淮安市高中校协作体 2022～2023 学年度第一学期高三年级期中考试
数学试卷 参考答案
一、单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
D D D C D D B B
二、多项选择题
9 10 11 12
ACD ACD BD AB
三、填空题
13、 x x 2且x 1 或者写成 (- ，1) (1，2
14、 6
15、 1， 5
16、0 2, 1,0 或 0，1，2 只写一个，写两个的不给分
四、解答题
17．（本题满分 10分）已知 a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx， 3cosx)，函数 f(x)＝a·b
(1)求 f(x)的最小正周期
(2)当 0≤x≤ 时，求函数 f(x)的值域．
3
2
解：(1)f(x)＝sinxcosx－ 3cos x
1 3
＝ sin2x－ (cos2x＋1)
2 2
π 3
=sin(2x－ )- ....................3分
3 2
所以 f(x)的最小正周期为π............5 分
π π
(2)∵0≤x≤ ，∴－ ≤2x－ ≤ ..............6分
3 3 3 3
3 π 3
∴－ ≤sin(2x－ )≤ ，..................8 分
2 3 2
即 f(x)的值域为 A = 3，0 ．.................10分
18、（本题满分 12 分）在 ABC 中，点 D 在线段 AB 上，且 AD=5， BD=3，若
5
CB=2CD,cos CDB =
5
（1）求 ABC面积 （2）证明 ABC为钝角三角形
解 ： （ 1 ） 设 线 段 CD=a, 则 BC=2a ， 在 三 角 形 中 利 用 余 弦 定 理 ，
BC2 =CD2 + BD2 2CD BDcos CDB
得 a = 5 ………………………………………2分
1
S DBC = BD CD sin CDB = 3
2
3+ 5
S ABC = S DBC = 8................................6分
3
（2）
5
cos ADC = cos ( CDB) =
5
ADC中，AC2 = AD2 +CD2 2AD CD cos ADC
AC = 2 5..............................................8分
BC2 + AC2 AB2 3
cosC = = 0
2BC AC 5
C为钝角
ABC为钝角三角形...................12分
x + 2 0 12
19、（本题满分 12 分）已知 p：A= x q：B={x|x +x-m(m-1)≤0，m＞ }，
x 1 0 2
若 p是 q的必要不充分条件，求实数 m的取值范围．
x + 2 0
解：A= x A＝ 2,1
x 1 0
x2 + x m(m 1) 0
(x +m) x + (1 m) 0
1
m m m 1
2
m x m 1
B = m,m 1
...........................................5分
∵p是 q的必要不充分条件
∴B A......................................6分
m 2 m 2
或
m 1 1 m 1 1
m 2
1 .................10 分
又 m
2
1
m 2
2
....................................12 分
2 2 2 2
20、（本题满分 12分）1、构造一个图形并解释这个公式 a +b + a b = 2( a + b )(a,b
均为非零向量)的几何意义
2 2
2、 ABC中 D 为 BC中点,证明 AB AC = AD BD
解：（1）如图构造平行四边形 ABCD………………………2分
设 AB = a, AD = b,
则AC = a + b, BD = b a
2 2 2 2
AC + BD = 2( AB + AD )………………………..4分
即“平行四边形对角线平方和等于四边平方和”………………6分
（2）法 1、
2 2
a + b a b = 4a b
2 2
a + b a b
a b = …………………………….8分
2 2
设
AB = a, AC = b
a + b b a
AD = , BD =
2 2
AB AC = AD2 BD2 ……………………………….12分
法 2、
AB = AD + DB, AC = AD + DC = AD DB...............8分
AB AC = AD2 BD2.........................12分
法 3、建系
等如有其方法他酌情给分
21、（本题满分 12分）已知函数 f (x) = ln x
