人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.3《空间向量及其运算的坐标表示》名师课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
平面向量运算的坐标表示：
空间向量运算的坐标表示又是怎样的呢
类比是我们探究规律的重要方法
复习引入
人教A版同步教材名师课件
空间向量及其运算的坐标表示
学习目标
学 习 目 标 核心素养
空间直角坐标系 直观想象
数学抽象
空间直角坐标系中点的坐标表示 直观想象
数学运算
空间向量的坐标表示 直观想象
数学运算
空间向量的长度公式、空间两点之间的距离公式 数学抽象
数学运算
两向量夹角公式 直观想象
数学运算
学习目标
学习目标：
1.了解空间直角坐标系的建立过程．
2.掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定．
3.掌握空间向量的坐标表示.
4.掌握空间向量运算的坐标表示,并会判断两个向量是否共线或垂直.
5.掌握空间向量的模,夹角公式和两点间距离公式,并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．
学科素养：
1.通过建立空间直角坐标系,确定点的坐标,提升学生直观想象的核心素养．
2.通过空间向量的坐标表示,培养学生直观想象和数学建模的核心素养.
3.通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习,培养学生的数学运算核心素养．
4.借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题,提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.
探究新知
空间直角坐标系
类比平面直角坐标系,在空间选定一点和一个单位正交基底, 以点为原点,分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴: 轴、轴、 轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系,叫做原点, 都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为平面,平面,平面,它们把空间分成八个部分.
画空间直角坐标系时,一般使∠= 或∠
在空间直角坐标系中,让右手拇指指向轴的正方向,食指指向轴的正方向,如果中指指向轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系,本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.
探究新知
空间直角坐标系
在空间直角坐标系中,为坐标向量,对空间任意一点,对应向量,且点的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组使
在单位正交基底下与向量对应的有序实数组叫做点在空间直角坐标系中的坐标,记作其中叫做点的横坐标,叫做点的纵坐标,叫做点的竖坐标.
探究新知
在空间直角坐标系中,给定向量,作.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组使 .
有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作 .
这样,在空间直角坐标系中,空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.
平面向量运算的坐标表示：
类
比
推
广
空间向量运算的坐标表示：
探究新知
平面向量运算的坐标表示：
类
比
推
广
空间向量运算的坐标表示：
探究新知
典例讲解
例1、在直三棱柱ABO -A1B1O1中,∠AOB＝,AO＝4,BO＝2,AA1＝4,D为A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求的坐标．
因为(+ ) [+(+ )]
- - .
又||＝4,||＝4,||＝2,所以＝(-2,-1,-4)．
因为＝ - ＝ -(+ )＝ -- .
又||＝2,||＝4,||＝4,所以＝(-4,2,-4)．
解析
典例讲解
例2、已知为原点,四点的坐标分别为
求满足下列条件的点P的坐标.
(1) ；(2) .
(1) ,
所以,所以点的坐标为.
(2)设,则
又, 所以
所以,
所以解得
所以点P的坐标为
解析
向量的坐标即终点坐标减去起点坐标所得的坐标.求点的坐标时,一定要注意向量的起点是否在原点,在原点时,向量的坐标与终点坐标相同;不在原点时,向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标.
方法归纳
变式训练
1.(1)设向量,,则
①= ；②= .
(2)已知,求顶点的坐标及.
(1)①.
② .
(2)设B(x,y,z),C(x1,y1,z1),所以＝(x-2,y+5,z-3), (x1-x,y1-y,z1-z)．因为＝(4,1,2),所以解得
所以B的坐标为(6,-4,5)．
解析
变式训练
1.(1)设向量,,则
①= ；②= .
(2)已知,求顶点的坐标及.
因为＝(3,-2,5),
所以解得所以C的坐标为(9,-6,10), ＝(-7,1,-7).
解析
典例讲解
例3、已知空间三点
设 , .
(1)设,求；
(2)若与互相垂直,求.
