浙大附高2022-2023学年高三上学期期中检测
数学试卷
一、单选题（共8小题，每题5分）
1．已知集合，则的真子集共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
2．若（为虚数单位）是纯虚数，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
3．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．黄龙体育馆有，，三个观看区，其中、B、C三区人数之比为，已知三个区的出口在一条直线上，位置如图所示，体育馆拟在此间设一个临时医务室，为使所有观众从出口步行到医务室路程总和最小，那么医务室位置应在（ ）
A．区 B．区 C．区 D．，两区之间
6已知为递增数列，前n项和，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.若过可做的两条切线，则（ ）
8.设，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共4小题，每题5分）
9．在二十大报告中提出，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，我校对高三年级学生每周在校体育锻炼时长（单位：小时）进行了统计，得到如下频率分布表：
分组 [2，3) [3，4) [4，5) [5，6)
频率 0.25 0.30 0.20 0.25
则下列关于高一年级学生每周体育锻炼时长有关的说法正确的有（ ）
A．众数大约为2.5 B．中位数大约为4
C．平均数大约为3.95 D．第80百分位数大约为5.2
10．已知第一象限内的点在直线上，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
12．已知函数和，有相同的极小值，若存在，使得成立，则（ ）
A． B．
C．当时，
D．当时，若的所有根记为，且，则成等比数列。
三、填空题（共4小题，每题5分）
13．二项式的展开式中的常数项为______．
14.写出一条与直线平行与且圆相切的直线方程______．
15.某比赛有8支队伍参赛，分别为中国赛区1,2,3,4号队伍，韩国赛区1,2,3号队伍，欧洲赛区1号队伍。现淘汰赛需要抽签，分四组两两对决，要求来自同一赛区的队伍不进行对战且同一编号队伍不进行对战。则会出现______种不同的对局情况。
16．设的定义域为，且满足，若，则___________.
三、解答题（共6小题，共70分）
17．已知函数.
(1)当时，求的值域；
(2)若且，求的值.
18.记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.
(1)求证为等比数列，并求的通项公式；
(2)证明：.
19．某兴趣小组为了解某城市不同年龄段的市民每周的阅读时长情况，在市民中随机抽取了人进行调查，并按市民的年龄是否低于岁及周平均阅读时间是否少于小时将调查结果整理成列联表，现统计得出样本中周平均阅读时间少于小时的人数占样本总数的.岁以上（含岁）的样本占样本总数的，岁以下且周平均阅读时间少于小时的样本有人.
周平均阅读时间少于小时 周平均阅读时间不少于小时 合计
45岁以下
45岁以上（含45）
合计
(1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析周平均阅读时间长短与年龄是否有关联.如果有关联，解释它们之间如何相互影响.
(2)现从岁以上（含岁）的样本中按周平均阅读时间是否少于小时用分层抽样法抽取人做进一步访谈，然后从这人中随机抽取人填写调查问卷，记抽取的人中周平均阅读时间不少于小时的人数为，求的分布列及数学期望.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式及数据：，.
20．疫情期间，为保障学生安全，要对学校进行消毒处理．校园内某区域由矩形与扇形组成，，，．消毒装备的喷射角，阴影部分为可消毒范围，要求点在弧上，点在线段上，设，可消毒范围的面积为．
(1)求消毒面积关于的关系式，并求出的范围；
(2)当消毒面积最大时，求的值．
21．已知椭圆的离心率为，过定点的直线l与椭圆有两个交点A，B，当 轴时，。
(1)求椭圆的方程;
(2)否存在一点，使得轴为的角平分线，若存在，求出点坐标，若不存在请说明理由.
22. 已知函数，其中e为自然对数的底数。
（1）讨论的单调性；
（2）若，且，证明：.
试卷第5页，共1页浙大附高2022-2023学年高三上学期期中检测
数学答案
一：单选：
BCBCADAC
二：多选：
CD AD BCD ACD
三：填空：
13. 15 14. 或 15.11 16.2024
四：解答
17．(1)
(2)
（1）
，
∵，∴，∴，
∴的值域为；
（2）
∵，
∵，∴，
∴，
∴.
18．(1)
，，即；
当且时，，
即，，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，则.
（2）由（1）得：，
，，
.
19．(1)列联表见解析；周平均阅读时间长短与年龄有关联；随着年龄的增长，周平均阅读时间也会有所增长.
(2)分布列见解析；数学期望
【详解】（1）样本中周平均阅读时间少于小时的人数占样本总数的，
样本中周平均阅读时间少于小时的人数为人，
则其中年龄在岁以上（含岁）的人数为人；
岁以上（含岁）的样本占样本总数的，
岁以上（含岁）的人数为人，
则其中周平均阅读时间不少于小时的人数为人；
岁以下周平均阅读时间不少于小时的人数为人；
则补充列联表如下：
周平均阅读时间少于小时 周平均阅读时间不少于小时 合计
岁以下
岁以上（含岁）
合计
假设：周平均阅读时间长短与年龄无关联，
，
依据小概率值的独立性检验分析判断不成立，即周平均阅读时间长短与年龄有关联.
二者之间的相互影响为：随着年龄的增长，周平均阅读时间也会有所增长.
（2）由题意可知：抽取的人中，周平均阅读时间少于小时的有人，不少于小时的有人；
则所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：
数学期望.
20．(1)，
(2)
解：由题意可知，则扇形的面积为，
，则，且，
所以， 梯形的面积为，
，且，则，故，
所以，，.
（2）
解：设，，
，且，
记为锐角，且，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，当时，，即时，取最小值，此时取最大值.
21.（1）
（2）存在，
22.(1) 递增
递减
（2）略
