2023
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1~4 D C A C 5~8 C B B D
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
9． ACD 10． BC 11． ABD 12． BC
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13． 2 14． 5
3
15． 5π ，1 答案不唯一，一般形式 kπ 5π ，1 16. 1 ； 0，ln 2 12 2 12 e 2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。
17．（10 分）
【解】（1）因为 S 2a nn n 2 ①，
所以 n≥2 时， S n 1n 1 2an 1 2 ②，
①-②得 a 2a 2a 2n 2n 1 ，即 a 2a 2n 1n n n 1 n n 1 ，n≥ 2 ， …… 2 分
a a
所以 n n 1 1 ，n≥ 2 ． 2n 2n 1 2
在①式中，令 n 1，得 a1 2，
a
所以数列 n 1 是以 1为首项 为公差的等差数列． …… 4 分
2n 2
a
所以 n 1 (n 1) 1 n 1，
2n 2 2
所以 a n 1n (n 1) 2 ． …… 6 分
（2）由b n 3 1 1n n 1 n 2 n 1 ， …… 8 分 (n 2)(n 1) 2 (n 1) 2 (n 2) 2
所以b1 b2 b3 bn
1 1 1 1 1 1
3
20 3 20 4 21
4 21
5 22
高三数学参考答案及评分建议 第 1 页（共 7 页）
1 1 1 (n 1) 2n
1 ．
2
(n 2) 2
n 1
(n 2) 2
n 1
因为 1 0 ，所以b1 b2 b3 b 1，得证． ……10 分 (n 2) 2n 1 n
18．（12 分）
【解】（1）因为 3b sin A b cos A a c ，由正弦定理，
可得 3sin Bsin A sin Bcos A sin C sin A ，
即 3sin Bsin A sin Bcos A sin(A B) sin A， …… 2 分
所以 3sin Bsin A cos Bsin A sin A ．
因为 sin A 0，所以 3sin B cos B 1， …… 4 分
即 sin B 1 ． 6 2
因为 B 0， ，所以 B ， ，
6 6 6
所以 B ，即 B ． …… 6 分
6 6 3
（2）因为点 D 在 AC 边上，满足 AC 3AD ，
2 所以 BD BA 1 BC ， …… 7 分
3 3
2
所以 BD 2 BA 1 BC3 3
2
4 2 1 2 BA BC 4
BA BC ，
9 9 9
因为 AB 3，BD 2， ABC ，
3
2
所以 4 4 9 1 BC 4 3 BC 1 ，
9 9 9 2
2
即 BC 6 BC 0，解得 BC 6，即 a 6 ． …… 9 分
在△ABC 中，由余弦定理，
得 AC 2 32 62 2 3 6 cos 63，即 AC 3 7 ，
3
所以 DC 2 7 ． ……11 分
在△BCD 中，由余弦定理，
2
2 62 (2 7)2
得 cos CBD 1 ． ……12 分
2 2 6 2
高三数学参考答案及评分建议 第 2 页（共 7 页）
19．（12 分）
【解】（1）当 a 0时， f (x) x3 3x2 1，
所以 f (x) 3x2 6x 3x(x 2) ，
令 f (x) 0，得 x 0 或 x 2 ． …… 1 分
列表如下：
x ( ， 2) 2 ( 2，0) 0 (0， )
f (x) 0 0
f (x) 极大值 极小值
所以 f (x) 在 x 2 处取极大值，即 x1 2 ，且 f (x1) 5． …… 3 分
由 f (x1) f (x3 ) 5，所以 x
3
3 3x
2
3 1 5 ，即 x
3 2
3 3x3 4 0，
所以 (x3 1)(x3 2)
2 0 ．
因为 x1 x3 ，所以 x3 1， …… 5 分
所以 2x1 x3 3 ． …… 6 分
（2）由 f (x) 3x2 6x a ，因为 x1 ，x2 分别是 f (x) 的极大值点和极小值点，
所以 x1 ，x2 是方程 f (x) 0的两个不相等的实根，且36 12a 0 ，即 a 3，
x1 x2 2 ,
所以 a …… 8 分
x1x2 . 3
因为 f (x1) f (x
3
2 ) (x1 3x
2
1 ax1 1) (x
3
2 3x
2
2 ax2 1)
(x1 x
2
2 ) (x1 x2 ) 3x1x2 3 (x1 x )
2
2 2x1x2 a(x1 x2 ) 2
( 2) ( 2)2 3
a 3 ( 2)2 2 a a ( 2) 2 6 2a，
3 3
因为 f (x1) f (x2 )≤5，所以6 2a≤5，解得 a≥
1 ．
2
综上， 1 ≤ a 3． ……12 分
2
高三数学参考答案及评分建议 第 3 页（共 7 页）
20．（12 分）
【解】（1）（方法一）连结 AO ．因为 AB AD，O 为 BD中点，
所以 AO BD．
A
因为平面 ABD 平面 BCD，
平面 ABD 平面 BCD BD，AO 平面 ABD，
所以 AO 平面 BCD． O
B D
因为CD 平面 BCD，所以 AO CD E ．
