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贵州省遵义市2023届高三上学期理数第一次统一考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·遵义期中）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高三上·遵义期中）已知复数满足，则（ ）
A． B．5 C．1 D．13
3．（2022高三上·遵义期中）若是方程的根，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高三上·遵义期中）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
5．（2022高三上·遵义期中）下列说法正确的是（ ）
A．命题“若，则”的否命题是：“若，则”
B．“”是“”的必要不充分条件
C．命题“，使得”的否定是：“，均有”
D．命题“若，则”为真命题
6．（2022高三上·遵义期中）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022高三上·遵义期中）如图1，规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形，1个三角形对应1个正方形．已知图2中，第1行有1个正方形和1个三角形，按上述规定得到第2行，共有2个正方形和1个三角形，按此规定继续可得到第3行，第4行，第5行，则在图2中前5行正方形个数的总和为（ ）
A．8 B．19 C．32 D．59
8．（2022高三上·遵义期中）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022高三上·遵义期中）已知定义在R上的偶函数满足，且当时，，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
10．（2022高三上·遵义期中）若函数在区间内不存在最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022高三上·遵义期中）已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：
①在区间上有且仅有3个不同的零点；
②的最小正周期可能是；
③的取值范围是；
④在区间上单调递增．
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2022高三上·遵义期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022高三上·遵义期中）已知数列的前项和满足，则 ．
14．（2022高三上·遵义期中）若直线与曲线相切，则切点的坐标为 ．
15．（2022高三上·遵义期中）已知函数，则不等式的解集为 ．
16．（2022高三上·遵义期中）设函数，若函数存在最小值，则的取值范围为 ．
三、解答题
17．（2022高三上·遵义期中）已知，．
（1）求的值：
（2）求的值．
18．（2022高三上·遵义期中）已知函数在处取得极值2．
（1）求的值；
（2）若方程有三个相异实根，求实数的取值范围．
19．（2022高三上·遵义期中）在①是与的等比中项，②，③这三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并解答．
问题：已知等差数列的公差为，前n项和为，且满足____．
（1）求；
（2）若，且，求数列的前n项和．
20．（2022高三上·遵义期中）的内角的对边分别是，且，
（1）求角的大小；
（2）若，为边上一点，，且为的平分线，求的面积．
21．（2022高三上·遵义期中）已知函数．（参考数据：）
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
22．（2022高三上·遵义期中）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，点，求的值．
23．（2019高二上·延边月考）设函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为集合，，
所以，
故答案为：C.
【分析】利用集合交集的定义求解即可.
2．【答案】A
【知识点】复数求模
【解析】【解答】，.
故答案为：A.
【分析】由复数除法运算可得，由此可求得复数的模长.
3．【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】设，因为是方程的根，
所以为函数的零点，
因为函数，在上都为单调递增函数，
所以在上单调递增，又，，
所以函数的零点一定在区间内，
所以，
故答案为：A.
【分析】根据方程的根和函数的零点的关系可得为函数的零点，结合零点存在性定理确定的范围.
4．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】因为，故为了得到函数的图象，
只要把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，
故答案为：C.
【分析】根据三角函数图象的平移变换规律，即可判断出答案.
5．【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：对于A， 命题“若，则”的否命题是：“若，则”，所以A不符合题意；
对于B， ，所以或， “”是“”的充分不必要条件，所以B不符合题意；
对于C，命题“，使得”的否定是：“，均有”，所以C不符合题意；
对于D，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，逆否命题正确，所以原命题为真命题，所以D符合题意.
故答案为：D
【分析】利用否命题、充分必要条件、命题的否定、逆否命题分析判断得解.
6．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：定义域为，且，
故为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除A，
令，即，解得，
又，故排除D，
当时，则，
所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递增，故排除C；
故答案为：B
【分析】首先判断函数的奇偶性，利用导数说明函数在上的单调性，即可判断.
7．【答案】B
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】通过观察发现从二行开始，三角形个数等于上一行正方形个数，正方形个数等于上一行三角形和正方形个数之和.
