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辽宁省沈阳市重点高中联合体2022-2023学年高三上学期数学期中检测试卷
一、单选题
1．（2022高三上·沈阳期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解不等式得：或，
所以或，
所以.
故答案为：A
【分析】解不等式可得或，求交集即可.
2．（2022高三上·沈阳期中）已知复数，则的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，则的虚部为-2.
故答案为：C.
【分析】根据复数乘除法运算法则得到，再结合虚部的定义判断即可.
3．（2022高三上·沈阳期中）已知向量，，则（ ）
A．3 B． C．1 D．0
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
所以
故答案为：D
【分析】根据向量的坐标运算求解即可.
4．（2022高三上·沈阳期中）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.“这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由已知设“积跬步”为命题，“至千里”为命题，
“故不积跬步，无以至千里”，即“若，则”，
其逆否命题为“若则”，反之不成立，
所以命题是命题的必要不充分条件，
故答案为：B.
【分析】利用命题间的关系及命题的充分必要性直接判断.
5．（2022高三上·沈阳期中）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75°，30°，若河流的宽度是60，则此时气球的高度等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
则，
，
因为，
所以，
所以气球的高度为.
故答案为：B.
【分析】在中，利用正弦定理求出，再根据气球的高度等于即可得解.
6．（2022高三上·沈阳期中）已知为等差数列， 为的前项和． 若， 则当取最大值时， 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】数列与三角函数的综合
【解析】【解答】因为，所以，又，所以，所以，则.
故答案为： C.
【分析】根据等差数列的前项和公式及等差数列下角标的性质即可求解.
7．（2022高三上·沈阳期中）已知函数在定义域内可导，其图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】对于不等式对，
当时，，则结合图象，知原不等式的解集为；
当时，，则结合图象，知原不等式的解集为．
综上，原不等式的解集为．
故答案为：A
【分析】根据原函数图象与导函数的关系，即可得到结果.
8．（2022高一上·哈尔滨期中）定义在上的函数满足，若的图像关于点对称，且函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为的图像关于点对称，
由图像平移变换可知的图像关于原点对称，即为奇函数，
令，则
即也为奇函数，
又函数在上单调递减，由对称性可知，在上递减，
又因为，所以
所以
即
所以，即解集为。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义，进而判断出函数为奇函数，再利用奇函数的定义和函数的单调性，进而得出不等式的解集。
二、多选题
9．（2022高三上·沈阳期中）已知，，则下列叙述中正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．若函数的最小值为6，则的值为4
C．若，则
D．若向量，，则
【答案】A,B
【知识点】基本不等式；平行向量与共线向量；不等式的基本性质
【解析】【解答】解：对于A，由得或，故“”是“”的充分不必要条件，正确；
对于B，当，函数，当且仅当时等号成立，所以，解得，故正确；
对于C，当时，满足，但不满足，故错误；
对于D，当向量时，不一定成立，故错误；
故答案为：AB
【分析】由得或，结合充分不必要条件的概念判断A；结合基本不等式求解判断B；由判断C；由时的情况判断D.
10．（2022高三上·沈阳期中）函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）．
A．该函数的解析式为
B．该函数图象的对称中心为，
C．该函数的单调递增区间是，
D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
【答案】A,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由题图可知，，周期，
所以，则，
因为当时，，即，
所以，，即，，
又，故，从而，A符合题意；
令，，得，，B不符合题意；
令，，
得，，C符合题意；
函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，
可得到，D符合题意．
故答案为：ACD.
【分析】根据图象可得函数的解析式，然后根据三角函数的性质及图象变换规律逐项分析即得.