过点O作OE CD ，交CD 于点 E ，连结 AE ． C …… 2 分
因为 AO，OE 平面 AOE ， AO OE O，
所以CD 平面 AOE ，
因为 AE AOE ，所以CD AE ，
所以 AEO是二面角 A CD B的平面角． …… 4 分
因为 AB AD 2，BC BD CD 2，
所以直角△AOE 中，OE 3 ， AO 1， AE 7 ，
2 2
所以 sin AEO 2 7 ，
7
即二面角 A CD B的正弦值为 2 7 ． …… 6 分
7
（方法二）连结 AO ．因为 AB AD，O 为 BD中点，
所以 AO BD．
因为平面 ABD 平面 BCD， z
A
平面 ABD 平面 BCD BD，AO 平面 ABD，
M
所以 AO 平面 BCD．
因为 BC BD O ，O 为 BD中点， B D y
所以CO BD ， N
C
所以OC ,OD ,OA 两两互相垂直．…… 2 分 x
以 OC，OD，OA 为一组基底建立如图所示空间直角坐标系O xyz ．
因为 AB AD 2，BC BD CD 2 ，
高三数学参考答案及评分建议 第 4 页（共 7 页）
所以C( 3，0，0)，D(0，1，0)，B(0， 1，0)，A(0，0，1)，
所以OA (0，0，1)，DC ( 3， 1，0),AC ( 3，0， 1) ，
所以OA (0，0，1)为平面 BCD的一个法向量．
设平面 ACD 的的法向量 n (x，y，z) ，
DC n 0 , 3x y 0 ,
所以 即
AC n 0 , 3x z 0 .
令 x 1，得平面 ACD 的一个法向量n (1， 3， 3) ． …… 4 分
所以 cos OA，n O A n 3 21 ，
OA n 1 7 7
2
所以二面角 A CD B的正弦值为 1 21 2 7 ． …… 6 分 7 7
（2）取 AD 中点M ，CD中点 N ．
因为O 为 BD中点，所以OM AB ，
因为OM 平面 ABC ， AB 平面 ABC ，
所以OM 平面 ABC ，
同理ON 平面 ABC ．
因为OM 平面OMN ，ON 平面OMN ，OM ON O ，
所以平面OMN 平面 ABC ．
因为 E 为平面 ACD 内动点(包含边界)，且OE 平面 ABC ，
所以 E 在线段MN 上． …… 8 分
3 1 1 1 由 N ， ，0 ，M 0， ， ，NM 3 ，0，1 ， 2 2 2 2 2 2
所以 NE NM 3 ，0，1 ， 0，1 ， 2 2
则OE ON NE 3 3 ，1 ， ． 2 2 2
设OE 与平面 ACD 所成角为 ，则
高三数学参考答案及评分建议 第 5 页（共 7 页）
3 1
3 3
sin cos OE，n 2 2 2 2 3 1 ，
3 27 1 1
2 7 4 2 6 4
4 4 4
当 3 时， sin 4 3的最大值为 ，
4 7
OE ACD 4 3所以 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ． ……12 分
7
21．（12 分）
【解】（1）由双曲线C 的左焦点为 F ( 4，0) ，设 l : x my 4，0 m 1，
x my 4，
联立方程组 消 x 得 (m
2 1)y2 8my 8 0 ．
2 2
x y 8，
设 A(x1 ，y1)， B(x2 ，y2 ) ，所以 y1 y2
8m ，y 8
m2 1 1
y2 ． m2 1
因为 AF 3FB ，所以 y1 3y2 ， …… 2 分
即 y1 y2 2y2
8m ， y2
4m ，
m2 1 m2 1
所以 3y22 3 (
4m )2 8
m2
，
1 m2 1
解得m2 1 1， …… 4 分
7
所以 l 的方程为 y 7(x 4) ． …… 5 分
（2）由直线 AP : y 2 k1(x 4) ，得Q( 2，2 2k1)，
y 2 2k y 2 2k
所以 k 2 1 2 12 ， x2 2 my2 2
y1 2 y又 k k 1
2
1 PA ， x1 4 my1
y 2 y 2 2k
所以 k k 1 2 11 2 my1 my2 2
(y1 2)(my2 2) my1(y2 2 2k1)
my1(my2 2)
2my2 2 y1 4 2my 2mk y 1 1 1 ． …… 8 分
my1(my2 2)
因为mk1 y1 y1 2， y1 y2 my1 y2 ， ……10 分
2m( y y ) 2(y y )
所以 k k 1 2 1 21 2 2 （定值）． ……12 分 my1 (my2 2) y1 y2 2y1
高三数学参考答案及评分建议 第 6 页（共 7 页）
22. （12 分）
【解】（1）设 f (x) 的极值点为 x0 ， f (x) (x 1 p)e
x ，
(x 1 p)e
x0 0，
则 0 …… 2 分
(x p)ex 00 1，
解得 x0 0，p 1，经检验， p 1时满足题意． …… 3 分
所以 f (x) (x 1)ex ， f (x) xex ，
当 x 0 时， f (x) 0 ，当 x 0 时， f (x) 0，
所以 f (x) 的单调减区间为 ( ，0) ，单调增区间为 (0， ) ． …… 5 分
（2）不妨设 a b ，因为 f (a) f (b) (a 1)ea 0 ，
由（1）知， a 0 b 1， f (x)≥ f (0) 1． …… 6 分
设函数 g(x) ex 1 ln(1 x) ， x 1，
1 (x 1)e
x 1
