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15.1 轴对称图形
教学目标：
1、知识与技能：了解轴对称图形的概念，能够识别简单的轴对称图形，正确找出对称轴；
2、过程与方法：经历观察生活中的轴对称图形、探索轴对称现象，以及亲身经历的数学学习活动，让学生充分感受到理论来源于实践，又在实践中广泛运用这一道理；
3、情感与价值：通过对生活实物和相应图片的观察、欣赏，感受到数学与现实生活的密切联系，陶冶情操，渗透美育。
重难点和关键：
重点：认识生活中的轴对称图形，了解轴对称的概念；
难点：寻找对称轴；
关键：通过观察、操作、实践等活动，丰富对轴对称图形的认知和体验。
教学过程：
一、 创设情境，引入课题
请同学们先欣赏一组优美的图片，并仔细观察图片中建筑物的左右结构有什么共同点？
HYPERLINK "http://photo.blog..cn/showpic.html" \l "blogid=4c158b22010007mj&url=http://static13.photo..cn/orignal/4c158b2294acf21edff7c" \t "_blank"
它们的左边和右边的结构都是一样的，即对称的。
二、观察归纳，探究概念 ( http: / / www.xkb1.com )
其实，自然界中有很多物体的平面图形都具有对称性。比如千姿百态的蝴蝶、晶莹剔透的雪花、火红火红的枫叶等，都给人以对称的形象，同时带给人们美的享受。事实上，不论是在自然界中还是在建筑中，不论是在艺术中还是在科学中，对称的形式随处可见，对称具有和谐美。下面让我们一起走向生活，再去感受一下轴对称图形的美丽吧。放映图片。
请同学们在欣赏这些美丽图形时，思考这样一个问题：你能用自己的语言来描述这些图形是怎样对称的吗？
下面我们以蝴蝶的图案为例，在它的身体正中间画一条直线L，以直线L为折痕，将图案折叠，图中直线一侧部分与另一侧的部分能够完全重合。像这样，如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
注意：
1、画对称轴一般用虚线。
2、轴对称图形的对称轴两旁的部分是全等的，即，所有对应元素都是相等的，而且位置也是对应的；
三、例题讲解，巩固新知
例1 下面图案都是轴对称图形吗？你能画出它们的对称轴吗
讲解（略）
例2：下列图形中，哪些是轴对称图形：（1）角；（2）一般三角形；（3）等腰三角形；（4）长方形；⑸正方形；⑹圆。
解：图形（1）、（2）、（3）、（4）（5）都是轴对称图形，对称轴略。
四、提高训练，深化理解
１、下列图案是我国几家银行的标志，哪几个标志是轴对称图形？请你画出它们的对称轴。
[分析]
观察图形结合轴对称图形的的定义，可以发现（1）、（3）、（4）是轴对称图形，（2）不是轴对称图形；其中图（1）、（3）有两个对称轴。
解：图（1）、（3）、（4）是轴对称图形，对称轴（略）。
２、指出下列图形各有几条对称轴，并画出每个图的对称轴。
３、判断下列图形是不是轴对称图形，如果是，请画出对称轴。
通过前面的讲解和练习，请同学们思考：要判断一个图形是否是轴对称图形，关键是什么？
五、阅读操作
展示枫叶剪纸，并引导学生阅读课本P119面“操作”，分析枫叶剪纸过程。
让学生仿照课本上枫叶剪纸制作过程，画一画，剪一剪，创造一个轴对称图形。
想一想，怎样能说明你设计的图形是个轴对称图形？
学生操作，教师巡视，并适当的加以个别指导，选出创造比较好的几个图形加以展示、验证。
六、课堂小结
谈一谈：通过本节课的学习你有了哪些收获？
七、课后作业
1、课本P120面练习 ：第1、2题；
2、习题15.1 ：第1、2题.
沪科版八上第15章
《轴对称图形与等腰三角形》
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15.1 《轴对称图形》同步练习
第1题. 下列大写英文字母中，是轴对称图形的有（ ）
A．4个 B． 5个 C． 6个 D．7个
第2题. 下列图形是轴对称的有__________________．
第3题. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
第4题. 下列用英文字母设计的五个图案中轴对称图形有________个．
第5题. 我国传统的木结构房屋，窗子常用各种图案装饰，如图是一种常见图案，这个图案有_______条对称轴．
第6题. 如图，把△ABC沿直线BC为轴翻折180°作变形到△DBC，那么△ABC和△DBC_____全等图形(填是或不是)；若△ABC的面积为2，那么△BDC的面积为_____．
第7题. 1. 下列图案中,是轴对称图形且对称轴有且只有两条的是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．矩形 D．直角三角形
第8题. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ）．
第9题. 如图，它有几条对称轴？请你画出它的对称轴．
[]
[]
第10题. 15． 调查你身边的建筑物，植物的叶子等各种常见图形，找出它们哪些是轴对称图形，你能不能确定它们的对称轴？
第11题. 下列图案中不是轴对称图形的是（ ）
第12题. 下列图案中，是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第13题. 正五角星的对称轴是（ ）
A．1条 B．2条 C．5条 D．10条
第14题. 下列是我国几家银行的标志图案，其中哪一个不是轴对称图形？（ ）
第15题. 在0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中，符合轴对称关系的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个[]
第16题. 观察下图，它有对称轴（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
第17题. 粗圆体的汉字“王、中、田”等都是轴对称图形，请再写出三个这样的汉字___________．
第18题. 在26个大写英文字母中，有许多字母是轴对称图形，请你把其中是轴对称图形的字母写出来________________（不少于5个）．
第19题. 观察下图中各组图形，其中成轴对称的为____________（只写序号）．
第20题. 在我国的汉字中，有很多字是轴对称图形，如"王"，"工"等，请你再写出五个不同的轴对称汉字___________．
第21题. 判断下列各图形是不是轴对称图形，如果是，请你画出它的对称轴：
第22题. 国旗是一个国家的象征，你知道哪些国家的国旗？其中哪些国旗是轴对称图形？请你查阅相关的资料，尽可能多地找出是轴对称图形的国旗．
第23题. 羊年话"羊"，"羊"字象征着美好和吉祥，下列图案都与"羊"字有关，其中是轴对称图形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第24题. 下列图案中，有且只有三条对称轴的是（ ）
第25题. 下面有４个汽车标志图案，其中是轴对称图形的是
① ② ③ ④
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
参考答案
1. 答案：A
2. 答案：A，Ｂ，Ｅ，Ｆ
3. 答案：C
4. 答案：３
5. 答案：2
6. 答案：是，2．
7. 答案：C
8. 答案：Ｂ
9. 答案：4
10. 答案：略
11. 答案：D
12. 答案：C
13. 答案：C
14. 答案：D
15. 答案：Ｂ
16. 答案：A
17. 答案：略
18. 答案：A，B，C，D，E，H，I，M，O，T，U，V，W，X，Y
19. 答案：①②④
20. 答案：田，土，山，十，里等
21. 答案：第①③⑤⑥⑦个图形是轴对称图形
22. 答案：略
23. 答案：B
24. 答案：D
25. 答案：Ｄ
沪科版八上第15章
《轴对称图形与等腰三角形》
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沪科版八上数学第15章《轴对称图形与等腰三角形》
单元测试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分
得分
得分 评卷人
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1、在平面直角坐标系中，点（2，1）在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、下列长度的三条线段能组成三角形的是
A．1、2、3.5 B．20、15、8 C．4、5、9 D．5、8、2
3、下列命题中，正确的是
A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0 B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C．若a·b＝0，则a＝0，且b＝0 D．若a·b＝0，则a＝0，或b＝0
4、如图，在△ABC中，，，BD、CE分别是
△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
5、如图，△ABC经过怎样的平移得到△DEF
A．把△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B．把△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C．把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D．把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位
6、下列说法错误的是
A．三角形的中线、高、角平分线都是线段
B．任意三角形内角和都是180
C．三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形
D．直角三角形两锐角互余
7、在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8、如图，在△中, . 在同一平面内, 将△绕点旋转
到△的位置, 使得, 则
A. 300 B. 350
C. 400 D. 500
9、为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…， 25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c
字母 a b c d e f g h i j k l m
序号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
字母 n o p q r s t u v w x y z
序号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
按上述规定，将明文“maths”译成密文后是
A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc
10、 甲、乙两个准备在一段长为1200米的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4和6，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两之间的距离与时间的函数图象是
得分 评卷人
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上）
11、如果正比例函数的图象经过点（1，－2），那么k 的值等于 ．
12、等腰三角形的对称轴有 条．
13、命题“直角都相等”的逆命题是__________________，它是__________________
命题．（填“真”或“假”）．
14、如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是__________________．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）
①∠BAD＝∠ACD ②∠BAD＝∠CAD，
③AB+BD＝AC+CD ④AB-BD＝AC-CD
得分 评卷人
三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15、如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．
能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．
供选择的三个条件（请从其中选择一个）：
①AB=ED；②BC=EF；③∠ACB=∠DFE．
16、如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分
别为E、F．求证：BF=CE．
得分 评卷人
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17、已知直线经过点A（—1，0）与点B（2,3），另一条直线经过点B，且与x轴交于点P（m,0）,若的面积为3，求m的值．
18.、如图, 在平面直角坐标系中, 点(0,8), 点(6 , 8 ).
