人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 《空间向量基本定理》名师课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
共面向量定理的推论——四点共面
如图,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使；或对空间任意一点O,有
　①
①式称为空间平面ABC的向量表达式．
由此可知,空间中任意一个平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定．
事实上,
显然,(1-x-y)＋x＋y＝1.
故是P,A,B,C四点共面的充要条件．
复习引入
人教A版同步教材名师课件
空间向量基本定理
学习目标
学 习 目 标 核心素养
空间向量的基本定理及其意义 数学抽象、直观想象
空间向量的正交分解 数学抽象、数学运算
在简单的问题中选用合适的基底表示其他向量 数学运算
直观想象
学习目标
学习目标：
1.了解空间向量基本定理及其意义.
2.掌握空间向量的正交分解．
3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．
学科核心素养：
1.通过基底概念的学习,培养学生数学抽象的核心素养.
2.借助基底的判断及应用,提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.
x
y
z
Q
O
P
探究1. 空间向量的正交分解
探究新知
探究1、 空间向量的正交分解
探究新知
x
y
z
k
i
j
Q
P
O
探究新知
如图,设, , 是空间中三个两两垂直的向量,且有公共起点.对于空间任意一个向量,设为在, 所确定的平面上的投影向量,则 + .又向量共线,因此存在唯一实数,使得,从而,
+
探究新知
由平面向量基本定理可知,存在有序实数对,使得.
从而
如果, , 是空间三个两两垂直的向量,那么,对空间任一个向量,存在一个有序实数组,使得.
为向量在, , 上的分向量.
空间向量基本定理
把叫做空间的一个基底, 都叫做基向量.
如果三个向量不共面,对空间任一向量存在
有序实数组,使得.
注: (1)基底不唯一,关键不共面;
(2)x,y,z存在且唯一.
探究新知
探究2、在空间中,如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量, , ,能得到类似的结论吗？
空间向量的坐标表示
探究新知
设为有公共起点的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底),以的公共起点为原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系.那么对于空间任意一个向量,一定可以把它平移,使它的起点与原点重合,得到向量.
x
y
z
O
P
e2
e1
e3
探究新知
由空间向量基本定理可知,存在有序实数组,使得,我们把称作向量在单位正交基底下的坐标,记作.
例1、若{a,b,c}是空间一个基底,试判断{a＋b,b＋c,c＋a}能否作为该空间的一个基底．
典例讲解
假设a＋b,b＋c,c＋a共面,则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a),所以a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.
因为{a,b,c}为基底,所以a,b,c不共面．
所以,此方程组无解．
所以a＋b,b＋c,c＋a不共面,
所以{a＋b,b＋c,c＋a}可以作为空间的一个基底．
解析
(2)对于正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体,可以选择从同一个顶点出发的三条棱对应的向量作为一个基底,并可以此为基础,构造其他向量,进行相关的判断．
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底,实质是判断这三个向量是否是共面向量,若不是共面向量,就可以作为一个基底.
方法归纳
变式训练
1、设x＝a＋b,y＝b＋c,z＝c＋a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组：
①{a,b,x},②{b,c,z},③{x,y,a＋b＋c},其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
因为x＝a＋b,所以向量x,a,b共面．
如图,令a＝,b＝ ,c＝,
则x＝ ,y＝ ,z＝ ,a＋b＋c＝ .
可知向量b,c,z和x,y,a＋b＋c不共面.
解析
B
典例讲解
例2、如图,分别是四面体的边的中点,是的三等分点,用表示和.
.
解析
(2)用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则或平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.
用基底表示向量的方法
(1)根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底;
方法归纳
变式训练
2、如图所示,已知平行六面体ABCD- A1B1C1D1,设＝a, ＝b, ＝c, P是CA1的中点,M是CD1的中点.用基底{a,b,c}表示以下向量：(1) ；(2) .
(1) ＝(＋ )＝ (＋ ＋ )
＝ (a＋b＋c)．
(2) ＝ (＋ )＝ (＋ 2＋ )
＝ a＋b＋c.
解析
如图,在平行六面体ABCD A1B1C1D1中连接AC,AD1.
典例讲解
例3、在直三棱柱ABO -A1B1O1中,∠AOB＝,AO＝4,BO＝2,AA1＝4,D为A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求的坐标．
因为＝－ ＝－(＋ )＝－[＋(＋ )]
＝－－ － .
又||＝4,||＝4,||＝2,所以＝(－2,－1,－4)．
因为＝ － ＝ －(＋ )＝ －－ .
又||＝2,||＝4,||＝4,
所以＝(－4,2,－4)．
解析
用坐标表示空间向量的方法步骤
方法归纳
(2)向量基本定理揭示了向量间的线性关系,即任一向量都可由基向量惟一的线性表示．
1．对空间向量基本定理的理解
(1)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念．
素养提炼
素养提炼
2．空间向量坐标表示注意点
(1)空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应,即若基底为{e1,e2,e3},b＝λe1＋μe2＋ke3,则b的坐标为(λ,μ,k)．
(2)点的坐标反映了点在空间直角坐标系中的位置,而向量的坐标实质上是该向量在标准正交基底下的分解式的一种简化表示,它也能间接反映向量的方向与大小．
①空间向量的正交分解及空间向量基本定理；
②空间向量坐标表示.
1. 内容总结：
2 .体现的数学思想：
猜想论证的思想、化归的思想、
数形结合的思想.
归纳小结
教材 P15 习题1.2:3、4、6
作 业