人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.3《空间向量及其运算的坐标表示》课时1 教学设计

《空间向量及其运算的坐标表示》教学设计
课时1空间直角坐标系
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
空间直角坐标系 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 创造迁移能力 综合问题解决 直观想象 数学抽象 数学建模 【考查内容】 空间向量的线性运算及其坐标表示：数量积及其坐标表示，用向量的数量积判断向量的共线和垂直 【考查题型】 选择题、填空题
空间向量运算的坐标表示 数学运算 逻辑推理 数学抽象 数学建模
一、本节内容分析
本节内容主要包括空间直角坐标系和空间向量的坐标表示.其中空间直角坐标系是空间向量运算坐标表示的基础.空间向量运算的坐标表示又是后边利用空间向量解决立体几何问题的基础.本章的研究对象是几何图形，所用的研究方法是向量方法.通过本章学习，侧重提升学生的直观想象、数学运算、数学抽象等数学学科核心素养.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.空间直角坐标系 2.空间向量运算的坐标表示 直观想象 数学抽象 数学运算 逻辑推理 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
在学习了空间向量基本定理的基础上，建立了“空间基底”的概念，可以利用基底表示任意一个空间向量，学生理解基底的概念，有平面向量运算的坐标表示的学习基础，可以说空间直角坐标系概念的引入以及空间向量的坐标表示难度不大，而空间向量运算的坐标表示是一个计算上的难点，要让学生在具体问题中，首先正确表示出想要表示的向量，然后进行正确计算，同时注意在空间中，判断两向量平行和垂直的条件.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.空间直角坐标系
2.空间向量运算的坐标表示
【教学目标设计】
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的坐标，会用坐标表示空间向量.
2.掌握空间向量坐标运算公式，并能解决相应问题.
3.掌握平行向量、垂直向量的坐标表示，并能解决相关的向量的平行、向量的垂直问题.
4.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式.
【教学策略设计】
本节课是空间向量的基础，通过本节课的学习，要认识空间直角坐标系，会用坐标表示向量，同时会解决向量的垂直、平行、夹角、距离等问题.在教学过程中，要注重和平面向量相关知识进行类比联系，由学生自主探究学习，在具体问题下分析，注意向量的方向，解题过程中要注重引导，注重联系，有助于学生深刻地认识、理解空间向量的表示与运算，提升学生的数学运算、直观想象、数学抽象核心素养.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有________________________________________________.
【教学重点难点】
重点
1.坐标的确定和空间直角坐标系的建立.
2.向量的坐标运算，夹角公式，距离公式，空间向量平行和垂直的条件.
难点
1.向量坐标的确定.
2.向量的平行、垂直、夹角、距离问题.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________.
四、教学活动设计
教学导入
师：同学们，学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算，所以，基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础.类比于前面学过的平面向量的相关知识，平面向量的运算可以转化为数的运算，那么，空间向量的运算是否也可转化为数的运算？能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？
【学生回顾复习，交流讨论】
师：类比于平面直角坐标系以及单位正交基底的概念，我们首先研究一下空间直角坐标系.
【设计意图】
以问题引出课题，类比平面向量坐标系，研究空间向量坐标系，激发学生的学习兴趣.
教学精讲
师：在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i,j}，以O为原点，分别以i,j的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系.类似地，怎样建立一个空间直角坐标系？
【要点知识】
空间直角坐标系
若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，常用{i,j,k}表示；在空间选定一点O和一个单位正交基底，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、之轴，它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫原点，向量i,j,k都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面.
【先学后教】
从学生的角度出发，以平面直角坐标系基底做知识铺垫，引出空间直角坐标系的基底，有助于学生对概念的理解和把握.
师：空间直角坐标系的概念有了，怎样表现呢？大家注意，我们在画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°(或45°)，
∠yOz=90°.在空间直角坐标系中，我们让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
【观察记忆能力】
教师以形象的右手定则向学生展示空间直角坐标系的正方向，增强学生对这一部分知识的直观感受，培养观察记忆能力.