(1) 只用直尺(没有刻度)和圆规, 求作一个点，使点同时满足下
(第18题)
列两个条件(要求保留作图痕迹, 不必写出作法)：
1）点P到，两点的距离相等；
2）点P到的两边的距离相等.
(2) 在(1)作出点后, 写出点的坐标.
得分 评卷人
三、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19、已知函数= x —1和= —2x + 3．
（1） 同一坐标系中画出这两个函数的图象．
（2） 求出这两个函数图象的交点坐标．
（3） 观察图象，当x取什么范围时，＞？
20、（1）观察与发现
小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到（如图②）．小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（2）实践与运用
将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中的大小．
得分 评卷人
六、（本题满分12分）
21、已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF＝AD，MF＝MA．
（1）若∠MFC＝120°，求证：AM＝2MB；
（2）求证：∠MPB＝90°－ ∠FCM．
得分 评卷人
七、（本题满分12分）
22、某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）
请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）求销售量为多少时，销售利润为4万元；
（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；
（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）
得分 评卷人
八、（本题满分14分）
23、某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟．下图表示快递车距离A地的路程（单位：千米）与所用时间（单位：时）的函数图象．已知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时．
(1) 请在下图中画出货车距离A地的路程（千米）与所用时间(时)的函数图象；
(2) 求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）；
(3) 求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时．
参考答案+试题解析+评分标准
一、选择题：A、B、D、A、C、C、B、C、A、C．
二、填空题：11、k=-2 ； 12、一条或三条 ；13、相等的角都是直角 假
14、②③④
三、解答题：
15、略；16、略；
17、分两种情况：当点P在点A右侧时，AP=m+1,
有=m+1) ×3=3,得m=1.所以P（1,0）； （4分）
当P点在A点的左侧时，AP= —m—1,
有= —m—1) ×3=3,得m= —3.所以P（—3,0）；（8分）
（第18题）
18. (1) 作图如右, 点即为所求作的点; --- 图形4分, 痕迹2分
(2) 设AB的中垂线交AB于E，交x轴于F，
由作图可得, , 轴, 且OF =3,
∵OP是坐标轴的角平分线，
∴(3，3). --- 2分
19、（1）略4分；
（2）令x-1=-2x，得x=，∴y=
∴交点坐标为（，）； 4分
（3）当x＞时＞ 2分
20、（1）同意．如图
G
设AD与EF交于点G．由折叠知，AD平分∠BAC,所以，∠BAD＝∠CAD, 又由折叠知，∠AGE＝∠DGE=90°,所以∠AGE＝∠AGF=90°.所以，∠AEF＝∠AFE.所以AE=AF,即是等腰三角形． （5分）
（2）、由折叠知，四边形ABFE是正方形，∠AEB=45°, 所以∠BED=135°，
又由折叠知∠BEG＝∠DEG,所以∠DEG=67.5°,从而=90°—67.5°=22.5°（10分）
21、 （1）连接MD，
∵点E是DC的中点，ME⊥DC
∴MD＝MC（线段垂直平分线的性质）
在⊿AMD和⊿FMC 中，CF＝AD，MF＝MA，MD＝MC
∴⊿AMD≌⊿FMC（sss）
∴∠MAD＝∠MFC＝120°
又∵AD∥BC，∠ABC＝90°
∴∠BAD＝90°∴∠MAB＝120°－90°＝30°
∴AM＝2MB （6分）
(2) ∵AD∥BC
∴∠ADM＝∠DMB，
又∵⊿AMD≌⊿FMC
∴∠ADM＝∠MCF
∴∠DMB＝∠MCF
又∵点E是DC的中点，ME⊥DC
∠DME＝∠PMB＝∠MCF
在Rt⊿PMB中
∵∠PBM＝90°
∴∠MPB＝90°－∠PMB
即：∠MPB＝90°－ ∠FCM （12分）
22、（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为4÷（5-4）=4（万升）
答：销售量x为4万升时销售利润为4万元． （3分）
（2）点A的坐标为（4,4），从13日到15日利润为5.5-4=1.5（万元）
所以销售量为1.5÷（5.5—4）=1（万升）,
所以点B的坐标为(5, 5.5).
设线段AB所对应的函数关系式为y=kx+b,则 4=4k+b
解得 k=1.5
5.5=5k+b
b=-2
所以线段AB所对应的函数关系为y=1.5x—2(4≤x≤5) (6分)
从15日到31日共销售5万升，利润为1×1.5﹢4×（5.5﹣4.5）＝5.5(万元)
所以本月销售该油品的利润为5.5+5.5=11(万元),所以C点的坐标为(10, 11)
设线段BC所对应的函数关系式为y=mx+n,则 5.5=5m+n
11=10m+n
解得 m=1.1
n=0
所以线段BC所对应的函数关系式为y=1.1x(5≤x≤10) （9分）
（3）线段AB. (12分)
23、解：（1）图象如图； 3分
（2）4次； 6分
（3）如图，设直线的解析式为，
∵图象过，，
7分
．① 9分
设直线的解析式为，∵图象过，，
10分
．② 12分
解由①，②组成的方程组得
最后一次相遇时距离地的路程为100km，货车从地出发8小时 ． 14分
A
B
C
D
E
（第4题）
（第5题）
（第14题）
A
B
D
E
F
C
（第15题）
（第16题）
.
