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北京市通州区2023届高三上学期数学期中质量检测试卷
一、单选题
1．（2022高三上·通州期中）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高三上·通州期中）在复平面内，复数，其中是虚数单位，则复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2022高三上·通州期中）已知， ，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高三上·通州期中）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022高三上·通州期中）已知函数在区间上恒有，对于，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2022高三上·通州期中）已知数列满足，，记，则数列的前n项和为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高三上·通州期中）设函数，若对任意的实数x都成立，则ω的一个可取值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高三上·通州期中）是无理数的近似值，被称为黄金比值.我们把腰与底的长度比为黄金比值的等腰三角形称为黄金三角形.如图，是顶角为，底的第一个黄金三角形，是顶角为的第二个黄金三角形，是顶角为的第三个黄金三角形，是顶角为的第四个黄金三角形…，那么依次类推，第个黄金三角形的周长大约为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022高三上·通州期中）在中，，边的中点为D，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022高三上·通州期中）已知函数设，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2022高三上·通州期中）函数的定义域是 .
12．（2022高三上·通州期中）已知命题：“”，则的否定是 .
13．（2022高三上·通州期中）已知复数，，如果为纯虚数，那么 .
14．（2022高三上·通州期中）已知矩形，，．为矩形所在平面内一点，， ．则 ．
15．（2022高三上·通州期中）已知满足.给出下列四个结论：
①为锐角三角形；
②；
③；
④.
其中所有正确结论的序号是 .
16．（2019高二下·杭州期中）过原点作曲线 的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ．
三、解答题
17．（2022高三上·通州期中）已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在上的最大值和最小值.
18．（2022高三上·通州期中）在中，三个内角，，的对边分别为，，（），且，，.
（1）求的值；
（2）设的面积为，求的值.
19．（2022高三上·通州期中）已知数列为公比不为的等比数列，数列为等差数列，且，，再从条件①，条件②，条件③中任选两个作为已知，求：
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择多种符合要求的条件分别解答，按第一种解答计分．
（1）求、的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20．（2022高三上·通州期中）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，，且，请判断与的大小.（只要求写出结论）
21．（2022高三上·通州期中）已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设，试判断曲线与直线在区间上交点的个数，并说明理由.
22．（2022高三上·通州期中）已知无穷数列，若无穷数列满足：，都有，则称与“接近”.
（1）设，，试判断与是否“接近”，并说明理由；
（2）若数列，均为等差数列，他们的公差分别为，.求证：与“接近”的必要条件是“”；
（3）已知数列是公差为的等差数列，若存在数列满足：与“接近”，且，，，，中至少有100个正数，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为集合，，
则
故答案为：C.
【分析】根据交集的定义可得答案.
2．【答案】B
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】∵，
∴复数对应的点的坐标为：(－1，2)，位于第二象限．
故答案为：B．
【分析】 利用复数代数形式运算化简，求出z在复平面内对应的点的坐标得答案.
3．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】由题意得.
故答案为：B
【分析】 根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得关于x的方程，求解可得答案.
4．【答案】A
【知识点】函数奇偶性的判断
【解析】【解答】解：已知函数，其中
所以则有.
故答案为：A.
【分析】 根据题意计算f(x)+ f (-x)的值即可得答案.
5．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题知，所以在区间上单调递增，
所以当时，成立，
当时，成立，
故“”是“”的充分必要条件.
故答案为：C
【分析】由题知，所以在区间上单调递增，根据函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可得答案.
6．【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题知，
是以1为首项，1为公差的等差数列，
，故，
，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，
记的前n项和为，
.
故答案为：A
【分析】 根据题意求出 的通项公式进而求出的通项公式，判断数列的类型，求出前n项和.
7．【答案】D
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】∵对任意的实数x都成立，故，则，故，故当时，一个可能取值为8.
故答案为：D
【分析】 由题意知，求出 ω 的解析式，再计算 ω的一个可取值 .
8．【答案】C
【知识点】类比推理
【解析】【解答】第一个黄金三角形：的底为，由可得腰长；
第二个黄金三角形：的底为，由可得腰长；
第三个黄金三角形：的底为，由可得腰长；
以此类推，第个黄金三角形的底为，腰长为，
所以周长为
因为，所以，
所以原式
故答案为：C
【分析】 相似三角形对应角相等，对应边成比例，所以可求出前几个三角形的周长，进而找出其内在规律：第n个黄金三角形的周长为kn-1 (2+k) .