师：同学们思考这样一个问题：类比于平面直角坐标系，空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也可以用一对有序实数来表示呢？
怎样表示？
【学生思考问题，展开讨论】
师：我们一起来看下结论：
【要点知识】
空间直角坐标系中点的坐标表示
给定一个空间直角坐标系中,对于空间任一点,,对应一个向量,若,则有序数组叫点在此空间直角坐标系中的坐标,记为,其中叫做点的横坐标,叫点的纵坐标,叫点的竖坐标.写点的坐标时,三个坐标之间的顺序不可颠倒.
师：要想确定空间任一点P的坐标,可按照如下方法：过P作面xOy的垂线,垂足为P',在面xOy中,过P'分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为A,C,则x=|P'C|，y=|AP'|，z=|PP'|.如图所示.
【教师板书】x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0)；y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0,y,0)；z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0,z).
师：类比于坐标轴上点的坐标表示，你可以把坐标平面上的点的坐标表示一下吗？
【学生积极思考，教师指定学生回答问题】
生：Oxy平面上点的坐标为(x,y,0),Oyz平面上点的坐标为(0,y,z),Ozx平面上点的坐标为(x，0,z).
师：很好，再补充一点知识：空间中对称点的坐标.下面我们来看例题.
【典型例题】
空间直角坐标系中点的对称
已知点关于坐标平面的对称点为,点关于坐标平面的对称点为,点关于轴的对称点为,则点的坐标为__________.
【以学论教】
根据授课内容，教师有针对性地补充对称点的有关知识，加深学生对空间中点的坐标表示这一知识的认识与理解，提升直观想象、数学抽象核心素养.
【学生独立完成,教师指定学生回答】
生:点关于坐标平面的对称点的坐标为,点关于坐标平面的对称点的坐标为,点关于轴的对称点的坐标是.所以答案是.
【深度学习】
学生在教师的启发下，思考空间直角坐标系中的对称点的坐标表示，并将相关知识整理汇总，有利于知识的整体性学习吸收，深度认识理解.
师:很好！把空间中点的对称公式补充如下：
【要点知识】
空间直角坐标系中点的对称
在空间直角坐标系中,点,则有:
点关于原点的对称点是;点关于横轴轴的对称点是;
点关于纵轴(轴)的对称点是;点关于竖轴(轴)的对称点是;
点关于坐标平面的对称点是;点关于坐标平面的对称点是;
点关于坐标平面的对称点是.
空间中两点中点坐标公式:设是空间中任意两点,其中点坐标公式为:.
师:以上是空间中任一点的坐标表示,那么空间中任一向量可以用坐标表示吗 让我们继续探究.
【要点知识】
空间直角坐标系中向量的坐标表示
在空间直角坐标系中,给定向量,作.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使.
有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作
师:同学们继续思考.
【教师板书】在空间直角坐标系中,对空间任意一点,或任意一个向量,你能借助几何直观确定它们的坐标吗
【归纳总结】
确定空间中点和向量的坐标
事实上,如图,过点分别作垂直于轴、轴和轴的平面,依次交轴、轴和轴于点和,可以证明在轴、轴、轴上的投影向量分别为,且.设点B,C和在轴、轴和轴上的坐标分别是和,那么点向量的坐标为.
师:这样在空间直角坐标系中,空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示,同学们要注意,符号具有双重意义,它既可以表示向量,也可以表示点,在表述时要注意区分.
【概括理解能力】
通过对空间直角坐标系中点和向量的坐标表示知识的探究，学生进行深度思考，概括分析点与向量通过坐标表示的联系，提升概括理解能力.
师:接下来我们来看一道例题,加深学习印象.
【典型例题】
空间直角坐标系点与向量的表示
例1如图,在长方体中,,,以为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出四点的坐标;
(2)写出向量的坐标.