记为每一行三角形和正方形个数，其中x表示三角形个数，y表示正方形个数，则前5行得三角形和正方形个数分别为，
图2中前5行正方形个数的总和为.
故答案为：B.
【分析】通过观察找到规律进而求出图2中前5行正方形个数的总和.
8．【答案】A
【知识点】三角函数的最值；正弦定理
【解析】【解答】因为，，故三角形外接圆直径为，
所以，所以，，
故
，
因为三角形为锐角三角形，故，故，
故，故，
所以
故的取值范围为，
故答案为：A.
【分析】根据正弦定理利得，利用三角变换及三角函数的性质可求的取值范围.
9．【答案】C
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】∵为上的偶函数，∴，
又，∴用替换，得，
∴，∴的周期为4，
∴，
因为，所以
故答案为：C
【分析】由已知条件可推出的周期为4，结合分段函数即可求解.
10．【答案】D
【知识点】三角函数的最值
【解析】【解答】函数，由，有，
由正弦函数的单调性可知：
当，即时，在上单调递增，最小值为，不合题意；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，由，最小值为，不合题意；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，由，此时最小值不存在，符合题意；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 有最小值为，不合题意；
综上可知，时，在区间内不存在最小值.
故答案为：D
【分析】由，有，由在内不存在最小值，由求的取值范围.
11．【答案】B
【知识点】正弦函数的单调性；正弦函数的周期性；正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】由函数，
令，则
因为函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，
由，得，则，
即，，故③正确；
对于①，，，，
当时，在区间上有且仅有3个不同的零点，
当时，在区间上有且仅有4个不同的零点，故①错误；
对于②，周期，由，则，
，又，所以的最小正周期可能是，故②正确；
对于④，，，
又，，
又，所以在区间上不一定单调递增，故④错误．
故其中正确的个数为2个.
故答案为：B.
【分析】令，则，结合条件可得有4个整数符合，可求出取值，再利用三角函数的性质逐项分析即得.
12．【答案】D
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】先比较和的大小：
，，
，，.
然后比较和的大小：
，，
综上，.
故答案为：D.
【分析】先通过化同指数比较和的大小，再通过化同底数比较和的大小.
13．【答案】18
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】由题意数列的前项和满足，
则，
故答案为：18.
【分析】根据数列的前n项和公式，利用即可求得答案.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设切点为，
，，
又，，解得，
∴切点坐标为.
故答案为：
【分析】设切点为，求出函数的导函数，即可得到方程组，解得即可.
15．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由，得，
∵，当且仅当即时，取等号，
且，
∴，
∴函数为增函数，
因为，，
所以，
所以，解得，故不等式的解集为，
故答案为：
【分析】先利用导数判断函数的单调性，结合，列不等式即可得到答案.
16．【答案】
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】当时，函数，函数在上单调递减，所以有，
当时，函数在上单调递增，此时，
因为存在最小值，
所以有，化简可得，而，所以，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时当时，函数有最小值为，
因为存在最小值，
所以有，故，而，所以，
综上所述：， 所以的取值范围为，
故答案为：.
【分析】根据分段函数的单调性分类讨论进行求解即可.
17．【答案】（1）解：，，
得
（2）解：==.
由可知，.
.
【知识点】三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(1) 原式两边同时平方，用同角的平方和关系可得到结果.
(2)用二倍角公示及辅助角公式化简，利用第一问的答案即可得到结果.
18．【答案】（1）解：，
依题意，，解得，
经检验，，符合题意，
，的值分别为，；
（2）解：由（1）可得，，方程有三个相异实根，
即的图象与直线有三个不同的交点，
，
令，解得或，令，解得，
在单调递增，在单调递减，
且，
，即实数的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1），根据题意建立关于的方程组，解出即可；
（2）由（1）求出函数的单调性及极值情况，由此可得答案．
19．【答案】（1）解：选①②：由①知，是与的等比中项，则，即．
由，可得，由②知，，可得．
则有，解得，则．
选①③：由①知，是与的等比中项，则，即．
由，可得，由③知，，可得，解得．
从而，所以．
选②③：由②知，，可得，
由③知，，可得，解得．
则，解得d＝4，所以．
（2）解：由题意知，，且，所以．
所以当n≥2时，
．
也满足，所以对任意的，．
则．
所以．
【知识点】等差数列；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）若选①②，则可得，，从而可求出，，进而可求出；若选①③，则可得，，从而可求出，，进而可求出；若选②③，则可得，，从而可求出，，进而可求出；
（2）由（1）可得，从而可求得，则，然后利用裂项相消法求和即可.
