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天津市红桥区2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·红桥期中）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意，，
故.
故答案为：A
【分析】先求解集合M中的二次不等式，结合交集定义，即得解.
2．（2022高三上·红桥期中）已知函数，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的值
【解析】【解答】∵，
∴，
则.
故答案为：B.
【分析】根据自变量所在的范围代入解析式求解即可.
3．（2022高三上·红桥期中）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：由题知，命题“，”的否定是.
故答案为：C
【分析】根据全称量词命题的否定，只否定结论，不否定条件，全称变特称，特称变全称，选出答案.
4．（2022高三上·红桥期中）甲、乙二人的投篮命中率分别为0.9、0.8，若他们二人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为（ ）
A．0.72 B．0.27 C．0.26 D．0.98
【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题意“至少一人命中”可分为三种情况：甲、乙都中、甲中乙不中、甲不中乙中，
记“至少一人命中”为事件，由甲、乙二人投篮相互独立，
则.
故答案为：D
【分析】“至少一人命中”可分为三种情况：甲、乙都中、甲中乙不中、甲不中乙中，结合二人投篮相互独立，计算即得解.
5．（2022高三上·红桥期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不必要也不充分条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】∵，
∵，但不能推出，
∴“”是“”的必要不充分条件，
故答案为：B．
【分析】解出不等式，结合充分条件、必要条件的概念即可得到结果．
6．（2022高三上·红桥期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】∵，，∴
∵，，∴
综上，．
故答案为：B．
【分析】根据对数函数的单调性判断即可.
7．（2022高三上·红桥期中）已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题意，
故，且，
故切线方程为：，即.
故答案为：D
【分析】先求导，可得，再求解，结合直线方程的点斜式即得解.
8．（2022高三上·红桥期中）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．-2 B．-4 C．2 D．4
【答案】A
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】当时，函数取得最大值-2，
所以，即，，定义域为，
又因为在处取得最大值，所以在上单调递增，在上单调递减，， 则，所以.
故答案为：A.
【分析】由，即，再由在处取得最大值，分析得，得.
9．（2019·天津模拟）如图，在四边形 中， ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由题意可得： ，解得： ，
且： .
由 可知 ，
故 .
故选C.
【分析】由题意首先求得 和 的值，然后结合数量积的运算法则可得 的值.
二、填空题
10．（2022高三上·红桥期中）已知是虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为 ．
【答案】
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】复数为纯虚数，
故，且，即.
故答案为：.
【分析】先化简复数为代数形式，再由实部等于零且虚部不等于零即解得参数.
11．（2022高三上·红桥期中）若幂函数的图像过点，则 .
【答案】-1
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设，将代入，，解得：，
故，.
故答案为：-1
【分析】设，将代入，，解得：，从而求出解析式，从而求出.
12．（2022高三上·红桥期中）若实数x、y，满足，则的最小值为 .
【答案】4
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，所以，
因为，由基本不等式可得：，
当且仅当时，等号成立.
故答案为：4
【分析】先对变形，再利用基本不等式求出最小值.
13．（2022高三上·红桥期中）已知向量，向量，则 .
【答案】1
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】 由向量，则，
所以.
【分析】 由向量，则，然后根据平面向量的数量积的运算即可求解.
14．（2022高三上·红桥期中）的展开式中常数项是 .
【答案】15
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】的展开式的通项公式为：，
令，解得：，
故.
故答案为：15
【分析】由二项式定理求出通项公式，得到，从而求出常数项.
15．（2022高三上·红桥期中）已知e为自然对数的底数，对任意的x1∈[0，1]，总存在唯一的x2∈[﹣1，1]，使得x1+1+﹣a=0成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】（，e]
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由，得，
对任意的，总存在唯一的，使得成立，
，且，
解得，
又时，存在两个不同的实数，因此舍去，的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由，得，根据题意可得，且，解出并且验证等号是否成立即可得出答案.
三、解答题
16．（2018高二上·集宁月考）在 中，角 的对边分别为 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）解：若 ，
即 ，
变形可得 ，
即 ，
则 ，
则 .
（2）解： ,
, ,
由正弦定理可得
,
.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据两角和的正弦公式，结合同角三角函数的商数关系，即可求出角A；
（2）根据正余弦定理，求出sinC即可.
17．（2022高三上·红桥期中）已知函数.
（1）求的最小正周期及单调区间；
（2）求在区间上的最大值与最小值.
【答案】（1）解：因为
所以的最小正周期；
令，，解得：，，
令，，解得：，，
单调增区间为，，
单调减区间为，；
（2）解：已知，所以，
当，即时，取得最大值，最大值为2，
当，即时，取得最小值，最小值为-1，
所以在区间上的最大值为2，最小值为.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；三角函数的最值；正弦函数的周期性
【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换化简得到，从而求出最小正周期，再利用整体法求解函数的单调区间；
（2）根据 求出， 从而结合函数图象求出最大值为2，最小值为.