A
C
D
B
图①
A
C
D
B
图②
F
E
E
DD
C
F
B
A
图③
E
D
C
A
B
F
G
A
D
E
C
B
F
G
图④
图⑤
O
x
（万升）
y（万元）
C
B
A
4
5.5
10
五月份销售记录
1日：有库存6万升，成本价4元/升，售价5元/升．
13日：售价调整为5.5元/升．
15日：进油4万升，成本价4.5元/升．
31日：本月共销售10万升．
(时)
(千米)
1
2
4
3
5
6
7
8
9
-1
-21
50
100
150
200
O
-50
A
C
D
B
图①
A
C
D
B
图②
F
E
(时)
(千米)
1
2
4
3
5
6
7
8
9
-1
50
100
150
200
O
F
G
C
E
D
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15.4 角的平分线
教材分析 本节知识是在学习了角平分线的定义及其度量法作法；两条直线互相垂直，垂线的概念及用三角尺作垂线的方法；全等三角形，等腰三角形等知识后进行的。它首先探索了角平分线的尺规作法，并在此基础上接着学习了过一点作已知直线垂线的尺规作法。它们是几何的基本作图，也是今后进一步学习、 研究几何知识的重要基础。
教学[]目标 知识目标[][][] 1.掌握角平分线的尺规作法并会证明它的正确性。[]2.掌握过一点作已知直线垂线的尺规作法。
能力目标 1培养学生用直尺和圆规作图的能力及有条理地语言表达能力。2.培养学生分析问题和解决问题的能力。
情感价值 在探究作已知角的平分线的方法及作垂线的方法中，培养学生的几何直觉；培养学生探究问题的兴趣，增强探究问题的信心；体验数学活动的探索性和创造性。
教学重点 角平分线及垂线的尺规作法
教学难点 角平分线的尺规作法的探索过程
教学设想 1.本节课在设计时我曾想通过等腰三角形的三线合一的性质来设计，但考虑到学生对这一性质掌握不够，于是就按三角形全等的知识来设计。2.在探索角平分线的尺规作法时，原考虑利用教材第110页B组复习题的第1题改编做一个简易的平分角的仪器来解决这一重、难点，但考虑到时间不够，也考虑到学生的接受能力，就降低了难度，利用折纸做的角来突破难点。3.本节课的两个练习较难，且课后习题没有关于本节课的题目，所以利用练习的第2题，另补充了一道题作为课后作业，同时鼓励学生做好预习，为下一节课打下了伏笔。4.教学方法设计为引导——发现法
教 具 三角板，圆规，纸做的角
教学过程设计
教学流程 教师活动 学生活动
温故知新导入新课温故知新导入新课 1.提出问题：什么是角平分线？2.如图，已知∠AOB，如何作∠AOB的角平分线呢？ 3.度量法：用量角器作∠AOB的角平分线。4.说明：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是对称轴。5.设问：除了这种方法外，还有什么方法能作呢？这就是我们这节课要解决的问题。6.板书课题：角的平分线 回忆思考回答
启发诱导探究新知 【活动1】1.出示一个纸质的角，提问：你能作出这个角的平分线吗？2.根据学生回答，折叠法，折痕所在的射线就是角平分线。3.用剪刀对折叠后的角进行修剪。4.让学生观察修剪后的角，提问：能从中发现什么？ 根据学生回答，适当提示：边相等。加上字母O、A、B、D、E、P, 即OD=OE,DP=EP。5.问题：已知∠AOB，求作：∠AOB的角平分线。6.点题：前面我们所讲的是度量法及折叠法，今天将探索运用直尺和圆规来作角平分线。7.怎样用直尺和圆规来作角平分线？提示学生能否从折纸角中得到启示8.如何在∠AOB的内部找到P点呢？9.归纳角的平分线的作法并板书作法。10.证明作法的正确性。11．任作一个角，用直尺和圆规作出它的角平分线。 思考观察交流回答归纳回答作图
承前启后深入探究 【活动2】1．问题：你能作一个平角的角平分线吗？2．问题：这个作图可以看着是什么？如何写已知，求作？3．刚才作的是点在直线上的，你能过直线外一点作已知直线的垂线吗？4.提示学生：刚才我们是利用全等来操作的，这个题也可以利用全等来操作。5.板书作法并作图。6.点题：你能否用全等来证明作法的正确性。7.任作一条直线，任取一个点，过这个点作这条直线的垂线。 作图思考交流回答作图
应用反思注重参与 【活动3】做第135页练习第1题 交流作图
归纳小结强化思想 1.本节课你学习了哪些知识？（学会了两种基本尺规作图：作角平分线，作垂线。）2.通过进一步的探索你有何收获？ 交流回答
作 业 1.第135页练习第2题2.（补充）如图，已知△ABC，求作⑴∠BAC的角平分线 ⑵BC边上的高3今天我们学习了角平分线的作法，那么角平分线还有什么奥秘呢？请同学们预习第135-136页内容。
板书设计 16.4角平分线作法 作法 作法
沪科版八上第15章
《轴对称图形与等腰三角形》
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15.3《等腰三角形》
同步练习
第1题. 已知等腰三角形的一个内角为80°，则它的另两角为________________．
第2题. 在△ABC中， ∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
第3题. 如下图，△MNP中， ∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（ ）
A．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a
第4题. O是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E点，若BC=10cm，那么△ODE的周长为（ ）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
第5题. 已知:如下图，P，Q是△ABC边上BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．
第6题. 等腰三角形底边中点与一腰的距离为6，则腰上的高为______．
第7题. 如下图，DE是线段BC垂直平分线上两点，连DB、DC、EB、EC，则∠DBC与∠DCB的关系是________，∠DBE与∠DCE的关系是________．[]
第8题. 等腰三角形底角的外角比顶角的外角大30°，则这个三角形各内角度数是________．
第9题. 等腰三角形有一个角是50°，那么其他两个角的度数是____________．
第10题. 如下图，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF=______．
第11题. △ABC是等腰三角形，D为BC上一点，DE∥AB且交AC于E，请判断△EDC是什么三角形 并说明理由．
第12题. 已知AE平分∠DAC，AE∥BC，那么AB=AC吗 请简要说明理由．
第13题. 等腰三角形的两边长为3和6，则这个三角形的周长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
第14题. 如下图，PQ为Rt△MPN斜边上的高， ∠M=45°，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第15题. 如下图，在△ABC中，AB=AC， ∠A=50°，P是△ABC内一点， ∠PCB=∠PCA，且∠PBC=∠PBA，则∠BPC度数为（ ）
A．115° B．100° C．130° D．140°
第16题. 下列命题正确的个数是（ ）
①如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边;②如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段，那么延长线段的两个端点与顶点距离相等;③等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等;④等腰三角形高上一点到底边的两端点距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第17题. 等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（ ）
A．42° B．60° C． 36° D． 46°
第18题. 等边三角形两条角平分线所夹锐角的度数是（ ）
A．120° B． 150° C．60° D．90°
第19题. 如下图，∠ABC中，AD⊥BC，AB=AC， ∠BAD=30°，且AD=AE，则∠EDC等于（ ）
A．10° B．12．5° C．15° D． 20°
第20题. 如下图，△ABC中，点D在AC上，且AB=AD， ∠ABC=∠C+30°，则∠CBD等于[]
（ ）
A．15° B． 18° C． 20° D． 22.5°
第21题. 如果一个三角形的一条边上的中点到其他两边的距离相等，那么它一定是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．不等腰钝角三角形
第22题. 如下图，在△ABC中，AB=AC， ∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
第23题. 一个等腰三角形的一个内角为90°，那么这个等腰三角形的一个底角为（ ）
A．90° B． 45° C． 50° D． 22.5°
第24题. 等腰三角形的两条边长分别为15cm和7cm，则它的周长为（ ）
A．37cm B．29cm C．37cm或29cm D．无法确定
第25题. △ABC中，∠ACB=90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD∶∠CAB=1∶3，则∠B等于_______度．
第26题. 已知Rt△ABC是轴对称图形，且∠C＝90°，那么∠B＝_____度，∠A＝______度；点A的对应点是______，点C的对应点是_______．
第27题. 在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P，则PA、PB、PC的大小关系是_________．
第28题. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是BC边上的两点，且满足AD＝AE=BD=CE，则图中与∠B相等的角有________个角，分别是________________________． 图中全等的三角形有___对，分别是_____________________________
第29题. 已知:如下图，AB=AC，BD⊥AC，请探索∠DBC与∠A的关系并说明理由．
第30题. 已知线段a，b（a>2b），以a、b为边作等腰三角形，则（ ）
A．只能作以a为底边的等腰三角形
B．只能作以b为底边的等腰三角形
C．可以作分别以a、b为底的等腰三角形
D．不能作符合条件的等腰三角形
第31题. 如图，在△ABC中，BC=5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是___________ cm.
