人教版数学九年级上册 22.3 实际问题与二次函数（第3课时）教案

22.3 实际问题与二次函数（第3课时）
一、教学目标
【知识与技能】
能根据实际问题构建二次函数模型，并利用函数性质来解决实际问题.
【过程与方法】
再次经历利用二次函数解决实际问题的过程，进一步体验数学建模思想，培养学生解决实际问题的能力.
【情感态度与价值观】
进一步体会数学知识的应用价值，感受数学来自于生活又服务于生活，激发学习数学的兴趣.
二、课型
新授课
三、课时
第3课时，共3课时。
四、教学重难点
【教学重点】
用函数知识解决实际问题，感受数学建模思想.
【教学难点】
根据抛物线型实际问题，建立恰当的平面直角坐标系，建立二次函数模型.
五、课前准备
课件、三角尺、铅笔等.
六、教学过程
（一）导入新课
出示课件3：如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.
（二）探索新知
探究 建立平面直角坐标系解答抛物线形问题
出示课件5：如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？
教师问：你能想出办法来吗？(出示课件6)
学生答：建立函数模型.
教师问：这是什么样的函数呢？
学生答：拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数.
教师问：怎样建立直角坐标系比较简单呢？(出示课件7)
学生答：以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图．
教师问：从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？
学生答：由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为
教师问：如何确定a是多少？(出示课件8)
学生答：已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，由此得出-2=a×22,解得
因此，，其中｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
教师问：由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：
.
现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？(出示课件9)
学生答：水面宽3m时,从而
因此拱顶离水面高1.125m.
教师问：建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？(出示课件10)
师生共同总结如下：
出示课件11：例1 图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？
学生独立思考后，师生共同总结如下：(出示课件12,13,14)
解法一:如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=ax2.
当拱桥离水面2m时,水面宽4m.
即抛物线过点(2,-2),
∴-2=a×22,
∴a=-0.5.
∴这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5x2.
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有-3=-0.5x , 解得x=±，这时水面宽度为2m,
因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2-4)m.
解法二: 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(0,2)，
因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:y=ax +2.
当拱桥离水面2m时,水面宽4m,
即:抛物线过点(2,0),0=a×22+2，a=-0.5.
因此这条抛物线所表示的二次函数为:y=-0.5x +2.
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
-1=-0.5x +2解得x=±，这时水面宽度为2m.
因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2-4)m.
解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(2,2).
因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=a(x-2) +2.
∵抛物线过点(0,0),
∴0=a×(-2) +2.
∴a=-0.5.
因此这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5(x-2) +2.
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,
这时有-1=-0.5(x-2)2+2，解得x1=2-，x2=2+
这时水面的宽度为x2-x1=2，
因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2-4)m.
出示课件15：回顾“最大利润”和“桥梁建筑”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.
学生交流后，师生共同总结如下：
1.理解问题；
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系；
3.用数学的方式表示出它们之间的关系；
4.做数学求解；
5.检验结果的合理性.
出示课件16：巩固练习：有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式.
学生思考后自主解答.
解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2.
∵该抛物线过(10,-4),
∴-4=100a，a=-0.04.
∴y=-0.04x2 .
出示课件18：如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？
学生自主思考后，师生共同解决如下.
出示课件19：解：如图，建立直角坐标系.
则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度
时的位置为B（0，3.5）.
以点C表示运动员投篮球的出手处.
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为y=a(x-0)2+k，即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有
所以该抛物线的表达式为y=﹣0.2x2+3.5.
当x=﹣2.5时，y=2.25.
故该运动员出手时的高度为2.25m.
出示课件20：巩固练习：
一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝x2+x+c，其图象如图所示．已知铅球落地时的水平距离为10m．
（1）求铅球出手时离地面的高度；
（2）在铅球行进过程中，当它离地面的高度为m时，求此时铅球
的水平距离．
学生自主思考后板演如下：
解：（1）根据题意，将（10，0）代入y＝x2+x+c，
得×102+×10+c＝0，
解得c＝，
即铅球出手时离地面的高度m；
（2）将y＝代入x2+x+＝, ，
整理，得x2﹣8x﹣9＝0，
解得x1＝9，x2＝﹣1（舍），
∴此时铅球的水平距离为9m．
（三）课堂练习（出示课件22-30）
1.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
2.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地.
3.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为，那么铅球运动过程中
最高点离地面的距离为 米.
4.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）
A.50m B.100m
C.160m D.200m
5.某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？
6.悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.
参考答案：
1.解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x﹣3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y=a（x﹣3）2+5，得25a+5=0，解得a=﹣0.2，
∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣0.2（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．
（2）当y=1.8时，有﹣0.2（x﹣3）2+5=1.8，解得：x1=﹣1，x2=7，
因此为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
（3）当x=0时，y=﹣0.2（x﹣3）2+5=3.2．
设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣0.2x2+bx+3.2，
∵该函数图象过点（16，0），
∴0=﹣0.2×162+16b+3.2，解得b=3.
∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣0.2x2+3x+3.2=﹣0.2（x﹣7.5）2+14.45．
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为14.45米．
2.4
3.2
4.C
5.解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2.
∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，
∴﹣5.6=36a，
∴抛物线的表达式为
（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标为（k，t），已知窗户高1.6m，
∴t=﹣5.6﹣（﹣1.6）=﹣4.
∴，解得k=，
即k1≈5.07，k2≈﹣5.07.
∴CD=5.07×2≈10.14（m）.
设最多可安装n扇窗户，
∴1.5n+0.8（n﹣1）+0.8×2≤10.14，解得n≤4.06．
则最大的正整数为4．
答：最多可安装4扇窗户.
6.解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5），
对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.
抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得
81.5=a 4502+0.5.
解得
故所求表达式为
(2)当x=450﹣100=350（m）时，得
当x=450﹣50=400（m）时，得
（四）课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
（五）课前预习
预习下节课（23.1第1课时）的相关内容.
七、课后作业
配套练习册内容
八、板书设计：
九、教学反思：
本课时教学与上一课时基本相同，所不同的是教学时应注意建立正确的直角坐标系，使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生相互交流.教师应鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系，并求出相应抛物线表达式，在这一过程中让学生体验探究发现的快乐，体会数学的最优化思考.