（1）求曲线 f (x) 在 x = e处的切线方程；
f (x)
（2）已知 g(x) = f (x), 求证存在实数 x0 使得 g(x) 在 x = x0 处取得最大值，且1+ x
g(x0 ) = x0
（3）求证h(x) = af (x) x
2 (a 0)有唯一零点
1
解：（1） y = x ..............4 分
e
（2）
ln x
g(x) = ln x
x +1
1+ x + ln x
g (x) = , x 0
2
(1+ x)
设u(x) =1+ x + ln x, x 0
u(x)在(0，+ )递增
1 1
u( ) =1+ 2 0
e2 e2
1
u(1) = 2 0,知 x0 ( ,1)有1+ x0 + ln x = 0
e2
0
且u(x)在(0，x0 )小于0，在(x0 ,+ )大于0
g(x)在(0，x0 )递增，在(x0 ,+ )递减...........6分
g(x)在x = x0处取最大值
1nx 1 x
g(x ) = 00 ln x =
0
0 ln x0 = 1 ln x0 = x0
1+ x0 1+ x0
…………………………………………8分
（3） h(x) = a ln x x2 (a 0)
a
h (x) = 2x 0
x
h(x)在(0，+ )上单调递减.............10分
1 1 2 2
f (e a ) = a ln e a e
a =1 e a
2
2
又 a 0,所以 0, e a e0 =1
a
1 2
f e a =1 e
a 0
1
又 f (1) = 1 0,故 x0 e
a
,1
，f (x0 )= 0且唯一
故函数h(x) = af (x) x2 (a 0)有唯一零点。..............12分
22．（本题满分 12分）（1）已知 x 1,求函数 (x + 2)(x +3)最小值，并求出最小值
y =
x +1
时 x 的值；
1 2
（2）问题：正数a,b满足a+b =1，求 + 的最小值.其中一种解法是：
a b
1 2 1 2 b 2a b 2a
+ = ( + )(a +b) =1+ + + 2 3+ 2 2 ，当且仅当 = 且a+b =1时，即a = 2 1
a b a b a b a b
x2 y2
且b = 2 2 时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数a,b, x, y 满足 =1，试
a2 b2
比较a2 b2和 (x y)
2 的大小，并指明等号成立的条件；
（3）利用（2）的结论，求M = 4m 3 m 1的最小值，并求出使得M 最小的 m的值
解： x -1 x+1 0
(x +1+1)(x +1+ 2) 2
y = = x +1+ +3
x +1 x +1
2
2 (x +1). +3 = 2 2 +3.......................2分
x +1
2
当且仅当 x +1= x = 2 1时取“=”
x +1
所以当 x = 2 1函数最小值为2 2 + 3..................4 分
（2） ，
又 ，当且仅当 时等号成立，.........6分
所以 ，
所以 ，当且仅当 且 同号时等号成立．此时 满足 ；
...........................8分
1
（3）令 2 2x = 4m 3, y = m 1，构造 求出a =1,b = ...........10分
4
2 2 1 3
所以 M= x y a b = 1 =
4 2
2 3 13
取等号时， x = 4y 0解的 x = 3, y = ,即m =
3 6 12
13 3
所以m = 时，M取得最小值 ..................................12分
12 2淮安市高中校协作体 2022～2023 学年度第一学期高三年级期中考试
数学试卷
考试时间：120分钟 总分：150分
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5 分，共计 40分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A = 1,0,1,2, , B = x x 1 ，则 A B =（ ）
A. { 1,1} B. {1,2} C. {1,0} D. { 1,0,1}
1 3
2、“ sin x = ”是“cos x = ”的（ ）
2 2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知向量a = (1,0)，b = (2,2) ，则 a 2b =（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4、甲、乙、丙三位同学被问是否去过 A,B,C 三个城市，甲说：我去过的城市比乙多，但没