[]
参考答案
1.答案：80°和20°或50°和50°．
2.答案：D
3.答案：D
4.答案：Ｃ
5.答案：120°
6.答案：12
7.答案：相等，相等
8.答案：80°，50°，50°
9.答案：50°、80°或65°、65°
10.答案：55°
11.答案：等腰三角形，∠EDC＝∠B，∠B＝∠C，∠EDC＝∠Ｃ
12.答案：AE∥BC，所以∠EAC=∠C．因为∠DAC=∠B+∠C，所以∠DAE=∠B．因为∠DAE=∠EAC，所以
∠B=∠C，所以AB=AC．
13.答案：C
14.答案：C
15.答案：A
16.答案：C
17.答案：A
18.答案：C[]
19.答案：C
20.答案：A
21.答案：B
22.答案：D
23.答案：B
24.答案：A
25.答案：22.5
26. 答案：45°，45°，B，C
27. 答案：PA=PB=PC
28. 答案：3；∠C，∠BAD，∠CAE；2；△ABD≌△ACE，△ABE≌△ACD[]
29. 答案：提示：
30. 答案：B
31.答案：5
沪科版八上第15章
《轴对称图形与等腰三角形》
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15.3 等腰三角形
第1课时
等腰三角形的性质
一.基本概念
1.定义:
两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图AB=AC， 就是等腰三角形
2.等腰三角形的基本要素:
A
B
C
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
现在请同学们将所画的等腰三角形对折，
使两腰 AB、AC重叠在一起，折痕为AD，
你能发现什么现象呢？
D
A
B
C
二.等腰三角形性质的探索
B
A
C
D
A
B
C
D
A
B(C)
D
通过折叠你发现图形中有哪些相等的线段或角？
（1）、等腰三角形是轴对称图形
（2）、∠ B =∠ C,
（3）、BD = CD,
（4）、∠ADB = ∠ADC = 90°,
（5）、∠BAD = ∠CAD ，
C
A
B
D
由上述结论（2）可得如下性质：
定理1 等腰三角形的两底角相等.简称“等边对等角”.
由上述结论（3）、（4）、（5）可得如下性质：
定理2 等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.（“三线合一”）
即两底角相等
即AD 为底边上的中线
即AD为底边上的高
即AD为顶角平分线
C
D
B
A
1、（1） 在ΔABC中，∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C（ ）
等边对等角
① ∵AD⊥BC，
∴∠____ = ∠____，___= ___
② ∵AD是中线，∴___⊥___ ，∠____ =∠____
③∵AD是角平分线，
∴___ ⊥___ ，___ =___
BAD CAD
BD CD
AD BC
AD BC
BAD CAD
BD CD
（2） 在△ABC中， AB=AC时，
课堂练习：
（三线合一）
2 、在△ ABC中，若AB=BC=CA，
则 ∠A=______
∠B=______
∠C=______
推论：
等边三角形三个内角都相等，每一个角都等于 。
课堂练习：
60 °
60 °
60 °
60°
解：∵ AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
∴∠B=∠C= 30°
又∵BD=AD(已知)
∴∠BAD=∠B= 30°（等边对等角）
同理 ∠CAE =∠C= 30°
∴∠DAE =∠BAC－∠BAD－∠CAE
=120°－30°－30°
=60 °
例1： 如图在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E是底边的两点，且BD=AD，CE=AE，
求∠DAE的度数。
A
B
C
D
E
能力拓展： 1、已知，如图AB=AC，AD=AE。求证：BD=CE。
E
D
C
B
A
方法一：
证明： ∵AB=AC
∴∠B=∠C（等边对等角）
同理：∠ADE=∠AED
又∵ ∠ADE+∠ADB=180°
∠AED+∠AEC=180 °
∠ADB=∠AEC（等角的补角相等）
在△ABD与△ ACD中
∵ ∠B=∠C
∠ADB=∠AEC
AD=AE
∴ △ ABD≌ △ ACE（AAS）
∴ BD=CE
方法二：
过A作AF⊥BC垂足为F点，
∵ AB=AC
∴BF=FC（三线合一）
同理：DF=EF
∴BF-DF=FC-EF
即BD=CE
F
∟
方法三：
证明△ ABE≌ △ ACD
A
B
C
D
2、如图:在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BC=AD=BD，求△ABC各角的度数。
解：∵AB=AC，BC=AD=BD
∴∠ABC=∠C=∠BDC
∠A=∠ABD （等边对等角）
设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2X
则∠ABC=∠C=∠BDC=2X
在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=X+2X+2X=1800
解得 X=360
在△ABC中，∠A=360，∠ABC=∠C=720
⒈等腰三角形一个底角为40°,它的顶角为______.
⒉等腰三角形一顶角为40°,它的另外两个底角为
__________________.
⒊等腰三角形一个角为40°,它的另外两个角为___________.
100 °
100°，40 °
或70 °，70 °
70°,70°
4.等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 .
30°30°
5.如图,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,且AD∥BC,试判断△ABC的形状,并说明理由
B
D
A
C
E
1
2
6.已知:如图,AD∥BC,BD平分∠ABC,试判断△ABD的形状,并说明理由
A
B
D
C
7.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，两底角的平分线BE和CD相交于点O，那么△OBC是什么三角形？为什么？
A
B
C
E
D
O
8.如图,在△ABC中，已知∠ABC=∠ACB，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB,EG∥BC.请想想看,由以上条件,你能推导出什么结论 并说明理由.