(1)因为且,所以设∈R,
所以.
解得=±1.所以或.
解析
典例讲解
例3、已知空间三点
设 , .
(1)设,求；
(2)若与互相垂直,求.
(2)因为 , ,
所以
因为,所以,
即 .解得或.
解析
例3、已知空间三点
设 , .
(1)设,求；
(2)若与互相垂直,求.
变式演练
典例讲解
将本例(2)中“若ka+b与ka-2b互相垂直”改为“若ka+b与a+kb互相平行”,其他条件不变,求k的值．
a＝(-1+2,1-0,2-2)＝(1,1,0),b＝(-3+2,0-0,4-2)＝(-1,0,2),
所以ka+b＝(k,k,0)+(-1,0,2)＝(k-1,k,2),a+kb＝(1,1,0)+(-k,0,2k)＝(1-k,1,2k),
因为ka+b与a+kb平行,
所以ka+b＝λ(a+kb),即(k-1,k,2)＝λ(1-k,1,2k),所以
解得或
(1)平行与垂直的判断
①应用向量的方法判定两直线平行,只需判断两直线的方向向量是否共线；
②判断两直线是否垂直,关键是判断两直线的方向向量是否垂直,即判断两向量的数量积是否为0.
(2)平行与垂直的应用
①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a＝λb),建立关于参数的方程；
②选择坐标形式,以达到简化运算的目的．
方法归纳
2.设
(1)若求;(2)若求.
(1)因为
所以＝ ＝ ,解得k＝－ .
变式训练
(2)因为(ka＋b)⊥(a－3b),
所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0,解得k＝ .
解析
典例讲解
例4、如图所示,正四棱锥的侧棱长为,底面边长为,是的中点,为底面的中心.
(1)求的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值.
因为侧棱长为,底面边长为,E为SA的中点,
所以A(),S () ,C () ,B () ,E ().
(1)＝ (),所以||＝＝ ,
解析
如图,以O为原点,以所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.
典例讲解
例4、如图所示,正四棱锥的侧棱长为,底面边长为,是的中点,为底面的中心.
(1)求的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值.
解析
(2)因为＝ (),＝ () ,
所以cos< >＝＝ ＝,
故异面直线BE与SC所成角的余弦值为.
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；
运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；
(4)转化：转化为几何结论．
方法归纳
3.(1)已知a＋b＝(2,,2),a－b＝(0,,0),则cos＝(　　)
A. B. C. D.
(2)已知△ABC的顶点分别为A(1,－1,2),B(5,－6,2),C(1,3,－1),则边AC上的高BD＝(　　)
A.5 B. C.4 D.2
C
A
变式训练
(1)空间两个向量平行、垂直与平面两个向量平行、垂直的表达式不一样,但实质是一致的．
判断空间两向量(直线)平行与垂直的思路
(2)判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线对应的方向向量是否平行或垂直．
素养提炼
(1)当向量a平行于x轴时,纵坐标、竖坐标都为0,即a＝(x,0,0)(x∈R)；
(2)当向量a平行于y轴时,横坐标、竖坐标都为0,即a＝(0,y,0)(y∈R)；
(3)当向量a平行于z轴时,横坐标、纵坐标都为0,即a＝(0,0,z)(z∈R)；
(4)当向量a平行于xOy平面时,竖坐标为0,即a＝(x,y,0)(x,y∈R)；
(5)当向量a平行于yOz平面时,横坐标为0,即a＝(0,y, z)(y ,z ∈R)；
(6)当向量a平行于xOz平面时,纵坐标为0,即a＝(x,0, z)(x, z ∈R)；
特殊向量的坐标表示
素养提炼
　
(1)向量的加减、数乘和数量积运算的坐标表示；
(2)两个向量的夹角公式和垂直、平行判定的坐标表示.
(3)空间向量在立体几何中的简单运用。
归纳小结
P22 习题1.3:5、7、8
作 业