18．（2022高三上·红桥期中）已知公差不为0的等差数列的首项为2，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
【答案】（1）解：因为，，成等比数列，所以，
又为公差不为0的等差数列，设公差为d，
则，
且，解得，数列的通项公式为；
（2）解：由(1)，，
则，
设数列的前n项和为
可得.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】(1) 因为，，成等比数列，所以， 再由为公差不为0的等差数列，设公差为d，代入方程解出d，得到数列通项公式；
(2) 由(1)，， 则， 裂项相消法求数列的前n项和.
19．（2020高二上·四川月考）已知等比数列 的前 项和为 ,公比 ,且 为 的等差中项, .
（1）求数列 的通项公式
（2）记 ,求数列 的前 项和 .
【答案】（1）解：由题意，得 .又 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 或 ，
∵ ，∴ .
∴
（2）解：由（Ⅰ），知 .∴ .
∴ .
∴ .
∴
.
∴
【知识点】数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）由a2+1是a1，a3的等差中项，可得 = ，又 ，解得 ，即可得出通项;（2） ，利用错位相减法即可得出．
20．（2022高三上·红桥期中）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，对任意的恒成立，求整数的最大值.
【答案】解：因为，所以，当 时，，在上单调递增，当时，，在上单调递增，当时，令，解得：，令，解得：，所以在上递增，在上递减，综上可知：当时，在上单调递增；当时，在上递增，在上递减；设，对任意的恒成立，求整数的最大值.【答案】解：当时，则，不满足恒成立．若，由（1）可知，函数在上递增，在递减．所以，又因为恒成立，所以恒成立， 令，所以，所以在上递增，又因为，，所以存在唯一的使，当时，，当时，，所以，所以且，又因为，所以，所以整数的最大值为.
（1）解：因为，所以，当 时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递增，
当时，令，解得：，令，解得：，
所以在上递增，在上递减，
综上可知：当时，在上单调递增；当时，在上递增，在上递减；
（2）解：当时，则，不满足恒成立．
若，由（1）可知，函数在上递增，在递减．
所以，
又因为恒成立，所以恒成立，
令，所以，所以在上递增，
又因为，，
所以存在唯一的使，
当时，，当时，，
所以，所以且，
又因为，所以，
所以整数的最大值为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)根据的取值范围，分类讨论的单调性；
(2)先考虑特殊情况：，然后分析，借助的单调性以及恒成立对应的最值得到关于的不等式，构建新函数分析新函数的零点与之间的关系，从而求解出的最大整数值.
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天津市红桥区2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·红桥期中）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高三上·红桥期中）已知函数，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2022高三上·红桥期中）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2022高三上·红桥期中）甲、乙二人的投篮命中率分别为0.9、0.8，若他们二人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为（ ）
A．0.72 B．0.27 C．0.26 D．0.98
5．（2022高三上·红桥期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不必要也不充分条件
6．（2022高三上·红桥期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高三上·红桥期中）已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高三上·红桥期中）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．-2 B．-4 C．2 D．4
9．（2019·天津模拟）如图，在四边形 中， ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（2022高三上·红桥期中）已知是虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为 ．
11．（2022高三上·红桥期中）若幂函数的图像过点，则 .
12．（2022高三上·红桥期中）若实数x、y，满足，则的最小值为 .
13．（2022高三上·红桥期中）已知向量，向量，则 .
14．（2022高三上·红桥期中）的展开式中常数项是 .
15．（2022高三上·红桥期中）已知e为自然对数的底数，对任意的x1∈[0，1]，总存在唯一的x2∈[﹣1，1]，使得x1+1+﹣a=0成立，则实数a的取值范围是 .
三、解答题
16．（2018高二上·集宁月考）在 中，角 的对边分别为 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
17．（2022高三上·红桥期中）已知函数.
（1）求的最小正周期及单调区间；
（2）求在区间上的最大值与最小值.
18．（2022高三上·红桥期中）已知公差不为0的等差数列的首项为2，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
19．（2020高二上·四川月考）已知等比数列 的前 项和为 ,公比 ,且 为 的等差中项, .
（1）求数列 的通项公式
（2）记 ,求数列 的前 项和 .
20．（2022高三上·红桥期中）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，对任意的恒成立，求整数的最大值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意，，
故.
故答案为：A
【分析】先求解集合M中的二次不等式，结合交集定义，即得解.
2．【答案】B
【知识点】函数的值
【解析】【解答】∵，
∴，
则.
故答案为：B.
【分析】根据自变量所在的范围代入解析式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：由题知，命题“，”的否定是.
故答案为：C
【分析】根据全称量词命题的否定，只否定结论，不否定条件，全称变特称，特称变全称，选出答案.
4．【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题意“至少一人命中”可分为三种情况：甲、乙都中、甲中乙不中、甲不中乙中，
记“至少一人命中”为事件，由甲、乙二人投篮相互独立，
则.
故答案为：D
【分析】“至少一人命中”可分为三种情况：甲、乙都中、甲中乙不中、甲不中乙中，结合二人投篮相互独立，计算即得解.