A
B
C
F
E
G
9.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是角平分线。求证：AB＝AC＋DC。
A
B
C
E
D
10、如图，已知AB=AC，EB=EC，
结论∠ABE= ∠ACE是否正确？
说明理由。
A
B
C
E
1、等腰三角形的性质：等边对等角
2、 等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边（三线合一）
4、利用等腰三角形的“三线合一”性质作辅助线（顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线），帮助我们解决实际问题。
3、等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°
15.3 等腰三角形
第2课时
等腰三角形的判定
等腰三角形的性质？
A
B
C
1.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）
2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线 和底边上的高互相重合（简称“三线合一”）
温故而知新：
思考 :
1、如图：ΔABC中,已知AB=AC,
∠ B= ∠ C（在同一个三角形中，
等边对等角）．
2、反过来：在ΔABC中，∠ B= ∠ C，
AB=AC成立吗？
已知：ΔABC中，∠B=∠C
求证：AB=AC
证明：
作∠BAC的平分线AD
在ΔBAD和ΔCAD中，
∠BAD=∠CAD，
∠B=∠C，
AD=AD
∴ ΔBAD≌ ΔCAD（AAS）
∴AB=AC
A
B
C
D
已知
在一个三角形中，等角对等边
定理 有两个角相等的三角形是
等腰三角形.简称（“等角对等边”）
在△ABC中，
A
B
C
∵∠B=∠C ( )
∴ AC=AB. ( )
用符号语言表示为：
这又是一个判定两条线段相等根据之一.
归纳：
由上述定理我们可以得到什么启示：
已知：如图，⊿ABC中， ∠ A=∠B=∠C
求证：AB=AC=BC
A
B
C
证明：在⊿ABC中
∵ ∠ A=∠B（已知）
∴BC=CA（等角对等边）
同理CA=AB
∴BC=CA=AB
推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形。
已知： ⊿ABC中，AB=AC， ∠ A=600。
求证：AB=AC=BC
A
B
C
证明： ⊿ABC中
∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C （等边对等角）
∵ ∠ A=600
∴ ∠B=∠C = 600
∴AB=AC=BC
已知： ⊿ABC中，AB=AC， ∠B=600。
求证：AB=AC=BC
A
B
C
证明： ⊿ABC中
∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C （等边对等角）
∵ ∠ B=600
∴ ∠C = 600
∴∠ A=600
∴AB=AC=BC
推论2 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。
如图：△ABC是直角三角形，其中，∠C＝90°
∠A＝30°，延长BC到点D，使BC＝DC,则△ABD是等边三角形。则AB＝BD＝AD＝1/2BC。
A
B
D
C
30°
定理 在直角三角形中，
如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等
于斜边的一半。
问：如图,下列推理正确吗
A
B
C
D
2
1
∵∠1=∠2 ∴ BD=DC
（等角对等边）
∵∠1=∠2 ∴ DC=BC
A
B
C
D
2
1
（等角对等边）
错，因为都不是在同一个三角形中。
练一练：
解： ∵ ∠ DAC= ∠ ACB+ ∠ ABC
（三角形外角的性质）
∴ ∠ ABC= ∠ DAC -∠ ACB
=60 °- 30 ° =30 °
∵ ∠ ABC= ∠ ACB
∴ AB=AC（在同一个三角形中， 等角对等边）
即AC的长就是河宽。
范例讲解：
例1：一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量A, B之间的距离。小明想出了一个方法：从点A出发，沿着与直线AB成60 °角的AC方向前进至C , 在C处测得∠ C= 30 °，量出AC的长，它就是河的宽度。这个方法正确吗？请说明理由。
30 °
A
B
C
D
60 °
想一想：还有其它测量河宽的方法吗？
A
B
C
E
D
例2：已知，如图等边△AEB与等边△BCD在线段AC的同侧。 求证： △ABD≌△EBC
A
B
C
D
E
变式：已知如图△ABD与△ACE均为等边三角形，求证：DC=BE
想一想：
你还能写出哪些结论
例3:如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。
证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）
∴BD⊥AC于D，CE⊥AB于E
∴∠BEC=∠CDB=90°
∴∠1+∠ACB=90°，∠2+∠ABC=90°（直角三角形两个锐角互余）
∴∠1=∠2（等角的余角相等）
∴BM=CM（等角对等边）
例4:如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE，
求证：△DEF也是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形
∴AC=BC，∠A=∠C
∵CE=BD
∴BC－BD=AC－CE
∴CD=AE
在△AEF和△CDE中
∴△AEF≌△CDE（SAS）
∴EF=DE
同理可证EF=DF
∴EF=DE=DF
∴△DEF是等边三角形
名称 图 形 概 念 性质与边角关系 判 定
等
腰
三
角
形
A
B
C
有两边相等的三角形是等腰三角形
三线合一
是轴对称图形
等角对等边
课堂小结
等边对等角
推论（P133）
推论1、2(P137)
定理（P137)登陆21世纪教育 助您教考全无忧
15.2《线段的垂直平分线》
同步练习
第1题. 如图，△ABC中，∠CAB=120 ，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则∠EAF等于（ ）
A．40 B．50 C．60 D．80
第2题. 已知线段AB和它外一点P，若PA=PB，则点P在AB的____________________；若点P在AB的____________________，则PA=PB．
第3题. 已知：△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点P．
求证：点P在BC的垂直平分线上．[]
第4题. ⑴作一个钝角三角形，利用尺规作这个三角形三条边的垂直平分线；
⑵作直角三角形和锐角三角形，利用尺规作三角形三条边的垂直平分线；[]
⑶你发现三角形三条边的垂直平分线与三角形的形状有怎样的位置关系？
第5题. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为（ ）
A．60° B．75°
C．90° D．95°
第6题. 如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF=12，BF=3，则BC=__________．
第7题. 如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，AC，BD相交于E，由这些条件你能推出哪些结论（不再添加辅助线，不再标注字母，不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论）？
第8题. 如图，△ABC中，AB=AC，点P、Q、R分别在AB，BC，AC上，且PB=QC，QB=RC．
求证：点Q在PR的垂直平分线上．
第9题. 把16个边长为a的正方形拼在一起，
如图，连接BC，CD，则△BCD是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．任意三角形
第10题. 若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
参考答案
1. 答案：C．
2. 答案：垂直平分线上；垂直平分线上．[][]
3. 答案：连结PA，PB，PC，PB=PA=PC，所以，点P在BC的垂直平分线上．
4. 答案：⑴、⑵略；⑶锐角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形内部；直角三角形三边的垂直平分线的交点在斜边上，即斜边的中点；钝角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形外部．
5. 答案：C．
6. 答案：15．
7. 答案：AC平分对角；AC⊥BD；AC平分BD；△ABC≌△ACD等．
8. 答案：提示：AB=AC，∴∠B=∠C，又PB=QC，QB=RC，∴△BPQ≌△CQR，∴QP=QR，∴点Q在PR的垂直平分线上．[]
9. 答案：B．
10答案：C．
沪科版八上第15章
《轴对称图形与等腰三角形》
C
A
B
E
F
E
B
C
F
A
E
D
C
B
A
A
B
C
P
Q
R
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第1课时
轴对称图形
蜻蜓
雪花
自然界里，许多物体的平面图形常具有 对称性。
枫叶
优美的自然风光及倒影
规模宏大的对称式宫殿建筑
国家体育场鸟巢
游泳中心水立方
2008年北京奥运会国家体育场——“鸟巢”
中国最具魅力的国粹之一
——京剧脸谱
汽车车标和交通标志
剪纸艺术
国旗
几何图案
人类很欣赏物体的对称美，设计师，艺术家常利用对称性使作品美观大方
请你想一想：你能将上图中的每一个图形沿某条直线对折，使直线两旁的部分完全重合吗？
如果一个平面图形沿着一条直线折叠，
直线两旁的部分能够完全重合，那么这
个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做
对称轴。
你能找出图中各图形的对称轴吗？如果能，请在图上画出来。是否有些图形的对称轴不止一条呢？
有的图形的对称轴这么多！看来
以后找对称轴，可得好好想想！
圆有几条对称轴
无数条!
