人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课时作业：1.2空间向量基本定理（含解析）

1.2空间向量基本定理
1.已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A. B.
C. D.
2.已知是三个非零向量；为空间的一个基底，则是的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.在以下三个命题中，真命题的个数是( )
①若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则共面；②若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线；③若是两个不共线的向量，而(且)，则构成空间的一个基底.
A.0 B.1 C.2 D.3
4.在空间四点中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是( )
A.四点不共线 B.四点共面，但不共线
C.四点不共面 D.四点中任意三点不共线
5.已知四面体是的重心，是上点，且，若，则为( )
A. B. C. D.
6.已知四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是( )
A. B.
C. D.
7.已知为空间的一个基底，若，，且，则分别为( )
A. B. C. D.
8.在正方体中，分别是的中点，以为基底，，则的值是( )
A. B.
C. D.
9.已知为空间不共面的四点，且向量，向量，则与不能构成空间基底的是( )
A. B. C. D.或
10.如图，在四面体中，为的重心，是上一点，，以为基底，则___________.
11.已知是空间五点，且任何三点不共线.若与均不能构成空间的一个基底，则下列结论：
①不能构成空间的一个基底；②不能构成空间的一个基底；③不能构成空间的一个基地；④能构成空间的一个基底.
其中正确的有_________个.
12.在平面六面体中，若，则_______.
13.如图，已知正方体，点是上底面的中心，取为一个基底，在下列条件下，分别求的值.
(1)；
(2).
14.如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段于点，若，求证：为定值，并求出该定值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：对于选项A，有，则共面，不能作为基底；同理可判断选项中的向量共面.故选C.
2.答案：B
解析：三个不共面的向量才能作为空间的一个基底，故不能推出，但可以推出.故选B.
3.答案：C
解析：①正确，作为基底的向量必须不共面；②正确；③错误，不共线，当时，共面，故只有①②正确.
4.答案：B
解析：选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则相连共面，构不成基底；选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则共面，构不成基底；选项C对应的命题是正确的，若四点共面，则构不成基底；选项D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四个点共面，向量构不成基底.
5.答案：A
解析：如图所示，连接并延长，交于点，则点为的中点，，.，，故选A.
6.答案：C
解析：对于选项A，由四点共面，知共面；对于选项B，D，易知共面，故选C.
7.答案：A
解析：由题意知.
又，所以，解得.
8.答案：A
解析：，对比，可得.
9.答案：C
解析：∵，∴与共面，∴不能构成空间基底.
10.答案：
解析：连接交于点，连接，则
11.答案：3
解析：由题意知空间五点共面，故①②③正确，④错误.
12.答案：
解析：∵，又，∴，即，故.
13.答案：(1)因为，又，
所以.
(2)因为
又，所以.
14.答案：连接并延长交于点，由题意，可令为空间的一个基底，
.
连接.因为点共面，所以存在实数，使得，即，
所以.
由空间向量基本定理，知，
所以，为定值.
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