5．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】∵，
∵，但不能推出，
∴“”是“”的必要不充分条件，
故答案为：B．
【分析】解出不等式，结合充分条件、必要条件的概念即可得到结果．
6．【答案】B
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】∵，，∴
∵，，∴
综上，．
故答案为：B．
【分析】根据对数函数的单调性判断即可.
7．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题意，
故，且，
故切线方程为：，即.
故答案为：D
【分析】先求导，可得，再求解，结合直线方程的点斜式即得解.
8．【答案】A
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】当时，函数取得最大值-2，
所以，即，，定义域为，
又因为在处取得最大值，所以在上单调递增，在上单调递减，， 则，所以.
故答案为：A.
【分析】由，即，再由在处取得最大值，分析得，得.
9．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由题意可得： ，解得： ，
且： .
由 可知 ，
故 .
故选C.
【分析】由题意首先求得 和 的值，然后结合数量积的运算法则可得 的值.
10．【答案】
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】复数为纯虚数，
故，且，即.
故答案为：.
【分析】先化简复数为代数形式，再由实部等于零且虚部不等于零即解得参数.
11．【答案】-1
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设，将代入，，解得：，
故，.
故答案为：-1
【分析】设，将代入，，解得：，从而求出解析式，从而求出.
12．【答案】4
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，所以，
因为，由基本不等式可得：，
当且仅当时，等号成立.
故答案为：4
【分析】先对变形，再利用基本不等式求出最小值.
13．【答案】1
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】 由向量，则，
所以.
【分析】 由向量，则，然后根据平面向量的数量积的运算即可求解.
14．【答案】15
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】的展开式的通项公式为：，
令，解得：，
故.
故答案为：15
【分析】由二项式定理求出通项公式，得到，从而求出常数项.
15．【答案】（，e]
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由，得，
对任意的，总存在唯一的，使得成立，
，且，
解得，
又时，存在两个不同的实数，因此舍去，的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由，得，根据题意可得，且，解出并且验证等号是否成立即可得出答案.
16．【答案】（1）解：若 ，
即 ，
变形可得 ，
即 ，
则 ，
则 .
（2）解： ,
, ,
由正弦定理可得
,
.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据两角和的正弦公式，结合同角三角函数的商数关系，即可求出角A；
（2）根据正余弦定理，求出sinC即可.
17．【答案】（1）解：因为
所以的最小正周期；
令，，解得：，，
令，，解得：，，
单调增区间为，，
单调减区间为，；
（2）解：已知，所以，
当，即时，取得最大值，最大值为2，
当，即时，取得最小值，最小值为-1，
所以在区间上的最大值为2，最小值为.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；三角函数的最值；正弦函数的周期性
【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换化简得到，从而求出最小正周期，再利用整体法求解函数的单调区间；
（2）根据 求出， 从而结合函数图象求出最大值为2，最小值为.
18．【答案】（1）解：因为，，成等比数列，所以，
又为公差不为0的等差数列，设公差为d，
则，
且，解得，数列的通项公式为；
（2）解：由(1)，，
则，
设数列的前n项和为
可得.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】(1) 因为，，成等比数列，所以， 再由为公差不为0的等差数列，设公差为d，代入方程解出d，得到数列通项公式；
(2) 由(1)，， 则， 裂项相消法求数列的前n项和.
19．【答案】（1）解：由题意，得 .又 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 或 ，
∵ ，∴ .
∴
（2）解：由（Ⅰ），知 .∴ .
∴ .
∴ .
∴
.
∴
【知识点】数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）由a2+1是a1，a3的等差中项，可得 = ，又 ，解得 ，即可得出通项;（2） ，利用错位相减法即可得出．
20．【答案】解：因为，所以，当 时，，在上单调递增，当时，，在上单调递增，当时，令，解得：，令，解得：，所以在上递增，在上递减，综上可知：当时，在上单调递增；当时，在上递增，在上递减；设，对任意的恒成立，求整数的最大值.【答案】解：当时，则，不满足恒成立．若，由（1）可知，函数在上递增，在递减．所以，又因为恒成立，所以恒成立， 令，所以，所以在上递增，又因为，，所以存在唯一的使，当时，，当时，，所以，所以且，又因为，所以，所以整数的最大值为.
（1）解：因为，所以，当 时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递增，
当时，令，解得：，令，解得：，
所以在上递增，在上递减，
综上可知：当时，在上单调递增；当时，在上递增，在上递减；
（2）解：当时，则，不满足恒成立．
若，由（1）可知，函数在上递增，在递减．
所以，
又因为恒成立，所以恒成立，
令，所以，所以在上递增，
又因为，，
所以存在唯一的使，
当时，，当时，，
所以，所以且，
又因为，所以，
所以整数的最大值为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)根据的取值范围，分类讨论的单调性；
(2)先考虑特殊情况：，然后分析，借助的单调性以及恒成立对应的最值得到关于的不等式，构建新函数分析新函数的零点与之间的关系，从而求解出的最大整数值.
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