先把一张纸对折，在折好的一侧画出图形，用手撕下来，再把纸打开，看一看能得到一个什么样的图形？
操作：
①折叠
②画图
③剪纸
④展开
五角星
动动手、想一想：请找出下面轴对称图形的对称轴。
等腰三角形
正方形
等
边
三
角
形
长
方
形
圆
①
②
③
④
⑤
⑥
2.在大写英文字母中，有哪些是轴对称图形
1.在0 ，1，2，3，4，5 ，6 ，7 ，8 ，9 这几个数字中，哪几个是轴对称图形？
0
3
8
3.你能说出汉字中哪些是轴对称图形吗？
中
田
……
第2课时
成轴对称
刚才我们研究了一个图形具有轴对称的特征，你想不想看看两个图形是否也具有这样的特征呢？
一个图形
两个图形
请你认真观察！
每一组里，左边的图形沿直线对折后与右边的图形完全重合吗？
像这样，平面内两个图形在一条直线的两旁，如果沿着这条直线折叠，这两个图形能够重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，折叠后重合的两点叫做对应点（也叫对称点）。
一个轴对称图形，如果把它沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称。
A
A′
B
l
观察思考：
AB与A’B的数量关系？
AA’与直线L的位置关系？
AB＝A’B,
AA’ ⊥ L .
经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做
这条线段的垂直平分线，又叫做线段的中垂线。
A’点是A点的对应点
如何画线段AB
关于直线l 的
对称线段A′B′
A
B
A’
B’
B’
A’
如何画 △ABC关于直线l的对称图形
A
B
C
C’
经验归纳:
先找特殊点，然后作出其对称点，
最后顺次连接对称点，构成三角形。
１．沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够 ．
２．都有 ．
３．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线 ；如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是 ．
联系
个图形
个图形
区别
两个图形成轴对称
轴对称图形
一
两
完全重合
对称轴
对称
轴对称图形
比较归纳：
1. 成轴对称的两个图形全等吗 ( )
全等的两个图形一定成轴对称吗？（ ）
2. 如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形全等吗 ( )这两个图形成轴对称吗 ( )
全等
全等
成轴对称
不一定
１、 下列轴对称图形中，对称轴最多的是（ ）
B
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
2 、如图，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是（ ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
３、下图是由小正方形组成的“Ｌ”形图。请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为轴对称图形。
Ｃ
小 结
1、生活中的轴对称现象
2、轴对称图形和对称轴的概念
3、区分轴对称图形和两个图形成轴对称
轴对称和轴对称图形关系:
联系：
区别：
轴对称图形是一个图形。
轴对称是两个图形之间的关系。
都是沿一条直线折叠后能够互相重合。登陆21世纪教育 助您教考全无忧
15.4《角的平分线》同步练习
1、 选择题（每题5分，共25分）[]
1． 如图1，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则下列结论中错误的是（ ）
A. PC=PD B.OC=OD C.∠CPO=∠DPO D.OC=PC
2． 如图2，△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足，则下列四个结论：（1）AD上任意一点到点C、D的距离相等；（2）AD上任意一点到AB、AC的距离相等；（3）AD⊥BC且BD＝CD；（4）∠BDE=∠CDF,其中正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3．如图，L1.L2.L3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）
A. 一处B. 二处 C. 三处 D.四处[]
4．下列说法中，错误的是 （ ）
A. 三角形任意两个角的平分线的交点在三角形的内部
B. 任意两个角的平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
C. 三角形两个角的平分线的交点到三边的距离相等
D. 三角形两个角的平分线的交点在第三个角的平分线上
5． 与相交两直线距离相等的点在（ ）
A. 一条直线上
B. 一条射线上
C. 两条相互垂直的直线上
D. 两条相互垂直的射线上
1、 填空题（每题5分，共25分）
1． 如图4，已知AB∥CD，OA平分∠BAC，OC平分∠AOD，OE⊥AC于点E，且OE=2，则两平行线间的距离为
2． 如图5，在△ABC中，∠C＝，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=20，BD︰CD=5︰3，则D到AB的距离DE是
3． 如图6，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝，BD是角平分线，DE⊥BC，若BC＝10，则△DEC的周长为
4． 如图7，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，若∠A＝，则∠BOC＝
5． 三角形三条角平分线相交于一点，且这一点到 的距离相等．
2、 解答题（每题10分，共50分）
1． 已知：如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，EF交AD于M．求证：AM⊥EF
2． 如图，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E,且CF、DE交于点D，BD=CD．
求证：AD平分∠BAC
3． 已知：如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BD=CD．
求证：BE=CF
4． 已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P恰在DC上．
（1） 求证：AP⊥BP;
（2） 若∠D＝，猜想AB、AD、BC之间有何数量关系？请证明你的结论．
5． 如图，已知△ABC中，∠C＝2∠B，AD是角平分线．
求证：AB=AC+CD
参考答案
一．选择题1.D 2.C 3. D 4. B 5.C
二．填空题1.4 2. 3. 10 4. 5.三角形三边
三．解答题
1．先证△AFD≌△AED,得AF=AE,再证△AFM≌△AEM得∠AMF=∠AME.又因为∠AMF＋∠AME＝，所以∠AMF=∠AME＝．
2．先证△ECD≌△FBD,得ED=FD，又由FC⊥AB,BE⊥AC可得结论．
3．利用角平分线的性质可得DE=DF,再证△BDE≌△CDF．
4．（1）略（2）AB=AD+BC,提示：过点P 作AB的垂线．
5．在AB上截取AE=AC，过点E作EF⊥BD，垂足为F．先证△AED≌△ACD再证△EBF≌△EDF．
沪科版八上第15章
《轴对称图形与等腰三角形》
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第1课时
复习提问
1、什么叫角平分线？
一条射线
把一个角
分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
o
B
C
A
1
2
复习提问
2、点到直线距离:
从直线外一点
到这条直线的垂线段
的长度，
叫做点到直线的距离。
O
P
A
B
在半透明的纸上画∠BAC，对折，使角的两条边完全重合，然后用直尺画出折痕OD.
可以看出，角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线所在的直线.
B
C
A
D
不利用作图工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？
如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
用尺规作图的方法作出角的平分线
已知：如图，∠AOB。
求作：∠AOB的平分线。
O
A
B
C
M
N
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
B
A
.