师:同学们思考一下,并回答四点的坐标.
生:四点的坐标依次为:.
师:很好,那你是怎样找到这些的点的位置的
生:通过射影找到的,
解:(1)点在轴上,且,所以.所以点的坐标是.
同理,点的坐标是.
点在轴、轴、轴上的射影分别为,它们在坐标轴上的坐标分别为3,0,2,所以点的坐标是.
点在轴、轴、轴上的射影分别为,它们在坐标轴上的坐标分别为3,4,2,所以点的坐标是.
师:正确的,其实确定空间中一点的坐标位置有很多种方法,我们观察这个长方体,可以先从平面上,根据给定的长方体棱的长度,我们可以确定三点的坐标位置,再根据,所以将三点再向上找两个单位长度,也可以得到三点的坐标.那么第二问这几个空间向量怎么表示呢 我们具体来看一下.
【自主学习】
教师在具体的问题情境中启发学生主动思考空间中点和向量的表示，学生进行了自主思考之后，加深对空间直角坐标系下点和向量的坐标表示这一部分的知识的理解程度.
【发现创新能力】
学生通过独立完成练习题目，教师再结合教师给出的长方体图示，通过讲解确定点的坐标的多种方法，培养发现创新能力.
【教师板书】
解:;
;
;
.
师:其实就是先用单位正交基底分别表示,从而可以将空间向量用坐标来表示.同学们再细心分析一下,这四个向量的坐标表示和其起点、终点坐标有何关系
【学生积极思考,交流讨论】
师:我们以向量为例,,而,让终点的坐标减去起点的坐标,得到的是不是向量的坐标呢 那我们再用其他向量验证一下看是否都成立
【整体设计 分步落实】
教师对题目进行整体设计，设置多层提问，引导学生逐级深入，理解空间向量的坐标表示这一知识点，加深学习印象.
【学生积极思考,交流讨论】
师:大家讨论出的结果是一致的,结论都成立,其实空间向量这里和平面向量的相关知识是相通的,一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.关于空间向量运算的坐标表示,我们放到下一节课重点研究.接下来,练习几道题目,充分理解空间直角坐标系以及空间向量.
【巩固练习】
空间直角坐标系
1.在空间直角坐标系中标出下列各点:.
2.在空间直角坐标系中,
(1)哪个坐标平面与轴垂直 哪个坐标平面与轴垂直 哪个坐标平面与轴垂直
(2)写出点在三个坐标平面内的射影的坐标.
(3)写出点关于原点成中心对称的点的坐标.
3.在长方体中,,与相交于点,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出点的坐标;
(2)写出向量的坐标.
4.已知点是点在坐标平面内的射影,求.
【意义学习】
通过练习空间直角坐标系的具体问题，加强对空间向量和空间点的表示方法概念的理解，体现意义学习.
【学生独立完成练习，教师指定学生回答】
生1：1.如图所示：
生.(1)与轴垂直的坐标平面是面,与轴垂直的坐标平面是面,与轴垂直的坐标平面是面.
(2)在面内的射影坐标为;在面内的射影坐标为;在面内的射影坐标为.
(3)关于原点成中心对称的点的坐标为.
生.(1)点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为.(2).
生.点在面内的射影的坐标为.
【整体学习】
学生通过练习综合题目，达到对本节课所学知识的整体复习，加深对空间直角坐标系知识的理解，学会用坐标表示向量，表示点.
师:本节课我们主要学习了空间直角坐标系及空间点的坐标表示,注意空间向量的表示方法,我们首先要明确其中的正交单位基底,再去表示相关向量,当然向量的表示与计算有其坐标形式,这将大大简化计算过程,实现几何的代数化,我们将在下一节课中重点探究.
【设计意图】
回顾空间直角坐标系的概念、空间中任意一点的坐标的表示、空间中任一向量的坐标表示的知识，巩固所学知识，提高学生的概括理解能力.