20．【答案】（1）解：因为，由正弦定理得，
化简得，
所以由余弦定理得，又因为，
所以.
（2）解：如图所示
因为即，
化简得①，
又由余弦定理得即②，
①②联立解得（舍去）或，
所以.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）先利用正弦定理，角化边，再利用余弦定理求角即可；
（2）利用等面积法结合余弦定理，求出的值即可求得的面积.
21．【答案】（1）解：因为，所以，
当时，恒成立；
当时，令，解得：；
令，解得：，
综上所述：当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：因为恒成立可转化为恒成立，令，则，
令，解得：；令，解得：；
所以当时，函数取最小值，
所以不等式恒成立可等价转化为恒成立，
令，只需即可，
因为，
由可得，
令，得；令，得；
所以当时，函数取最小值，
故实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)先对函数求导，然后分和两种情况判断导函数的正负，求其单调区间即可；
(2)利用参变分离的方法将不等式进行等价转化，等价转化时注意与零的大小关系，将不等式等价转化为，令，只需即可，对求导，判断其单调性，进而求出其最小值即可求解.
22．【答案】（1）解：因为，又，，所以，即，曲线的直角坐标方程；
（2）解：将直线的参数方程代入方程，并整理得，
设A，B的对应的参数分别是则，，所以，
∵，则直线l过P，由直线参数方程的几何意义得，，，
∴.
【知识点】直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）由，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得，结合韦达定理、直线参数方程的几何意义，即可求.
23．【答案】（1）解：当 时，
可得 的解集为
（2）解： 等价于 ．
而 ，且当 时等号成立．故 等价于 ．
由 可得 或 ，所以 的取值范围是 ．
【知识点】绝对值三角不等式
【解析】【分析】（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为 ，再根据绝对值三角不等式得 最小值，最后解不等式 得 的取值范围．
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贵州省遵义市2023届高三上学期理数第一次统一考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·遵义期中）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为集合，，
所以，
故答案为：C.
【分析】利用集合交集的定义求解即可.
2．（2022高三上·遵义期中）已知复数满足，则（ ）
A． B．5 C．1 D．13
【答案】A
【知识点】复数求模
【解析】【解答】，.
故答案为：A.
【分析】由复数除法运算可得，由此可求得复数的模长.
3．（2022高三上·遵义期中）若是方程的根，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】设，因为是方程的根，
所以为函数的零点，
因为函数，在上都为单调递增函数，
所以在上单调递增，又，，
所以函数的零点一定在区间内，
所以，
故答案为：A.
【分析】根据方程的根和函数的零点的关系可得为函数的零点，结合零点存在性定理确定的范围.
4．（2022高三上·遵义期中）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】因为，故为了得到函数的图象，
只要把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，
故答案为：C.
【分析】根据三角函数图象的平移变换规律，即可判断出答案.
5．（2022高三上·遵义期中）下列说法正确的是（ ）
A．命题“若，则”的否命题是：“若，则”
B．“”是“”的必要不充分条件
C．命题“，使得”的否定是：“，均有”
D．命题“若，则”为真命题
【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：对于A， 命题“若，则”的否命题是：“若，则”，所以A不符合题意；
对于B， ，所以或， “”是“”的充分不必要条件，所以B不符合题意；
对于C，命题“，使得”的否定是：“，均有”，所以C不符合题意；
对于D，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，逆否命题正确，所以原命题为真命题，所以D符合题意.
故答案为：D
【分析】利用否命题、充分必要条件、命题的否定、逆否命题分析判断得解.
6．（2022高三上·遵义期中）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：定义域为，且，
故为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除A，
令，即，解得，
又，故排除D，
当时，则，
所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递增，故排除C；
故答案为：B
【分析】首先判断函数的奇偶性，利用导数说明函数在上的单调性，即可判断.