11．（2022高三上·沈阳期中）在R上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C,D
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】不等式对任意实数恒成立，
有，即恒成立，
∴，
解得，
所以CD符合题意．
故答案为：CD
【分析】由题意可得恒成立，运用判别式，解出二次不等式，可得的可能取值．
12．（2022高三上·沈阳期中）关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．在区间上单调递增
B．的图象关于直线对称
C．若则
D．有且仅有两个零点
【答案】A,B,D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】根据图象变换作出函数的图象（，作出的图象，
再作出其关于轴对称的图象，然后向右平移2个单位，
最后把轴下方的部分关于轴翻折上去即可得），如图，
由图象知在是单调递增，A符合题意，函数图象关于直线对称，B符合题意；
，直线与函数图象相交可能是4个交点，如图，
如果最左边两个交点横坐标分别是，则不成立，C不符合题意，
与轴仅有两个公共点，即函数仅有两个零点，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】作出函数的图象，由图象观察性质判断各选项．
三、填空题
13．（2022高三上·沈阳期中）命题“，”的否定是 ．
【答案】，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题“，”的否定为“，”.
故答案为：，.
【分析】根据特称命题的否定形式求解即可.
14．（2022高三上·沈阳期中）已知等比数列的公比，若，是函数的极值点，则 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由，得，
由时，或，
当或时，，当时，，
所以2 和3为的极值点，
因为，，是函数的极值点，
所以，，
所以，
所以，
故答案为：.
【分析】先求出函数的极值点，从而可得，，再求出公比，进而可求出.
15．（2022高三上·沈阳期中）在中，点是边上（不包含顶点）的 动点，若，则 的最小值 .
【答案】
【知识点】基本不等式；向量的共线定理
【解析】【解答】如图，
可知x，y均为正，且，
，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为.
故答案为：.
【分析】由向量共线定理可得，结合基本不等式即可求出的最小值.
16．（2022高三上·沈阳期中）如图是构造无理数的一种方法： 线段； 第一步，以线段为直角边作直角三角形，其中； 第二步，以为直角边作直角三角形，其中； 第三步，以为直角边作直角三角形， 其中； ．．．，如此延续下去，可以得到长度为无理数的一系列线段， 如， ， ．．． ，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：由题可知
所以，，，，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】由图求解，的余弦值与正弦值，再由两角和差的余弦公式得，利用数量积的定义求解.
四、解答题
17．（2022高三上·沈阳期中）已知数列满足：，，．
（1）设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
（2）设，求．
【答案】（1）证明：因为数列满足，所以.
由，所以，
所以，且，
所以数列是，公比的等比数列.
所以，即数列的通项公式为；
（2）由（1）知，所以.
所以.
所以.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由递推关系可得，即，结合等比数列的定义可得解；
（2）由对数的运算性质结合等差数列的前n项和公式即可得解.
18．（2022高三上·沈阳期中）已知函数，．
（1）求函数的最大值和最小正周期；
（2）设的内角，，的对边分别为，，，且，．若，求，的值．
【答案】（1）解：由题意知，
因为，所以，所以函数的最大值为4，
函数的最小正周期为.
（2）解：由题意得，，即，
因为，所以，所以，
所以，即，
因为，由正弦定理得
由余弦定理得，即，
又因为，
所以.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，结合三角函数相关知识求出最大值和最小正周期即可；
（2）根据条件求出，结合正弦定理角化边，由余弦定理列出等式求解即可.
19．（2022高三上·沈阳期中）已知函数是R上的奇函数，当时，取得极值.
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明：对任意，不等式恒成立.
【答案】（1）解：由奇函数的定义，应有R，
即.
因此，，
由条件为的极值，得，
即，
解得，
，
令，则有，
列表如下：
x 2
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表知：函数的单调递减区间是，单调递增区间是和，
.
（2）证明：由（1）知，的单调递减区间是，
在是减函数，
且在上的最大值为，
在上的最小值为，
对任意，
恒有.
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求解d的值，进而根据函数的极值得到关于a，c的方程组，解方程组得到a，c的值，从而得到函数的解析式，对函数求导，根据导函数的符号得到函数单调性和极大值；
（2）根据（1）中的结论得到函数在闭区间上的单调性，从而得到函数在闭区间上的最大值和最小值，作差并取绝对值证明结论.