9．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：如图，在中，边的中点为D
由，可得：
，
，可得：，
，
，可得：，（当且仅当时等号成立）
则的最大值为4.
故答案为：D.
【分析】由，可得：，得，再利用向量数量积的运算可求出 的最大值 .
10．【答案】D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为函数有两个零点，所以函数的图象与函数的图象有两个不同的交点.
函数恒过定点，，如图所示，两个函数图象已经有一个交点.
时，，其导函数，当直线与函数相切时，只有一个交点，此时，解得，则当时，有两个交点.
时，，其导函数，当直线与函数相切时，只有一个交点，此时，解得，则当时，有两个交点.
综上，要使函数有两个零点，则实数的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】 若函数有两个零点，得函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，在同一坐标系内画出函数f (x)的图象与的图象，数形结合可求解出实数的取值范围 .
11．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：函数，定义域满足，解得：且
所以函数的定义域为：.
故答案为：.
【分析】 由对数式的真数大于0，分式的分母不为0，联立不等式组，求解出答案.
12．【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】∵全称命题的否定是特称命题，
∴命题：“”的否定是：．
故答案为：．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，可得答案.
13．【答案】-6
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由题知，，
，
为纯虚数，
，
.
故答案为：-6
【分析】 把 ， 代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用实部为0且虛部不为0，求解出a的值.
14．【答案】0
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下所示：
则，设点的坐标为，
则，
因为 ，，故可得，
上述两式相减可得：；
则.
故答案为：0.
【分析】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出需要点的坐标，设点的坐标为，求出的坐标，再利用向量数量积的运算可得答案.
15．【答案】②③④
【知识点】平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦公式；余弦定理
【解析】【解答】由，
所以是钝角三角形，因此①不正确；
因为，所以，
因为都是锐角，所以可得，因此②正确；
由，
因此③正确；
由
，因此④正确，
故答案为：②③④
【分析】根据向量数量积的运算可得是钝角三角形，可判断 ① ；由都是锐角，可得，可判断②；利用余弦定理可判断③；利用诱导公式结合两角和的余弦公式可判断④.
16．【答案】（1, ）；e
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设切点为 ，
因为y=ex，所以 ，所以 ，
所以切线方程为： ，
因为切线方程过原点，把原点坐标代入，
得 ，解得 ，
所以切点坐标为 ，
切线的斜率为 。
故答案为：；。
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用已知条件结合点斜式求出切线方程，从而求出切点坐标。
17．【答案】（1）解：由题意知，
，
则，
所以函数的最小正周期为；
（2）解：因为，所以，
而函数在上单调递增，在上单调递减，
当，即时，函数取得最大值为；
当，即时，，
当，即时，，
所以当时函数取得最小值为.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；正弦函数的周期性
【解析】【分析】 (1)利用二倍角公式、辅助角公式将函数化简，把函数的关系式变形成正弦型函数，再根据正弦函数的性质求出 的最小正周期；
(2)根据正弦函数的性质求出 在上的最大值和最小值.
18．【答案】（1）解：由正弦定理得，
，
所以.
（2）解：由余弦定理得
解得，或.
因为与已知矛盾，
所以.
所以.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，可求出 的值；
（2） 由余弦定理求出b的值，再根据三角形的面积公式，可求出的值.
19．【答案】（1）解：设的公比为，的公差为，
选择条件①，条件②：
因为，，所以，，所以.
因为，所以有，解得，所以；
选择条件①，条件③：
因为，，所以，，所以.
因为，所以有，解得，所以；
选择条件②，条件③
因为可得，解得，
所以，，.
（2）解：由（1）知，，则.
所以，
.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】 (1)利用等比数列的通项公式和等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式列方程求出首项、公差、公比即可求解出 、的通项公式；
(2)利用等比数列前n项和公式，即可求 ，利用等差数列前n项和公式即可求出数列的前项和.
20．【答案】（1）解：当时，，.
，.
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）解：函数的定义域为.
.
令，解得
当时，有，所以函数在上单调递增.