7．（2022高三上·遵义期中）如图1，规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形，1个三角形对应1个正方形．已知图2中，第1行有1个正方形和1个三角形，按上述规定得到第2行，共有2个正方形和1个三角形，按此规定继续可得到第3行，第4行，第5行，则在图2中前5行正方形个数的总和为（ ）
A．8 B．19 C．32 D．59
【答案】B
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】通过观察发现从二行开始，三角形个数等于上一行正方形个数，正方形个数等于上一行三角形和正方形个数之和.
记为每一行三角形和正方形个数，其中x表示三角形个数，y表示正方形个数，则前5行得三角形和正方形个数分别为，
图2中前5行正方形个数的总和为.
故答案为：B.
【分析】通过观察找到规律进而求出图2中前5行正方形个数的总和.
8．（2022高三上·遵义期中）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角函数的最值；正弦定理
【解析】【解答】因为，，故三角形外接圆直径为，
所以，所以，，
故
，
因为三角形为锐角三角形，故，故，
故，故，
所以
故的取值范围为，
故答案为：A.
【分析】根据正弦定理利得，利用三角变换及三角函数的性质可求的取值范围.
9．（2022高三上·遵义期中）已知定义在R上的偶函数满足，且当时，，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】∵为上的偶函数，∴，
又，∴用替换，得，
∴，∴的周期为4，
∴，
因为，所以
故答案为：C
【分析】由已知条件可推出的周期为4，结合分段函数即可求解.
10．（2022高三上·遵义期中）若函数在区间内不存在最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角函数的最值
【解析】【解答】函数，由，有，
由正弦函数的单调性可知：
当，即时，在上单调递增，最小值为，不合题意；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，由，最小值为，不合题意；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，由，此时最小值不存在，符合题意；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 有最小值为，不合题意；
综上可知，时，在区间内不存在最小值.
故答案为：D
【分析】由，有，由在内不存在最小值，由求的取值范围.
11．（2022高三上·遵义期中）已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：
①在区间上有且仅有3个不同的零点；
②的最小正周期可能是；
③的取值范围是；
④在区间上单调递增．
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】正弦函数的单调性；正弦函数的周期性；正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】由函数，
令，则
因为函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，
由，得，则，
即，，故③正确；
对于①，，，，
当时，在区间上有且仅有3个不同的零点，
当时，在区间上有且仅有4个不同的零点，故①错误；
对于②，周期，由，则，
，又，所以的最小正周期可能是，故②正确；
对于④，，，
又，，
又，所以在区间上不一定单调递增，故④错误．
故其中正确的个数为2个.
故答案为：B.
【分析】令，则，结合条件可得有4个整数符合，可求出取值，再利用三角函数的性质逐项分析即得.
12．（2022高三上·遵义期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】先比较和的大小：
，，
，，.
然后比较和的大小：
，，
综上，.
故答案为：D.
【分析】先通过化同指数比较和的大小，再通过化同底数比较和的大小.
二、填空题
13．（2022高三上·遵义期中）已知数列的前项和满足，则 ．
【答案】18
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】由题意数列的前项和满足，
则，
故答案为：18.
【分析】根据数列的前n项和公式，利用即可求得答案.
14．（2022高三上·遵义期中）若直线与曲线相切，则切点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设切点为，
，，
又，，解得，
∴切点坐标为.
故答案为：
【分析】设切点为，求出函数的导函数，即可得到方程组，解得即可.
15．（2022高三上·遵义期中）已知函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由，得，
∵，当且仅当即时，取等号，
且，
∴，
∴函数为增函数，
因为，，
所以，
所以，解得，故不等式的解集为，
故答案为：
【分析】先利用导数判断函数的单调性，结合，列不等式即可得到答案.
16．（2022高三上·遵义期中）设函数，若函数存在最小值，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】当时，函数，函数在上单调递减，所以有，
当时，函数在上单调递增，此时，
因为存在最小值，
所以有，化简可得，而，所以，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时当时，函数有最小值为，
因为存在最小值，
所以有，故，而，所以，
综上所述：， 所以的取值范围为，
故答案为：.