去过 A城市；乙说：我没去过 B城市；丙说：我们三人去过同一个城市。由此请判断乙去过
的城市为（ ）
A.A B.B C.C D、不确定
a
5. 已知2 = 5,log8 3= b，则2
a 3b =（ ）
25 5
A. 25 B. 5 C. D.
9 3
x2 + 2, x 1,
6.已知函数 f (x) = 1 ,则使得 f (x) 1的 x 的取值范围为（ ）
x + 1, x 1,
x
A. 1,1 B. ( 1,1) C. ( 1,+ ) D. 1,+ )
x
e + 1
7、函数 f (x) = cos x 的部分图象大致为（ ）
x
e 1
1
1 1
8、当0 x 2a, 不等式 + 1恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
2
x2 (2a x)
A. 2，+ ) ( B. 0，2 C.(0，2 D. 2，+ )
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5 分，共计 20分.每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9.下列选项中哪些是正确的（ ）
2
A. 命题 x R, x + x +1 0 的否定是 x R, x2 + x +1 0
π
B. 为了得到函数 y = 2sin 3x 的图象，只要把函数 y = 2sin 3x + 图象上所有的点
5
π
向右平移 个单位长度
5
1 2x
C. 函数 f (x) = 为奇函数
1+ 2x
3
D.已知向量a = (m,3),b = (1,m +1) ．若 a ⊥ b，则m =
4
10、下列四个选项中哪些是正确的（ ）
0 1 1
A. 若cos(75 + ) = ,则sin(150 ) =
3 3
B. 1 2sin 400 cos 400 = sin 400 cos 400
C. 在任意斜三角形中 tan Atan B tanC = tan A+ tan B+ tanC
D. 在三角形中a = bcosC +ccos B
f (x) = x311.已知函数 x +1，则（ ）
A. f (x)有一个极值点 B. f (x)有一个零点
C. 点(0,1)不是曲线 y = f (x)的对称中心 D. 直线 y = 2x +3是曲线 y = f (x) 的一条切线
12.在 ABC中角 A,B,C所对的边分别为 2 2 2a,b,c，若a +b + c = 8，则下列四个选项中哪
些值可以作为三角形的面积（ ）
A. 3 B. 2 3 C. 3 D.
4
3
3 3 3
2
三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．其中第 16 题共有 2 空，第一个
空 2分，第二个空 3 分；其余题均为一空， 每空 5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
1
13. 函数 f (x) = + 2 x 的定义域是_________．
x 1
14. 若向量a = ( 3,m) ,b = (sin x, cos x) ,函数f (x) = a b 的一个零点为 ，
3
f = ________．
12
15.若曲线 y = (x+ a +1)ex 只有一条过坐标原点的切线，则a =_________．
16．用Card (A)表示非空集合 A中的元素个数，定义
Card (A) Card (B) ,Card (A) Card (B)
A B = ，若 A = 2,3 ，
Card (B) Card (A) ,Card (A) Card (B)
B = x (x2 +mx)(x2 +mx+1) = 0 ，且 A B =1，若 B中元素取最少个数时
m=_________．若 B中元素取最多个数时，请写出一个符合条件的集合 B=_________．
四、解答题：本大题共 6小题，共计 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题满分 10分）
已知a = (sin x, cos x)，b = (cos x, 3 cos x)，函数 f (x) = a b。
(1)求 f (x) 的最小正周期
(2)当0 x 时，求函数 f (x) 的值域．
3
18、（本题满分 12分）
5
在 ABC中，点 D在线段 AB 上，且 AD=5，BD=3，若 CB=2CD, cos CDB =
5
（1）求 ABC面积 （2）证明 ABC为钝角三角形
19、（本题满分 12 分）
x + 2 0 1
已知 p：A= x q：B={x|x2+x-m(m-1)≤0，m＞ }，
x 1 0 2
若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围．
3
20、（本题满分 12分）
2 2 2 2
1、构造一个图形并解释这个公式 a +b + a b = 2( a + b )( a,b均为非零向量)的几
何意义
2 2
2、 ABC中 D 为 BC中点,证明： AB AC = AD BD
21、（本题满分 12分）
已知函数 f (x) = ln x
（1）求曲线 f (x) 在 x = e处的切线方程；
f (x)
（2）已知 g(x) = f (x),求证：存在实数 x0 使得 g(x) 在 x = x0 处取得最大值， 1+ x
且 g(x0 ) = x0
（3）求证：h(x) = af (x) x
2 (a 0)有唯一零点
22．（本题满分 12分）
(x + 2)(x +3)
（1）已知 x 1,求函数 y = 最小值，并求出最小值时 x 的值；
x +1
1 2
（2）问题：正数a,b满足a+b =1，求 + 的最小值.其中一种解法是：
a b
1 2 1 2 b 2a b 2a
+ = ( + )(a +b) =1+ + + 2 3+ 2 2 ，当且仅当 = 且a+b =1时，即
a b a b a b a b
a = 2 1且b = 2 2 时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数a,b, x, y 满足
x2 y2
=1，试比较a2 b2和 (x y)
2 的大小，并指明等号成立的条件；
a2 b2
（3）利用（2）的结论，求M = 4m 3 m 1的最小值，并求出使得M 最小的m 的
值．
4