20．（2022高三上·沈阳期中）已知为等差数列，为等比数列，的前项和，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【答案】（1）解：设的公差为，的公比为，
由已知可得，，则，
即．
∵，∴，
又∵，
∴，解得，即．
（2）解：由（1）知，
令①，
①式两边同乘得：②，
错位相减得
则．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】（1）由 的前项和， 即可求出，由 ，． 即可求出.
（2）利用错位相减法即可求得数列的前项和．
21．（2022高三上·罗湖月考）在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足.
（1）求A；
（2）若，，AD是的中线，求AD的长.
【答案】（1）解：，
所以，
由正弦定理得：，
，，
，，
得，即，
（2）解：，
，得，
由余弦定理得：，
，
所以，
即AD的长为
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角形内角和为180度的性质和诱导公式，得以，
由正弦定理和三角形中角的取值范围，进而得出角A的值。
（2）利用已知条件结合数量积的定义和余弦定理以及中点的性质和平行四边形法则， 从而结合数量积求向量的模公式和数量积的运算法则以及数量积的定义，从而得出AD的长。
22．（2022高三上·沈阳期中）已知函数，，曲线和在原点处有相同的切线.
（1）求的值；
（2）判断函数在上零点的个数，并说明理由.
【答案】（1）解：依题意得：函数，其导函数为 ，，所以．
曲线和在原点处有相同的切线.
，
．
（2）解：由（1）可知，，所以；
当时，，，此时无零点．
当时，
令
则，显然在上单调递增，
又，，所以存在使得，
因此可得时，，单调递减；
时，，单调递增；又，
所以存在，使得，
即时，，，单调递减；
时，，，单调递增；
又，，所以在上有一个零点．
综上，在上有1个零点．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理
【解析】【分析】(1)通过对曲线和分别求导，由题意得，从而求得值；
(2)分类讨论思想，当时， ，此时无零点；当时，通过求导判断函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解.
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辽宁省沈阳市重点高中联合体2022-2023学年高三上学期数学期中检测试卷
一、单选题
1．（2022高三上·沈阳期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高三上·沈阳期中）已知复数，则的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2022高三上·沈阳期中）已知向量，，则（ ）
A．3 B． C．1 D．0
4．（2022高三上·沈阳期中）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.“这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022高三上·沈阳期中）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75°，30°，若河流的宽度是60，则此时气球的高度等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高三上·沈阳期中）已知为等差数列， 为的前项和． 若， 则当取最大值时， 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2022高三上·沈阳期中）已知函数在定义域内可导，其图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2022高一上·哈尔滨期中）定义在上的函数满足，若的图像关于点对称，且函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高三上·沈阳期中）已知，，则下列叙述中正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．若函数的最小值为6，则的值为4
C．若，则
D．若向量，，则
10．（2022高三上·沈阳期中）函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）．
A．该函数的解析式为
B．该函数图象的对称中心为，
C．该函数的单调递增区间是，
D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
11．（2022高三上·沈阳期中）在R上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022高三上·沈阳期中）关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．在区间上单调递增
B．的图象关于直线对称
C．若则
D．有且仅有两个零点
三、填空题
13．（2022高三上·沈阳期中）命题“，”的否定是 ．
14．（2022高三上·沈阳期中）已知等比数列的公比，若，是函数的极值点，则 ．
15．（2022高三上·沈阳期中）在中，点是边上（不包含顶点）的 动点，若，则 的最小值 .
16．（2022高三上·沈阳期中）如图是构造无理数的一种方法： 线段； 第一步，以线段为直角边作直角三角形，其中； 第二步，以为直角边作直角三角形，其中； 第三步，以为直角边作直角三角形， 其中； ．．．，如此延续下去，可以得到长度为无理数的一系列线段， 如， ， ．．． ，则 ．
四、解答题
17．（2022高三上·沈阳期中）已知数列满足：，，．
（1）设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
（2）设，求．
18．（2022高三上·沈阳期中）已知函数，．
（1）求函数的最大值和最小正周期；
（2）设的内角，，的对边分别为，，，且，．若，求，的值．
19．（2022高三上·沈阳期中）已知函数是R上的奇函数，当时，取得极值.