【分析】根据分段函数的单调性分类讨论进行求解即可.
三、解答题
17．（2022高三上·遵义期中）已知，．
（1）求的值：
（2）求的值．
【答案】（1）解：，，
得
（2）解：==.
由可知，.
.
【知识点】三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(1) 原式两边同时平方，用同角的平方和关系可得到结果.
(2)用二倍角公示及辅助角公式化简，利用第一问的答案即可得到结果.
18．（2022高三上·遵义期中）已知函数在处取得极值2．
（1）求的值；
（2）若方程有三个相异实根，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：，
依题意，，解得，
经检验，，符合题意，
，的值分别为，；
（2）解：由（1）可得，，方程有三个相异实根，
即的图象与直线有三个不同的交点，
，
令，解得或，令，解得，
在单调递增，在单调递减，
且，
，即实数的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1），根据题意建立关于的方程组，解出即可；
（2）由（1）求出函数的单调性及极值情况，由此可得答案．
19．（2022高三上·遵义期中）在①是与的等比中项，②，③这三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并解答．
问题：已知等差数列的公差为，前n项和为，且满足____．
（1）求；
（2）若，且，求数列的前n项和．
【答案】（1）解：选①②：由①知，是与的等比中项，则，即．
由，可得，由②知，，可得．
则有，解得，则．
选①③：由①知，是与的等比中项，则，即．
由，可得，由③知，，可得，解得．
从而，所以．
选②③：由②知，，可得，
由③知，，可得，解得．
则，解得d＝4，所以．
（2）解：由题意知，，且，所以．
所以当n≥2时，
．
也满足，所以对任意的，．
则．
所以．
【知识点】等差数列；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）若选①②，则可得，，从而可求出，，进而可求出；若选①③，则可得，，从而可求出，，进而可求出；若选②③，则可得，，从而可求出，，进而可求出；
（2）由（1）可得，从而可求得，则，然后利用裂项相消法求和即可.
20．（2022高三上·遵义期中）的内角的对边分别是，且，
（1）求角的大小；
（2）若，为边上一点，，且为的平分线，求的面积．
【答案】（1）解：因为，由正弦定理得，
化简得，
所以由余弦定理得，又因为，
所以.
（2）解：如图所示
因为即，
化简得①，
又由余弦定理得即②，
①②联立解得（舍去）或，
所以.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）先利用正弦定理，角化边，再利用余弦定理求角即可；
（2）利用等面积法结合余弦定理，求出的值即可求得的面积.
21．（2022高三上·遵义期中）已知函数．（参考数据：）
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）解：因为，所以，
当时，恒成立；
当时，令，解得：；
令，解得：，
综上所述：当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：因为恒成立可转化为恒成立，令，则，
令，解得：；令，解得：；
所以当时，函数取最小值，
所以不等式恒成立可等价转化为恒成立，
令，只需即可，
因为，
由可得，
令，得；令，得；
所以当时，函数取最小值，
故实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)先对函数求导，然后分和两种情况判断导函数的正负，求其单调区间即可；
(2)利用参变分离的方法将不等式进行等价转化，等价转化时注意与零的大小关系，将不等式等价转化为，令，只需即可，对求导，判断其单调性，进而求出其最小值即可求解.
22．（2022高三上·遵义期中）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，点，求的值．
【答案】（1）解：因为，又，，所以，即，曲线的直角坐标方程；
（2）解：将直线的参数方程代入方程，并整理得，
设A，B的对应的参数分别是则，，所以，
∵，则直线l过P，由直线参数方程的几何意义得，，，
∴.
【知识点】直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）由，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得，结合韦达定理、直线参数方程的几何意义，即可求.
23．（2019高二上·延边月考）设函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）解：当 时，
可得 的解集为
（2）解： 等价于 ．
而 ，且当 时等号成立．故 等价于 ．
由 可得 或 ，所以 的取值范围是 ．
【知识点】绝对值三角不等式
【解析】【分析】（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为 ，再根据绝对值三角不等式得 最小值，最后解不等式 得 的取值范围．
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