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2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.4直线与圆的位置关系 第3课时 切线长定理 同步训练
一、2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.4直线与圆的位置关系 第3课时 切线长定理 同步训练
1．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，AC是⊙O的直径，连结AB，BC，OP，则与∠PAB相等的 角(不包括∠PAB本身)有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A. B，
∴PA=PB，OA⊥PA，
∴∠PBA=∠PAB，∠OAP=90°
∴∠PAB+∠BAC=90°
∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC=90°
∴∠BAC+∠C=90°
∴∠PAB=∠C
∵OP⊥AB
∴∠BAC+∠AOP=90°
∴∠AOP=∠PAB
∴与∠PAB相等的角有：∠C、∠AOP、∠PBA
故答案为：C
【分析】由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线长定理，可得PA=PB，即可得∠PAB=∠PBA，由切线的性质与圆周角定理，可得∠ABC=∠OAP=90°，然后由同角的余角相等，证得∠PAB=∠C，同理可得∠PAB=∠AOP，就可得出答案。
2．如图，PA，PB切⊙O于点A，B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D两点，则△PCD的周长是（ ）
A．8 B．18 C．16 D．14
【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA，PB切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E
∴PA=PB=8，AC=CE，DB=DE
△PCD的周长为：PC+CE+DE+PD=PC=CA+DB+PD=PA+PB=8+8=16
故答案为：C
【分析】利用切线长定理可得出PA=PB=8，AC=CE，DB=DE，从而可求△PCD的周长就转化为求PA+PB的值。
3．如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P为（ ）
A．120° B．60° C．30° D．45°
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，BO；
∵∠AOB=2∠E=120°，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=180°﹣∠AOB=60°．
故选B．
【分析】连接OA，BO，由圆周角定理知可知∠AOB=2∠E=120°，PA、PB分别切⊙O于点A、B，利用切线的性质可知∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和可求得∠P=180°﹣∠AOB=60°．
4．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为 ．
【答案】52
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵一圆内切于四边形ABCD
∴AD+BC=DC+AB=10+16=26
∴四边形ABCD的周长为：2（DC+AB）=2×26=52
故答案为：52
【分析】根据圆外切四边形的对边之和相等，就可得出AD+BC=DC+AB，就可求出四边形ABCD的周长。
5．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为 .
【答案】2
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB AP=5 3=2.
故答案为：2.
【分析】由AB、AC、BD是⊙O的切线，可证得AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长。
6．PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解；连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F.
∵PA，PB切⊙O于A. B两点，CD切⊙O于点E
∴∠OAF=∠PBF=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，
∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，
∴PA=PB=r.
在Rt△PBF和Rt△OAF中，
∠FAO=∠FBP，∠OFA=∠PFB
∴Rt△PBF∽Rt△OAF
∴
∴AF=FB，
在Rt△FBP中，
∵PF2 PB2=FB2
∴(PA+AF)2 PB2=FB2
∴(r+BF)2 (r)2=BF2，
解得BF=r，
∴tan∠APB=，
故答案为：
【分析】 连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F，根据切线长定理，可得出△PCD的周长PA+PB=3r，求出PB、PA的长，再证明Rt△PBF∽Rt△OAF，可证得AF=FB，利用勾股定理求出BF的长，然后利用锐角三角形函数的定义，可求出tan∠APB的值。
7．如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长．
【答案】解：∵，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F
∴AD=AE=20，DB=BF，FC=EC
∵△ABC的周长为：AB+BF+CF+AC
∴△ABC的周长为：AB+DB+CE+AC=AD+AE=20+20=40.
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】利用切线长定理可得出AD=AE=20，DB=BF，FC=EC，将△ABC的周长转化为AD+AE，代入计算可得出答案。
8．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC= 12，∠P=60°，求弦AB的长．
【答案】解：
∵PA、PB是⊙O的两条切线
∴PA=PB，OA⊥AP
∴∠PAB=∠PBA，∠CAP=90°
∵∠P=60°
∴∠PAB=（180°-60°）=60°
∴∠CAB=90°-60°=30°
在Rt△ABC中，AC= 12
∴cos∠CAB=cos30°===
解之：AB=6
∴弦AB的长为：6
【知识点】三角形的内切圆与内心；解直角三角形
【解析】【分析】连接BC，利用圆周角定理构造直角三角形，由切线长定理及∠P的度数，可求出∠CAB的度数，再利用解直角三角形求出AB的长。
9．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．
（1）求∠APB的度数；
（2）当OA＝3时，求AP的长．
【答案】（1）解：∵在△ABO中，OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°
∴∠AOB=180° 2×30°=120°，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠APB=360° 120° 90° 90°=60°.