当时，由解得，由解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
综上可知：时，函数的单调递增区间为；
时函数单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）解：要证，
只要证，即，
令，因为，所以，
则只要证，
由（2）知：当a=1时令，
所以在单调递增，
所以，
即
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；分析法和综合法
【解析】【分析】(1)欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而可求出曲线在点处的切线方程；
(2)利用导数来讨论函数的单调性即可得函数的单调区间；
(3) 利用分析法可判断 与的大小.
21．【答案】（1）解：函数的定义域为.
.
令，解得.
所以函数的单调递增区间为.
（2）解：由（1）得，
曲线与直线在区间上交点的个数等价于的根个数.
于是有，即，
设，.
设，.
此时，，，变化情况如下：
0
极大值
于是有，，.
由零点存在定理可知在存在唯一零点.
设零点为，则在，，单调递增；在，，单调递减.
因为，，，所以在上存在唯一零点，
即曲线与直线在区间上交点的个数为1.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）先求出f'(x)，然后分别求出当f'(x)>0时x的取值范围，即可求出函数的单调递增区间；
（2）由（1）得，曲线与直线在区间上交点的个数等价于的根个数，设，求出函数的导数，根据导数符号求出函数的单调区间，求出函数的极值， 根据零点存在定理即可得曲线与直线在区间上交点的个数为1.
22．【答案】（1）解：与“接近”，理由如下：
因为，，
又因为
所以有
所以
所以与“接近”.
（2）解：假设，不妨设，
则
令，
则.
当时，令，当时有.
此时与不“接近”.
当时，令，当时，有
此时与不“接近”.
同理得时，与不“接近”.
综上，与不“接近”
与与“接近”矛盾，
所以有
所以“=”是“与“接近””的必要条件.
（3）解：因为是公差为的等差数列，
所以.
若存在数列满足：与“接近”，
则，都有.
即.
即.
则
即
当时，，都有
与，，，，中至少有100个正数矛盾.
当时，可取
则，且，，，，均为正数，符合题意.
当时，可取
则，且，，，，均为正数，符合题意.
当时，可取
则，
即，，，，中有100个正数.
综上所述的取值范围是.
【知识点】归纳推理
【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式和新定义 “接近” ，即可判断出 与“接近”；
（2）利用反证法可证得“=”是“与“接近””的必要条件；
（3）利用等差数列的通项公式可得，讨论公差 ， ， ， ，结合新定义“接近”，推理和运算，即可求出 的取值范围.
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北京市通州区2023届高三上学期数学期中质量检测试卷
一、单选题
1．（2022高三上·通州期中）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为集合，，
则
故答案为：C.
【分析】根据交集的定义可得答案.
2．（2022高三上·通州期中）在复平面内，复数，其中是虚数单位，则复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】∵，
∴复数对应的点的坐标为：(－1，2)，位于第二象限．
故答案为：B．
【分析】 利用复数代数形式运算化简，求出z在复平面内对应的点的坐标得答案.
3．（2022高三上·通州期中）已知， ，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】由题意得.
故答案为：B
【分析】 根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得关于x的方程，求解可得答案.
4．（2022高三上·通州期中）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的判断
【解析】【解答】解：已知函数，其中
所以则有.
故答案为：A.
【分析】 根据题意计算f(x)+ f (-x)的值即可得答案.
5．（2022高三上·通州期中）已知函数在区间上恒有，对于，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题知，所以在区间上单调递增，
所以当时，成立，
当时，成立，
故“”是“”的充分必要条件.
故答案为：C
【分析】由题知，所以在区间上单调递增，根据函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可得答案.
6．（2022高三上·通州期中）已知数列满足，，记，则数列的前n项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题知，
是以1为首项，1为公差的等差数列，
，故，
，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，
记的前n项和为，
.
故答案为：A
【分析】 根据题意求出 的通项公式进而求出的通项公式，判断数列的类型，求出前n项和.
7．（2022高三上·通州期中）设函数，若对任意的实数x都成立，则ω的一个可取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】∵对任意的实数x都成立，故，则，故，故当时，一个可能取值为8.
故答案为：D
【分析】 由题意知，求出 ω 的解析式，再计算 ω的一个可取值 .