【课堂小结】
空间直角坐标系
空间直角坐标系的概念：
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
空间中任一点的坐标表示：
在空间直角坐标系中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点,对应一个向量,且点的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使,在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标,记作,其中叫做点的横坐标,叫做点的纵坐标,叫做点的竖坐标.
空间中任一向量的坐标表示：
在空间直角坐标系中,给定向量,作.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使,有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作.
教学评价
本节课主要学习空间直角坐标系中向量的坐标表示以及空间向量运算的坐标表示,空间直角坐标系是空间向量运算坐标表示的基础,做题的关键是会进行空间直角坐标系的建立、进行空间向量的坐标表示、熟记空间向量的各个运算公式,掌握判定直线共线或垂直的充要条件,会求空间向量的模,向量的夹角、余弦值等.
【设计意图】
教师引导学生思考，使学生体会知识的生成、发展、完善的过程，通过具体知识点的演练，提高学生用空间向量及其运算的坐标表示解题的能力.
应用所学知识,完成下面各题:
1.在空间直角坐标系中,已知点,过点作平面的垂线,则垂足的坐标为（ ）
A.
B.
C.
D..
解析:由于垂足在平面上,所以纵坐标,竖坐标不变,横坐标为0.答案.
2.如图,在空间直角坐标系中,正方体的棱长为,则等于（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：.答案
3.如图,已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,是线段的中点.
求证:(1)平面;
(2)平面.
证明:(1)
如图,建立空间直角坐标系,
设,连接,
则点的坐标分别为.
∴.
又点的坐标分别是,
∴∴.
又与不共线,∴.
又∵平面平面∴平面.
(2)由(1)知.
∵,
∴.
同理,.
又,且平面平面,
∴平面.
4.如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)中,,棱为的中点.
(1)求的长;
(2)求与所成角的余弦值.
解析:如图,以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系.
解:(1)依题意得,∴
∴线段的长为.
(2)依题意得,∴,
∴.
又,∴.
又异面直线所成角为锐角或直角，故与所成角的余弦值为.
【概括理解能力】
通过对立体图形的观察，建立合适的空间直角坐标系，用坐标表示出点和向量，提升对知识的概括理解能力.
【推测解释能力】
通过对立体几何中的平行、垂直等问题的证明，练习用空间向量坐标运算解决问题的方法和过程，提升推测解释能力.
4.如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)中,,棱为的中点.
(1)求的长;
(2)求与所成角的余弦值.
解析：如图,以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系.
解:(1)依题意得,∴
∴线段的长为.
(2)依题意得,
∴,
∴.
又,
∴.
又异面直线所成角为锐角或直角,故与所成角的余弦值为.
【分析计算能力】
通过对立体几何中的求长度、求夹角等问题的计算求解，练习用空间向量坐标运算解决问题的方法和过程，提升分析计算能力.
教学反思
本节课内容分为2课时，分别为空间直角坐标系与空间向量运算的坐标表示，是空间向量应用的基础知识，通过这一部分，要掌握空间直角坐标系的相关概念与加减运算、数乘运算、数量积运算、求距离、求夹角、判定位置关系等公式.在教学过程中，教师要注重让学生经历向量由平面到空间推广的过程，启发学生进行空间想象.教学中既要关注内容的联系性和整体性，也要注重提升学生的观察能力和计算能力，提升学生的直观想象、数学运算、数学抽象素养，培养学生的观察记忆能力、分析计算能力以及简单问题解决能力.
【以学定教】
教师要让学生理解本节课重点知识，即空间直角坐标系和空间向量的坐标运算，并能够通过其概念和计算解决问题，并能在不同的具体情境中合理应用.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果，总结得出教学过程中应结合实例多角度引发学生的思考，鼓励学生自主思考，加强对利用空间向量解决立体几何有关问题的方法的认识，对于几何问题中不好理解的部分，要结合学生的生活经验以及图示多角度进行阐述，建立学生的空间想象意识.
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