C
E
D
过直线上一点作这条直线的垂线
画法：
１．以C为圆心，适当长为半径作弧，交ＡB于D,E．
２．分别以D，E为圆心．大于 1/2 DE的长为半径作弧．两弧交于F．
３．作直线FＣ．直线FＣ即为所求．
F
A
D
过直线外一点作这条直线的垂线
B
E
.
k
c
画法：
１．任意取一点K，使K和 C在ＡB两 旁．
3．分别以D，E为圆心．大于 1/2 DE的长为半径作弧．两弧交于F．
4．作直线FＣ。
2．以C为圆心，CK长为半径作弧，交ＡB于D,E．
F
第2课时
角平分线的性质
已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。
求证：PD=PE。
1
2
A
B
D
E
P
O
C
定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)。
证明：
∴OC是∠AOB的平分线(已知)，
∴∠1=∠2(角平分线的定义)。
∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)，
∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义)。
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=∠PEO (已证)，
∠1＝∠2(已证)，
OP＝OP(公共边)，
∴△PDO≌△PEO (AAS)。
1
2
A
B
D
E
P
O
C
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
O
C
B
1
A
2
P
D
E
证明： PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，
在Rt △PDO 与Rt △PEO中
∴∠PDO= ∠PEO=Rt ∠
PD=PE（已知）
｛
OP=OP（公共边）
∴Rt△PDO≌△PDO
∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
角平分线的判定定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
角平分线的性质定理和角平分线的判定定理
是证明角相等、线段相等的新途径．
例1: 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P在∠BAC的角平分线上
A
B
C
M
N
P
D
E
F
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）．
同理，PE=PF．
∴PD=PF．
∴AP平分∠BAC
已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F。
求证：点F在∠DAE的平分线上。
C
D
A
B
F
E
O
Q
P
变式
C
D
A
B
P
E
例2. 已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点P。
求证：（1）点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等；
（2）点P在∠DAE的平分线上。
又∵ 点P在∠CBD的角平分线
∴ PM=PK（在角的平分线上的点
到这个角的两边的距离相等）
同理 PN=PK
∴ PM=PK=PN
即，点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等
（2） ∵PM=PN（已证）
∴点P在∠DAE的平分线上（到角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）
(已知)
M
N
K
C
D
A
B
P
E
证明：（1）过点P分别作AB，AE，BC所在直线的垂线，垂足分别是点M，N，K.
例3. 要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路和铁路距离相等，且离公路和铁路的交叉处500米，该集贸市场应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｓ
Ｏ
公路
铁路
2.5cm
解：设要截取的长度为Ｘm,则：
解得：Ｘ＝0.025
0.025 m ＝2.5cm
则点Ａ即为所求的点
Ａ
例4.如图，已知△ABC的外角∠DAB和 ∠ABE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DCE的平分线上．
A
B
C
F
E
D
证明：过点F作FG⊥AD于G，FH⊥BE于H，FM⊥AB于M，
∵点F在∠DAB的平分线上， FG⊥AD，FM⊥AB，
∴FG=FM．
又∵点F在∠ABE的平分线上，FH⊥BE， FM⊥AB，
∴FM=FH，
∴FG=FH，
∴点F在∠DAE的平分线上．
F
A
B
C
E
D
G
H
M
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ = ，
BD CD
（×）
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，
BD CD
（×）
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，
DB
DC
√
不必再证全等
1.如图，在△ABC中，D是BC的中点,DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。
A
B
C
E
F
D
2.在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.求BD的长。
E
D
C
B
A
3.如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB
A
C
D
E
B
F
2、角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等．
3、角平分线的判定定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
1、画一个已知角的角平分线；登陆21世纪教育 助您教考全无忧
15.2 线段的垂直平分线
第1课时
一、教学内容：课本P128－129
一、学习目标：
1、了解线段垂直平分线的定义。
2、会用尺规作图画线段的垂直平分线、能规范的已知、求作和作法。
3、使学生理解线段的垂直平分线的性质定理及定理的应用。
二、重点、难点：
线段的垂直平分线的性质及性质的应用。
三、教学过程：
（一）、复习轴对称图形及性质
（二）新授：
活动一：自主学习
（先自主学习，经历自主探索总结的过程，并自主完成活动，同学们进行展示。）
1、问题：怎样做一条线段的垂直平分线？
2、在纸上画一条线段AB，通过对折点A与点B重合，思考下列问题。
活动二：合作交流
1、将纸展开后铺平，记折痕所在的直线MN，直线MN与线段AB的交点为O,线段AO与BO的长度有什么关系？
2、直线MN与线段AB有怎样的位置关系？3、线段AB是轴对称图形吗？
（各小组总结发现的结论，教师及时进行总结）
1、总结线段垂直平分线的定义
2、线段的轴对称性：
活动三：交流提升
用尺规怎样画线段的垂直平分线呢？
例题：
已知：线段AB
求作：线段AB的垂直平分线。
作法：1、分别以点A、B为圆心，大于1/2AB的长为半径画弧交于点E、F
2、过E、F作直线，直线EF就是线段AB的垂直平分线。
活动四：交流与发现
（1）请同学们在课堂练习本上做线段AB的垂直平分线EF（请一名同学在黑板上做）。
（2）在EF上任取一点P，连结PA、PB量出PA=？，PB=？引导学生观察这两个值有什么关系？
（3）、通过学生的观察、分析得出结果 PA=PB，再取一点P＇试一试仍然有P＇A=P＇B，引导学生猜想EF上的所有点和点A、点B的距离都相等，再请同学把这一结论进行总结。
（三）归纳总结：线段垂直平分线的性质
定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
（四）练习：
1、线段AB、BC的垂直平分线相交于点P，试问线段PA、PB、PC的长度是否相等？你能说一说理由吗？
2、有一家工厂的三栋厂房形成了一个三角形，为方便职工生活，准备建一个食堂，请问食堂建在什么位置才能使三栋厂房内的工人走的路相等？
（五）布置作业。
第2课时
一、教学内容：课本P129－130
二、教学目标：
1．掌握线段的垂直平分线的逆定理及其应用．
2．理解线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合．
三、教学重点和难点：
重点是线段的垂直平分钱的逆定理，线段的垂直平分线定理与逆定理的关系．
四、教学过程：
一、复习线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
类比联想，探索线段垂直平分线的其它结论
（1）反过来，和一条线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
如图3-132，若PA=PB，则P在AB的垂直平分线上．让生讨论证明过程，并找一名学生到黑板板演。
二、应用举例
例1：已知：如图 3-133，△ABC中，边 AB，BC的垂直平分线交于P．求证：（1）PA＝PB= PC；（2）P在边AC的垂直平分线上．
教师引导学生总结出以下结论：