则 g (x) ex ≤0 ，所以 g(x) 在 ( ，1) 上单调递减，
1 x 1 x
所以 g(a) g(0) 0 ，即 ln(1 a) 1 ea ，
所以 ln(1 a) 1 eln(1 a) (a 1)ea ，即 f (ln(1 a)) f (a) f (b)．
又 ln(1 a) 0，b 0，所以 ln(1 a) b，即 eb 1 a ． ……10 分
a b
由 f (a) f (b)，得 e e 1，又b 1，所以 ea 1 b ．
1 b 1 a
所以 ea +eb 2 a b，即 a b ea eb 2 ，得证． ……12 分
说明： g(x) 的生成过程．
a ea 1，
已得 a 0 b，要证 a b ea eb 2 ，可以考虑 显然不成立．
b e
b 1，
a eb 1，
再考虑 由于 a eb 1 b ln(1 a) f (b) f (ln(1 a))
b e
a 1.
f (a) f (ln(1 a)) (a 1)ea ln(1 a) 1 (1 a) ea 1 ln(1 a) 0 ，
所以构造函数 g(x) ex 1 ln(1 x) ，很巧， g (x)≤0 ，……．
高三数学参考答案及评分建议 第 7 页（共 7 页）2023届高三第一学期期中质量监测
数学
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本试卷共6页，22小题，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡
上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
.4.1
2.
作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项
的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案
不能答在试卷上。
3.
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题
目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新
答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.
考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.
在复平面内，复数-对应的点位于
2+1
A.第一象限
B,第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.
已知集合M-{x2x-a≤0，N={xlog2x≤1.若M∩N≠⑦，则实数a的取值
集合为
,！一资酒：-的的站
A.（-0,0]
B.(0,4]
C.(0,年oo)x是D.[4,+o)i
3.
己知a>0,b>0,则“a+b≤1”是“a+6≤√2”的=)儿音，
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D,既不充分也不必要条件
4.
“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，
是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排
放量，实现二氧化碳“零排放”·某地区二氧化碳的排放量达到峰值a(亿吨)后开
始下降，其二氧化碳的排放量S(亿吨)与时间t(年)满足函数关系式S=ab,若
经过5年，二氧化碳的排放量为“（亿吨）.已知该地区通过植树造林、节能减排等形
式，能抵消自身产生的二氧化碳排放量为号（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，
高三数学试卷：第1页（共6页）
至少需要经过多少年？（参考数据：1g2≈0.3)
A.28
B.29.、
C.30
D.314,
5
如图是函数的大致图象，则函数f)的解析式可以为f)=
B.
sinx
1-x2
1-x2
x2
e
c.
D.
6.
已知da-2-a则ta(-小
tana
A.-7
C.
D.4
7.
已知正六棱锥P-ABCDEF的底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60°.
圆柱QO的上底面圆O与正六棱锥P-ABCDEF的侧面均相切，下底面圆O在该
正六棱锥底面内，则圆柱OO体积的最大值为
、代「1的
计酒学」
A.号
B.号
C.
2W3
于.拉-共
π
D.
43
元
8。.若贷+y=eh号，其中x>0y>2,则
带数9气-一
A.>y,
B.ey C.4ey
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.
设{a}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项的和，且a,<0,Sm=S2m,则
A.d>0
B,a201=0
C.S4o2=0
D.Sn≥S201
10.己知函数fx),g()的定义域均为R,它们的导函数分别为f'(x),g'(x).若
y=f(x+1)是奇函数，g'(x)=cos()，f(x)与g(x)图象的交点为（出，y),
(在2)，…(mym),则
A.fx)的图象关于点(-1,0)对称
B.∫"(x)的图象关于直线x=1对称
高三数学试卷第2页（共6页）