8．（2022高三上·通州期中）是无理数的近似值，被称为黄金比值.我们把腰与底的长度比为黄金比值的等腰三角形称为黄金三角形.如图，是顶角为，底的第一个黄金三角形，是顶角为的第二个黄金三角形，是顶角为的第三个黄金三角形，是顶角为的第四个黄金三角形…，那么依次类推，第个黄金三角形的周长大约为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】类比推理
【解析】【解答】第一个黄金三角形：的底为，由可得腰长；
第二个黄金三角形：的底为，由可得腰长；
第三个黄金三角形：的底为，由可得腰长；
以此类推，第个黄金三角形的底为，腰长为，
所以周长为
因为，所以，
所以原式
故答案为：C
【分析】 相似三角形对应角相等，对应边成比例，所以可求出前几个三角形的周长，进而找出其内在规律：第n个黄金三角形的周长为kn-1 (2+k) .
9．（2022高三上·通州期中）在中，，边的中点为D，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：如图，在中，边的中点为D
由，可得：
，
，可得：，
，
，可得：，（当且仅当时等号成立）
则的最大值为4.
故答案为：D.
【分析】由，可得：，得，再利用向量数量积的运算可求出 的最大值 .
10．（2022高三上·通州期中）已知函数设，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为函数有两个零点，所以函数的图象与函数的图象有两个不同的交点.
函数恒过定点，，如图所示，两个函数图象已经有一个交点.
时，，其导函数，当直线与函数相切时，只有一个交点，此时，解得，则当时，有两个交点.
时，，其导函数，当直线与函数相切时，只有一个交点，此时，解得，则当时，有两个交点.
综上，要使函数有两个零点，则实数的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】 若函数有两个零点，得函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，在同一坐标系内画出函数f (x)的图象与的图象，数形结合可求解出实数的取值范围 .
二、填空题
11．（2022高三上·通州期中）函数的定义域是 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：函数，定义域满足，解得：且
所以函数的定义域为：.
故答案为：.
【分析】 由对数式的真数大于0，分式的分母不为0，联立不等式组，求解出答案.
12．（2022高三上·通州期中）已知命题：“”，则的否定是 .
【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】∵全称命题的否定是特称命题，
∴命题：“”的否定是：．
故答案为：．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，可得答案.
13．（2022高三上·通州期中）已知复数，，如果为纯虚数，那么 .
【答案】-6
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由题知，，
，
为纯虚数，
，
.
故答案为：-6
【分析】 把 ， 代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用实部为0且虛部不为0，求解出a的值.
14．（2022高三上·通州期中）已知矩形，，．为矩形所在平面内一点，， ．则 ．
【答案】0
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下所示：
则，设点的坐标为，
则，
因为 ，，故可得，
上述两式相减可得：；
则.
故答案为：0.
【分析】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出需要点的坐标，设点的坐标为，求出的坐标，再利用向量数量积的运算可得答案.
15．（2022高三上·通州期中）已知满足.给出下列四个结论：
①为锐角三角形；
②；
③；
④.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】②③④
【知识点】平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦公式；余弦定理
【解析】【解答】由，
所以是钝角三角形，因此①不正确；
因为，所以，
因为都是锐角，所以可得，因此②正确；
由，
因此③正确；
由
，因此④正确，
故答案为：②③④
【分析】根据向量数量积的运算可得是钝角三角形，可判断 ① ；由都是锐角，可得，可判断②；利用余弦定理可判断③；利用诱导公式结合两角和的余弦公式可判断④.
16．（2019高二下·杭州期中）过原点作曲线 的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ．
【答案】（1, ）；e
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设切点为 ，
因为y=ex，所以 ，所以 ，
所以切线方程为： ，
因为切线方程过原点，把原点坐标代入，
得 ，解得 ，
所以切点坐标为 ，
切线的斜率为 。
故答案为：；。
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用已知条件结合点斜式求出切线方程，从而求出切点坐标。
三、解答题
17．（2022高三上·通州期中）已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在上的最大值和最小值.
【答案】（1）解：由题意知，
，
则，
所以函数的最小正周期为；
（2）解：因为，所以，
而函数在上单调递增，在上单调递减，
当，即时，函数取得最大值为；
当，即时，，
当，即时，，
所以当时函数取得最小值为.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；正弦函数的周期性
【解析】【分析】 (1)利用二倍角公式、辅助角公式将函数化简，把函数的关系式变形成正弦型函数，再根据正弦函数的性质求出 的最小正周期；
(2)根据正弦函数的性质求出 在上的最大值和最小值.
18．（2022高三上·通州期中）在中，三个内角，，的对边分别为，，（），且，，.