（1）三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等； （2）找三角形中到三个顶点距离相等的点的方法是找两边垂直平分线的交点．
例2:已知：如图 3－134,△ABC中， AB＝ AC＝ 8 cm，∠A=50°,AB的垂直平分线MN分别交 AB于D，交 AC于E， BC ＝ 3 cm．求：（1）∠EBC的度数；（2）△BEC的周长．（让学生讨论，写出解答过程，并集体订正）
例3：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AB＋ BD＝DC．
求证：∠B ＝2∠C．
分析：此题需添加辅助线将线段之和AB＋BD或线段之差DC－BD转化为一条完整线段，再结合AD⊥BC，可利用线段的垂直平分线来实现．
证法一（补短法）延长 DB到E，使 BE＝AB，则 AB＋BD＝ DE，利用线段 CE的垂直平分线AD的性质解决，如图（b）．
证法二（截长法）在 DC上截取DE＝ DB，则 DC－BD＝ DC－DE＝EC＝ AB．利用线段BE的垂直平分线AD的性质解决，见图（c）．
三、学生总结本节课的学习内容。
四、布置作业
课本P130第1、2、3
沪科版八上第15章
《轴对称图形与等腰三角形》
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怎样作出一条线段的垂直平分线？
2. 过点E、F作直线。
1. 分别以点A、B为圆心，大于
长为半径，画弧
交于点E、F；
A
B
E
F
则直线EF就是线段AB的垂直平分线。
（你能给出证明吗？）
测量线段垂直平分线上任意一点到线段两个端点的距离
已知，如图，直线MN经过线段AB的
中点O，且MN⊥AB,P是MN上
任意一点。
求证：
线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
（请同学们写出证明过程。）
（见课本P129.）
如图，四边形ABCD中，直线AC垂直平分BD于点O。
（1）图中有多少对全等三 角形，请把它们写出来；
（2）任选（1）中一对全等 三角形加以证明。
1、如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ）
A．ED = CD
B．∠DAC = ∠B
C．∠C ＞2∠B
D．∠B +∠ADE=90°
2、如图，在△ABC中，BC的中垂线交斜边AB于D，图中相等的线段有（ ）
A、1组
B、2组
C、3组
D、4组
3、已知，如图，y轴垂直平分线段BC，点A在y轴上，点B、C在x轴上。
（1）若点C的坐标为（3，0），则点B的坐标是__________；
（2）若点B的坐标为（m，0），则点C的坐标是___________。
4、已知如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长为_____________。
5、公路l同侧的A、B两村，共同出资在公路边修建一个停靠站C，使停靠站到A、B两村距离相等，你如何确定停靠站C的位置。
你能写出上述定理的逆命题吗？它是真命题吗？
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
已知：如图，DE、DF分别是△ABD
和△ACD的高，DE＝DF。
求证：AD垂直平分EF。
一个方法
证明线段相等的新方法：利用线段垂直平分线的性质。
两条定理
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
三种作图
折纸; 过中点做垂线; 尺规作图法登陆21世纪教育 助您教考全无忧
15.3等腰三角形
教学内容：P132－133
教学目的：
1、 经历操作、发现、猜想、证明的过程，培养学生的逻辑思维能力；
2、 掌握等腰三角形的性质及其两个推论；[]
3、 运用等腰三角形的性质及其推论进行有关证明和计算
教学重难点：
重点是等腰三角形的性质定理及其证明；难点是“三线合一”的理解及例1的讲解
关键：运用观察、操作来领悟规律，以全等三角形为推理工具，在交流中突破难点
教学方法：直观教学发现法和启发诱导教学法，与学生实践操作、合作探究
教具：长方形纸片、剪刀、自制等腰三角形纸片
教学过程
1、 创设情景，引入新知
活动1：请同学们把一张长方形的纸片对折，剪去（或用刀子裁）一个角，再把它展开，得到的是什么样三角形
教师示范操作，然后学生跟着动手操作，观察得出结论：“剪刀剪过的两条边是相等的；剪出的图形是等腰三角形”，根据学生回答，板书：等腰三角形
师生共同回顾：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角
教师提问：剪出的三角形是轴对称图形吗？你能发现这个三角形有哪些特点吗？说一说你的猜想
学生思考并发表自已的看法，教师提出本节课所要解决的问题
师生归纳：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴（板书）[]
教师说明：对称轴是一条直线，而三角形的中线是线段，因此不能说等腰三角形底边上的中线是它的对称轴。
2、 合作交流，探索新知
活动2：教师出示刚才剪下的等腰三角形纸片，标上字母如图所示：
把边AB叠合到边AC上，这时点B与C重合，并出现折痕AD，观察图图形，△ADB与△ADC有什么关系？图中哪些线段或角相等？AD与BC垂直吗？为什么？
学生回答：△ADB与△ADC重合，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠CDA，BD=CD
活动3：由上面的性质我们可以得到等腰三角形如下性质：
定理1：等腰三角形的两底角相等，简称：等边对等角（板书）
教师提问：这个命题的题设是什么？结论是什么？学生可结合图形回答
（板书）已知：在△ABC中，AB=AC
求证：∠B=∠C
说明：将等腰三角形写成已知时，通常写成“在△ABC中，AB=AC”而不写成“等腰”两个字
教师引等学生回答：要证两个角相等可以转化前面所学过的三角形全等，而图形只有一个三角形，如何添加辅助线使它转化为两个三角形
通过刚才的折叠等腰三角形的实验，很容易得到辅助线，作高AD或作顶角的平分线AD，可由两位学生板演，教师巡视，并给订正。
同学们思考一下，还有没有其它辅助线的作法，教师可作提示：作中线AD，由学生口答，或者指导学生看课本证明。
教师归纳等腰三角形性质1，并指出它的几何符号语言的书写：
如上图：∵ AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
教师提出问题：练习1（口答）
1、 等腰直角三角形每一个锐角的度数是多少度？
2、 如果等腰三角形的底角等于40°，那么它的顶角的度数是多少？
3、如果等腰三角形的顶角是40°，那么它的底角的度数是多少？
4、 如果等腰三角形的一个角是40°，那么其它的两个角各是多少度？[]
5、 如果等腰三角形的一个内角是120°，则其它的两个角各是多少度？
6、 等边三角形各内角有什么关系？各等于多少度？
要求学生完成教师提出的问题，教师归纳：
（1）等腰三角形中顶角与底角的关系：顶角十 2 ×底角=180°
（2）推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°（板书）
教师与学生合作分析，口述（2）的证明过程。
活动4：提出问题：从性质1的证明过程可以知道，BD=CD，[]
∠ADB=∠ADC=90°，由此，你能得出等腰三角形还具有什么性质？
让学生运用数学语言表述所发现的规律，师生共同归纳得出：
定理2 等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边（板书）
即：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合[]
三线合一（板书）
活动5：教师出示课本例1（小黑板显示）
例1 如图在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E是底边的两点，且BD=AD，CE=AE，求∠DAE的度数
分析例1，剖析推理方法及依据，提出讨论问题，引导学生思考，根据学生回答教师板书例1过程，解略
3、 巩固练习，强化新知
练习2：课本练习第2题（出示小黑板）
如图，在ABC中，AB=AC
（1）∵AD⊥BD，∴∠______ = ∠_____； ______ = ______（等腰三角形底边上的高与______、______重合）
（2）∵AD是中线 ∴_____ ⊥_____；∠_____= ∠_____（等腰三角形底边上的中线与_____、_____重合）
（3）∵AD是角平分线 ∴____ ⊥ ____；____= ____（等腰三角形顶角的平分线与______、_____重合）
4、 师生互动，总结新知
请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？
师生活动：学生思考后，用自己语言归纳，教师适时点评，并关注以下几个问题：1、等边对等角；2、等腰三角形三线合一；3、等边三角形性质；4、等腰三角形常用辅助线作法（作底边上的高、作底边上的中线、作顶角的平分线）
5、 作业设计，深化新知
课本练习第2题、习题15.3第1题
沪科版八上第15章
《轴对称图形与等腰三角形》
A
D
B( C )
A
C
B
D
A
B
C
D
E
A
C
B
D
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