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明：对任意，不等式恒成立.
20．（2022高三上·沈阳期中）已知为等差数列，为等比数列，的前项和，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
21．（2022高三上·罗湖月考）在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足.
（1）求A；
（2）若，，AD是的中线，求AD的长.
22．（2022高三上·沈阳期中）已知函数，，曲线和在原点处有相同的切线.
（1）求的值；
（2）判断函数在上零点的个数，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解不等式得：或，
所以或，
所以.
故答案为：A
【分析】解不等式可得或，求交集即可.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，则的虚部为-2.
故答案为：C.
【分析】根据复数乘除法运算法则得到，再结合虚部的定义判断即可.
3．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
所以
故答案为：D
【分析】根据向量的坐标运算求解即可.
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由已知设“积跬步”为命题，“至千里”为命题，
“故不积跬步，无以至千里”，即“若，则”，
其逆否命题为“若则”，反之不成立，
所以命题是命题的必要不充分条件，
故答案为：B.
【分析】利用命题间的关系及命题的充分必要性直接判断.
5．【答案】B
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
则，
，
因为，
所以，
所以气球的高度为.
故答案为：B.
【分析】在中，利用正弦定理求出，再根据气球的高度等于即可得解.
6．【答案】C
【知识点】数列与三角函数的综合
【解析】【解答】因为，所以，又，所以，所以，则.
故答案为： C.
【分析】根据等差数列的前项和公式及等差数列下角标的性质即可求解.
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】对于不等式对，
当时，，则结合图象，知原不等式的解集为；
当时，，则结合图象，知原不等式的解集为．
综上，原不等式的解集为．
故答案为：A
【分析】根据原函数图象与导函数的关系，即可得到结果.
8．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为的图像关于点对称，
由图像平移变换可知的图像关于原点对称，即为奇函数，
令，则
即也为奇函数，
又函数在上单调递减，由对称性可知，在上递减，
又因为，所以
所以
即
所以，即解集为。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义，进而判断出函数为奇函数，再利用奇函数的定义和函数的单调性，进而得出不等式的解集。
9．【答案】A,B
【知识点】基本不等式；平行向量与共线向量；不等式的基本性质
【解析】【解答】解：对于A，由得或，故“”是“”的充分不必要条件，正确；
对于B，当，函数，当且仅当时等号成立，所以，解得，故正确；
对于C，当时，满足，但不满足，故错误；
对于D，当向量时，不一定成立，故错误；
故答案为：AB
【分析】由得或，结合充分不必要条件的概念判断A；结合基本不等式求解判断B；由判断C；由时的情况判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由题图可知，，周期，
所以，则，
因为当时，，即，
所以，，即，，
又，故，从而，A符合题意；
令，，得，，B不符合题意；
令，，
得，，C符合题意；
函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，
可得到，D符合题意．
故答案为：ACD.
【分析】根据图象可得函数的解析式，然后根据三角函数的性质及图象变换规律逐项分析即得.
11．【答案】C,D
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】不等式对任意实数恒成立，
有，即恒成立，
∴，
解得，
所以CD符合题意．
故答案为：CD
【分析】由题意可得恒成立，运用判别式，解出二次不等式，可得的可能取值．
12．【答案】A,B,D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】根据图象变换作出函数的图象（，作出的图象，
再作出其关于轴对称的图象，然后向右平移2个单位，
最后把轴下方的部分关于轴翻折上去即可得），如图，
由图象知在是单调递增，A符合题意，函数图象关于直线对称，B符合题意；
，直线与函数图象相交可能是4个交点，如图，
如果最左边两个交点横坐标分别是，则不成立，C不符合题意，
与轴仅有两个公共点，即函数仅有两个零点，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】作出函数的图象，由图象观察性质判断各选项．
13．【答案】，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题“，”的否定为“，”.