（2）解：连接OP
∵AP、BP是圆O的切线
∴∠OAP=90°，∠APO=∠APB=×60°=30°
在Rt是△AOP中，tan∠APO=
∴
解之：AP=3
∴AP的长为：3
【知识点】三角形的内切圆与内心；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠AOB的度数，由切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形的内角和为360°，可求出∠APB的度数。
（2）根据切线长定理求出∠APO的度数，再利用解直角三角形求出AP的长。
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2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.4直线与圆的位置关系 第3课时 切线长定理 同步训练
一、2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.4直线与圆的位置关系 第3课时 切线长定理 同步训练
1．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，AC是⊙O的直径，连结AB，BC，OP，则与∠PAB相等的 角(不包括∠PAB本身)有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，PA，PB切⊙O于点A，B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D两点，则△PCD的周长是（ ）
A．8 B．18 C．16 D．14
3．如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P为（ ）
A．120° B．60° C．30° D．45°
4．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为 ．
5．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为 .
6．PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是 .
7．如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长．
8．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC= 12，∠P=60°，求弦AB的长．
9．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．
（1）求∠APB的度数；
（2）当OA＝3时，求AP的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A. B，
∴PA=PB，OA⊥PA，
∴∠PBA=∠PAB，∠OAP=90°
∴∠PAB+∠BAC=90°
∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC=90°
∴∠BAC+∠C=90°
∴∠PAB=∠C
∵OP⊥AB
∴∠BAC+∠AOP=90°
∴∠AOP=∠PAB
∴与∠PAB相等的角有：∠C、∠AOP、∠PBA
故答案为：C
【分析】由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线长定理，可得PA=PB，即可得∠PAB=∠PBA，由切线的性质与圆周角定理，可得∠ABC=∠OAP=90°，然后由同角的余角相等，证得∠PAB=∠C，同理可得∠PAB=∠AOP，就可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA，PB切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E
∴PA=PB=8，AC=CE，DB=DE
△PCD的周长为：PC+CE+DE+PD=PC=CA+DB+PD=PA+PB=8+8=16
故答案为：C
【分析】利用切线长定理可得出PA=PB=8，AC=CE，DB=DE，从而可求△PCD的周长就转化为求PA+PB的值。
3．【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，BO；
∵∠AOB=2∠E=120°，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=180°﹣∠AOB=60°．
故选B．
【分析】连接OA，BO，由圆周角定理知可知∠AOB=2∠E=120°，PA、PB分别切⊙O于点A、B，利用切线的性质可知∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和可求得∠P=180°﹣∠AOB=60°．
4．【答案】52
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵一圆内切于四边形ABCD
∴AD+BC=DC+AB=10+16=26
∴四边形ABCD的周长为：2（DC+AB）=2×26=52
故答案为：52
【分析】根据圆外切四边形的对边之和相等，就可得出AD+BC=DC+AB，就可求出四边形ABCD的周长。
5．【答案】2
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB AP=5 3=2.
故答案为：2.
【分析】由AB、AC、BD是⊙O的切线，可证得AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长。
6．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解；连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F.
∵PA，PB切⊙O于A. B两点，CD切⊙O于点E
∴∠OAF=∠PBF=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，
∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，
∴PA=PB=r.
在Rt△PBF和Rt△OAF中，
∠FAO=∠FBP，∠OFA=∠PFB
∴Rt△PBF∽Rt△OAF
∴
∴AF=FB，
在Rt△FBP中，
∵PF2 PB2=FB2
∴(PA+AF)2 PB2=FB2
∴(r+BF)2 (r)2=BF2，
解得BF=r，
∴tan∠APB=，
故答案为：
【分析】 连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F，根据切线长定理，可得出△PCD的周长PA+PB=3r，求出PB、PA的长，再证明Rt△PBF∽Rt△OAF，可证得AF=FB，利用勾股定理求出BF的长，然后利用锐角三角形函数的定义，可求出tan∠APB的值。
7．【答案】解：∵，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F
∴AD=AE=20，DB=BF，FC=EC
∵△ABC的周长为：AB+BF+CF+AC
∴△ABC的周长为：AB+DB+CE+AC=AD+AE=20+20=40.
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】利用切线长定理可得出AD=AE=20，DB=BF，FC=EC，将△ABC的周长转化为AD+AE，代入计算可得出答案。
8．【答案】解：
∵PA、PB是⊙O的两条切线
∴PA=PB，OA⊥AP
∴∠PAB=∠PBA，∠CAP=90°
∵∠P=60°
∴∠PAB=（180°-60°）=60°
∴∠CAB=90°-60°=30°
在Rt△ABC中，AC= 12
∴cos∠CAB=cos30°===
解之：AB=6
∴弦AB的长为：6
【知识点】三角形的内切圆与内心；解直角三角形
【解析】【分析】连接BC，利用圆周角定理构造直角三角形，由切线长定理及∠P的度数，可求出∠CAB的度数，再利用解直角三角形求出AB的长。
9．【答案】（1）解：∵在△ABO中，OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°
∴∠AOB=180° 2×30°=120°，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠APB=360° 120° 90° 90°=60°.
（2）解：连接OP
∵AP、BP是圆O的切线
∴∠OAP=90°，∠APO=∠APB=×60°=30°
在Rt是△AOP中，tan∠APO=
∴
解之：AP=3
∴AP的长为：3
【知识点】三角形的内切圆与内心；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠AOB的度数，由切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形的内角和为360°，可求出∠APB的度数。
（2）根据切线长定理求出∠APO的度数，再利用解直角三角形求出AP的长。
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