（1）求的值；
（2）设的面积为，求的值.
【答案】（1）解：由正弦定理得，
，
所以.
（2）解：由余弦定理得
解得，或.
因为与已知矛盾，
所以.
所以.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，可求出 的值；
（2） 由余弦定理求出b的值，再根据三角形的面积公式，可求出的值.
19．（2022高三上·通州期中）已知数列为公比不为的等比数列，数列为等差数列，且，，再从条件①，条件②，条件③中任选两个作为已知，求：
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择多种符合要求的条件分别解答，按第一种解答计分．
（1）求、的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）解：设的公比为，的公差为，
选择条件①，条件②：
因为，，所以，，所以.
因为，所以有，解得，所以；
选择条件①，条件③：
因为，，所以，，所以.
因为，所以有，解得，所以；
选择条件②，条件③
因为可得，解得，
所以，，.
（2）解：由（1）知，，则.
所以，
.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】 (1)利用等比数列的通项公式和等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式列方程求出首项、公差、公比即可求解出 、的通项公式；
(2)利用等比数列前n项和公式，即可求 ，利用等差数列前n项和公式即可求出数列的前项和.
20．（2022高三上·通州期中）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，，且，请判断与的大小.（只要求写出结论）
【答案】（1）解：当时，，.
，.
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）解：函数的定义域为.
.
令，解得
当时，有，所以函数在上单调递增.
当时，由解得，由解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
综上可知：时，函数的单调递增区间为；
时函数单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）解：要证，
只要证，即，
令，因为，所以，
则只要证，
由（2）知：当a=1时令，
所以在单调递增，
所以，
即
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；分析法和综合法
【解析】【分析】(1)欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而可求出曲线在点处的切线方程；
(2)利用导数来讨论函数的单调性即可得函数的单调区间；
(3) 利用分析法可判断 与的大小.
21．（2022高三上·通州期中）已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设，试判断曲线与直线在区间上交点的个数，并说明理由.
【答案】（1）解：函数的定义域为.
.
令，解得.
所以函数的单调递增区间为.
（2）解：由（1）得，
曲线与直线在区间上交点的个数等价于的根个数.
于是有，即，
设，.
设，.
此时，，，变化情况如下：
0
极大值
于是有，，.
由零点存在定理可知在存在唯一零点.
设零点为，则在，，单调递增；在，，单调递减.
因为，，，所以在上存在唯一零点，
即曲线与直线在区间上交点的个数为1.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）先求出f'(x)，然后分别求出当f'(x)>0时x的取值范围，即可求出函数的单调递增区间；
（2）由（1）得，曲线与直线在区间上交点的个数等价于的根个数，设，求出函数的导数，根据导数符号求出函数的单调区间，求出函数的极值， 根据零点存在定理即可得曲线与直线在区间上交点的个数为1.
22．（2022高三上·通州期中）已知无穷数列，若无穷数列满足：，都有，则称与“接近”.
（1）设，，试判断与是否“接近”，并说明理由；
（2）若数列，均为等差数列，他们的公差分别为，.求证：与“接近”的必要条件是“”；
（3）已知数列是公差为的等差数列，若存在数列满足：与“接近”，且，，，，中至少有100个正数，求的取值范围.
【答案】（1）解：与“接近”，理由如下：
因为，，
又因为
所以有
所以
所以与“接近”.
（2）解：假设，不妨设，
则
令，
则.
当时，令，当时有.
此时与不“接近”.
当时，令，当时，有
此时与不“接近”.
同理得时，与不“接近”.
综上，与不“接近”
与与“接近”矛盾，
所以有
所以“=”是“与“接近””的必要条件.
（3）解：因为是公差为的等差数列，
所以.
若存在数列满足：与“接近”，
则，都有.
即.
即.
则
即
当时，，都有
与，，，，中至少有100个正数矛盾.
当时，可取
则，且，，，，均为正数，符合题意.
当时，可取
则，且，，，，均为正数，符合题意.
当时，可取
则，
即，，，，中有100个正数.
综上所述的取值范围是.
【知识点】归纳推理
【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式和新定义 “接近” ，即可判断出 与“接近”；
（2）利用反证法可证得“=”是“与“接近””的必要条件；
（3）利用等差数列的通项公式可得，讨论公差 ， ， ， ，结合新定义“接近”，推理和运算，即可求出 的取值范围.
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