吗？
师生活动：学生独立完成后在课堂上展示、交流，最后教师总结.
追问3：请尝试定义并画出向量向平面的投影，并说说与前面两种向量投影的画法有什么不同之处.
师生活动：学生独立画图，并交流结果.在此基础上，教师小结：画向量向平面的投影向量，可以直接以向量的起点和终点向平面作垂线，垂足分别为和，则起点为，终点为的向量便是满足要求的投影向量.其中向量和的夹角就是向量所在直线与平面所成的角.
设计意图：结合平面向量的投影，理解空间向量投影的概念，画图表示空间向量向向量的投影、向直线的投影、向平面的投影，让学生进一步体会空间向量和平面向量的内在联系.
3.推广运算律，理解向量运算律与数的运算律的差异
问题4：定义了运算就要研究它的运算律.类比平面向量数量积的运算律，你能说出空间向量的数量积运算具有哪些运算律吗？
师生活动：教师提出问题，结合平面向量数量积的运算律，学生不难得到空间向量数量积的运算律：
（1）；
（2）（交换律）；
（3）（分配律）.
追问：你能证明这些运算律吗？
师生活动：请学生根据数量积的定义证明运算律（1）和（2），并在课堂上展示、交流.对于（3）的证明，可以在课堂上组织学生进行小组合作探究，也可以留给学生课下完成（具体证明方法可参见前面相应内容）.
设计意图：将平面向量数量积运算的运算律推广到空间，进一步完备空间向量的运算体系.
问题5：我们知道，数及其运算是一切运算的基础，空间向量的数量积运算在形式上是两个向量相乘，由此，自然会想到将它与数的乘法作类比.向量的数量积是否具有一些与数的乘法类似的性质呢？它们之间有什么共性和差异吗？
师生活动：教师提出问题，让学生联想数的乘法，提出空间向量的数量及运算的一些性质并分组交流讨论，具体地，可引导学生讨论下面的问题.
追问1：对三个不为0的数，有，也就是说，数的运算满足结合律.对于向量的数量积运算，有“结合律”吗？
师生活动：教师提出问题，引导学生通过小组合作、讨论等，举出反例.例如，任意取三个不共面的向量，是一个数与向量作数乘，是一个数与向量作数乘，而不在同一个方向上，所以与不可能相等.
教师进而指出，空间向量的数量积运算满足的运算律和实数的运算律有很多相似之处，但也有区别，如向量数量积运算不满足“结合律”，也就是说，向量不可以“连乘”
追问2：对三个不为0的数，若，则.如果三个向量满足，能得到吗？
师生活动：教师可以引导学生结合长方体中的反例说明上述结论不成立，并进一步指出，若向量都垂直于向量，则成立，但向量的方向可能不同，所以不一定成立.
追问3：对三个不为0的数，若，则（或）.对于向量，若，能不能写成（或）的形式？
师生活动：师生共同完成追问3后，教师小结：向量没有除法运算，不可以在等式两边同时除以一个非零向量，这与实数运算不一样.
设计意图：通过对向量数量积运算和运算律与实数乘法运算和运算律的对比分析，使学生明确向量运算与实数运算的联系与区别，更好地建构空间向量的运算体系，为后续使用空间向量及其运算解决立体几何问题奠定基础.
4.应用新知，解决问题
例1如图2，在平行六面体 中，，，，，.求：
（1）；（2）的长（精确到0.1）.
师生活动：学生根据向量数量积的定义独立完成.
设计意图：通过例题让学生体会如何计算两个空间向量的数量积，以及利用数量积计算向量的模，进而得到线段的长度，加深对向量数量积概念的理解，并熟悉其运算律.
例2如图3，是平面内的两条相交直线.如果，，求证：.
师生活动：教师首先引导学生分析问题的条件和所证明结论的本质，得出证明的基本思路：
根据直线与平面垂直的定义，要证明，就是要证明垂直于内的任意一条直线g；并让学生思考用向量方法证明直线⊥直线g，得出：分别在直线，g上取非零向量，g，则直线⊥直线.
接着引导学生建立平面内任意一条直线g与已知的两条直线之间联系，并用向量表示这种联系.得出：分别在直线上取非零向量.因为直线与相交，所以向量不平行.由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对（），使.
最后，让学生利用向量的数量积证明直线上的一个非零向量垂直于向量g，从而完成证明.
设计意图：通过层层递进的问题引导学生用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理，学生初步体会向量方法的威力.
5.课堂小结
教师引导学生回顾本节课所学内容，并回答下列问题：
（1）空间向量数量积的定义、运算律是什么？与平面向量的数量积运算有什么联系与区别？
（2）空间向量投影的意义是什么？与平面向量的投影有什么联系与区别？如何画出空间向量向另一个向量、一条直线和一个平面的投影？
（3）在用空间向量的数量积运算解决一些简单的立体几何问题的过程中，向量及其运算起了什么作用？
设计意图：通过问题引导学生复习本节课所学知识，包括空间向量数量积运算的概念、运算律、空间向量的投影等，进一步体会类比平面向量学习空间向量的方法.结合对平面向量解决简单几何问题的回顾，让学生体会用空间向量解决立体几何问题的基本思考方法，为后续归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”做准备.
6.布置作业
教科书习题1.1第4，7题.
六、目标检测设计
1.已知，则__________.
设计意图：考查空间向量数量积的定义和运算律.
2.如图，已知长方体 中，，，为侧面的中心，为的中点，计算：
（1）；（2）；（3）.
设计意图：考查空间向量数量积的运算.
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