人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.2《空间向量基本定理》高考通关练（含解析）

《空间向量及其线性运算》高考通关练
一、选择题
1.（2020·天津耀华中学单元检测）（多选）给出下列命题，正确的是（ ）
A.若可以作为空间的一个基底，，则也可以作为空间的一个基底
B.已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
C.是空间四点，若不能构成空间的一个基底，则四点共面
D.已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
2.（2020·湖北襄阳四中单元检测）若向量，且点中无三点共线，满足下列关系（是空间任一点），则能使向量成为空间一个基底的关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2020·南昌模拟）如图，已知空间四边形，其对角线为分别是对边的中点，点上，且，现用基向量表示向量,设，则的值分别是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.（2020·武汉二中月考）设是四面体，是△的重心，是上一点，且若，则的值（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（2020·安徽芜湖期末）在四面体，点上，且，的中点，若，则使共线的的值为（ ）
A.1
B.2
C.
D.
二、填空题
6.（2020江西新建二中单元检测）如图，直三棱柱中，分别为的中点，若记则______（用表示）。
7.（2020宁德模拟）正方体中，点分别是底面和侧面的中心，若,则=______
8.（2020湖北宜昌联考）从空间一点引出三条射线,在上分别取，点在上，且____。（用表示）
9.（2020岳阳调考）在平行六面体中，两两之间的夹角均为60°，则___。
三、解答题
10.（2020黑龙江哈师大附中高二期末）已知为空间的一个基底，且，。
（1）判断四点是否共面；
（2）能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一基底表示；若不能，请说明理由。
参考答案
1.
答案：ABCD
解析：根据基底的概念，空间中任意三个不共面的向量才可作为空间的一个基底，所以B正确。C中由不能构成空间的一个基底，知共面，又过同一点B，知四点共面。下面证明A，D正确：假设d与a，b共面，则存在实数，使得与c共线，，存在实数k，使得，从而，与a，b共面，与条件矛盾，与a，b不共面。同理可证D也是正确的。所以ABCD四个命题都正确，故选ABCD。
2.
答案：C
解析：若为空间一组基向量，则四点不共面。选项A中，因为，所以点共面；选项B中，，但可能存在实数使得，所以可能共面；选项D中，四点显然共面。
3.
答案：D
解析：连接。
。
所以，故选D。
4.
答案：A
解析：
，
由，得，
所以，故。
5.
答案：A
解析：。假设G与M，N共线，则存在实数使得，
与比较可得，
解得。故选A。
6.
答案：
解析：
。
7.
答案：
解析：如图，连接，则E在上，F在上，易知，则，即，所以。
8.
答案：
解析：
。
9.
答案：3
解析：取向量三个方向上的单位向量分别是，则。又因为，所以。
10.
答案：见解析
解析：（1）假设四点共面，则存在实数，使，且，
即。
比较对应的系数，得到关于的方程组解得与矛盾，故四点不共面。
（2）若共面，则存在实数，使得，同（1）可证，不共面，因此可以作为空间的一个基底，
令，
由，
得
所以
。
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