故答案为：，.
【分析】根据特称命题的否定形式求解即可.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由，得，
由时，或，
当或时，，当时，，
所以2 和3为的极值点，
因为，，是函数的极值点，
所以，，
所以，
所以，
故答案为：.
【分析】先求出函数的极值点，从而可得，，再求出公比，进而可求出.
15．【答案】
【知识点】基本不等式；向量的共线定理
【解析】【解答】如图，
可知x，y均为正，且，
，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为.
故答案为：.
【分析】由向量共线定理可得，结合基本不等式即可求出的最小值.
16．【答案】
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：由题可知
所以，，，，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】由图求解，的余弦值与正弦值，再由两角和差的余弦公式得，利用数量积的定义求解.
17．【答案】（1）证明：因为数列满足，所以.
由，所以，
所以，且，
所以数列是，公比的等比数列.
所以，即数列的通项公式为；
（2）由（1）知，所以.
所以.
所以.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由递推关系可得，即，结合等比数列的定义可得解；
（2）由对数的运算性质结合等差数列的前n项和公式即可得解.
18．【答案】（1）解：由题意知，
因为，所以，所以函数的最大值为4，
函数的最小正周期为.
（2）解：由题意得，，即，
因为，所以，所以，
所以，即，
因为，由正弦定理得
由余弦定理得，即，
又因为，
所以.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，结合三角函数相关知识求出最大值和最小正周期即可；
（2）根据条件求出，结合正弦定理角化边，由余弦定理列出等式求解即可.
19．【答案】（1）解：由奇函数的定义，应有R，
即.
因此，，
由条件为的极值，得，
即，
解得，
，
令，则有，
列表如下：
x 2
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表知：函数的单调递减区间是，单调递增区间是和，
.
（2）证明：由（1）知，的单调递减区间是，
在是减函数，
且在上的最大值为，
在上的最小值为，
对任意，
恒有.
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求解d的值，进而根据函数的极值得到关于a，c的方程组，解方程组得到a，c的值，从而得到函数的解析式，对函数求导，根据导函数的符号得到函数单调性和极大值；
（2）根据（1）中的结论得到函数在闭区间上的单调性，从而得到函数在闭区间上的最大值和最小值，作差并取绝对值证明结论.
20．【答案】（1）解：设的公差为，的公比为，
由已知可得，，则，
即．
∵，∴，
又∵，
∴，解得，即．
（2）解：由（1）知，
令①，
①式两边同乘得：②，
错位相减得
则．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】（1）由 的前项和， 即可求出，由 ，． 即可求出.
（2）利用错位相减法即可求得数列的前项和．
21．【答案】（1）解：，
所以，
由正弦定理得：，
，，
，，
得，即，
（2）解：，
，得，
由余弦定理得：，
，
所以，
即AD的长为
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角形内角和为180度的性质和诱导公式，得以，
由正弦定理和三角形中角的取值范围，进而得出角A的值。
（2）利用已知条件结合数量积的定义和余弦定理以及中点的性质和平行四边形法则， 从而结合数量积求向量的模公式和数量积的运算法则以及数量积的定义，从而得出AD的长。
22．【答案】（1）解：依题意得：函数，其导函数为 ，，所以．
曲线和在原点处有相同的切线.
，
．
（2）解：由（1）可知，，所以；
当时，，，此时无零点．
当时，
令
则，显然在上单调递增，
又，，所以存在使得，
因此可得时，，单调递减；
时，，单调递增；又，
所以存在，使得，
即时，，，单调递减；
时，，，单调递增；
又，，所以在上有一个零点．
综上，在上有1个零点．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理
【解析】【分析】(1)通过对曲线和分别求导，由题意得，从而求得值；
(2)分类讨论思想，当时， ，此时无零点；当时，通过求导判断函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解.
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