人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.3《空间向量及其运算的坐标表示》课时2 教学设计

《空间向量及其运算的坐标表示》教学设计
课时2空间直角坐标系
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
空间直角坐标系 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 创造迁移能力 综合问题解决 直观想象 数学抽象 数学建模 【考查内容】 空间向量的线性运算及其坐标表示：数量积及其坐标表示，用向量的数量积判断向量的共线和垂直 【考查题型】 选择题、填空题
空间向量运算的坐标表示 数学运算 逻辑推理 数学抽象 数学建模
一、本节内容分析
本节内容主要包括空间直角坐标系和空间向量的坐标表示.其中空间直角坐标系是空间向量运算坐标表示的基础.空间向量运算的坐标表示又是后边利用空间向量解决立体几何问题的基础.本章的研究对象是几何图形，所用的研究方法是向量方法.通过本章学习，侧重提升学生的直观想象、数学运算、数学抽象等数学学科核心素养.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.空间直角坐标系 2.空间向量运算的坐标表示 直观想象 数学抽象 数学运算 逻辑推理 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
在学习了空间向量基本定理的基础上，建立了“空间基底”的概念，可以利用基底表示任意一个空间向量，学生理解基底的概念，有平面向量运算的坐标表示的学习基础，可以说空间直角坐标系概念的引入以及空间向量的坐标表示难度不大，而空间向量运算的坐标表示是一个计算上的难点，要让学生在具体问题中，首先正确表示出想要表示的向量，然后进行正确计算，同时注意在空间中，判断两向量平行和垂直的条件.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.空间直角坐标系
2.空间向量运算的坐标表示
【教学目标设计】
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的坐标，会用坐标表示空间向量.
2.掌握空间向量坐标运算公式，并能解决相应问题.
3.掌握平行向量、垂直向量的坐标表示，并能解决相关的向量的平行、向量的垂直问题.
4.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式.
【教学策略设计】
本节课是空间向量的基础，通过本节课的学习，要认识空间直角坐标系，会用坐标表示向量，同时会解决向量的垂直、平行、夹角、距离等问题.在教学过程中，要注重和平面向量相关知识进行类比联系，由学生自主探究学习，在具体问题下分析，注意向量的方向，解题过程中要注重引导，注重联系，有助于学生深刻地认识、理解空间向量的表示与运算，提升学生的数学运算、直观想象、数学抽象核心素养.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有________________________________________________.
【教学重点难点】
重点
1.坐标的确定和空间直角坐标系的建立.
2.向量的坐标运算，夹角公式，距离公式，空间向量平行和垂直的条件.
难点
1.向量坐标的确定.
2.向量的平行、垂直、夹角、距离问题.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________.
四、教学活动设计
教学导入
师：同学们，因为我们学过平面向量，知道平面向量的坐标运算，从上一节课，我们知道，一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.你还能得出空间向量的相关运算的坐标表示并给出证明吗？
【学生积极思考，动手演算，交流讨论】
师：首先来看一下，空间向量运算的坐标表示都有哪些？
教学精讲
【要点知识】
空间向量运算的坐标表示
【以学定教】
教师根据上节课学过的空间向量的知识，引出本节空间向量的坐标运算，启发学生自主思考，以学生的理解为中心.
师:上一节课我们讲过空间向量的坐标表示,在这里的四个式子依次表示为空间向量的加、减运算以及数乘运算、数量积运算.下面我们用空间正交基底来证明空间向量数量积的坐标表示.请同学来试着证明一下.
【学生积极思考、举手回答问题】
生:设为空间的一个单位正交基底,则,所以.
利用向量数量积的分配律以及,得.
【说明论证能力】
学生在具体的问题情境中，通过用空间正交基底来证明空间向量数量积的坐标表示，提高说明论证能力.
师: 完成得很好! 由以上证明可知:空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的,大家思考:与向量的数乘运算、数量积运算相关的结论还有哪些
【要点知识】
空间向量的坐标表示
当时,;
;
【深度学习】
学生在教师的启发下，思考与向量的数乘运算、数量积运算相关的结论，深度学习，加强对所学概念的理解.
师:由向量数乘和数量积的坐标运算可得判断空间中两向量平行和垂直的充要条件,也可得求向量模和两向量之间夹角的运算方式.
【教师板书:假设在空间直角坐标系中,存在任意两点,】.请一位同学试着说一说这两点的距离公式,可以类比求平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式.
生:两点间的距离可以表示为:.
师:正确,非常好！其实理解思路不止一种,我们还可以借助空间向量的模来进行推导.
【情景设置】
空间两点间的距离公式的推导
如图建立空间直角坐标系,设,是空间中任意两点,则
.
于是.
所以.
这就是空间两点间的距离公式.
【少教精教】
通过对空间两点间的距离公式的推导，启发学生自主思考，深度探究，少教精教，多由学生自己去体会其中的知识关联.
师:同学们,有了向量的坐标运算,就可以使一些问题的解决变得简单,应用空间向量的坐标运算,我们可以解决一些立体几何中的平行或垂直问题.
【典型例题】
利用空间向量的坐标运算证明位置关系
例1 如图,在正方体中,分别是的中点.求证.
师:通过这道题,我们可以分析得到要想证明,只要证明,也就是证明.所以我们只需要用坐标表示出,并进行数量积运算即可.同学们分组进行沟通讨论.
【学生积极思考,分组交流讨论,教师指定学生回答解题思路】
师:好的,通过以上的思考交流,同学们对此题都有正确的理解,我们再将解题思路梳理一下.
【活动学习】
通过请同学分组谈论，思考利用空间向量的方法证明线线垂直的解题过程，鼓励学生独立思考问题，有助于学生形成更全面、深入的理解.
【典例解析】
利用空间向量的坐标运算证明位置关系
证明:不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,
则.又,所以,
所以.所以,即.
【说明论证能力】
通过对具体题目的练习，培养利用空间向量解决证明线线垂直等相关问题的解题思路，提升说明论证能力.
师：同学们，从这道题目中，你能体会到解决这类问题的特点吗？如果要想借助空间向量的方法解题，首要的我们需要建立适当的空间直角坐标系，用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标的运算求解判定平行、垂直关系问题.接下来我们再来看一道求距离、求夹角的应用问题.
【典型例题】
利用空间向量的坐标运算求夹角、求距离
例3 如图,在棱长为1的正方体中,为的中点,分别在棱上,.
(1)求的长;
(2)求与所成角的余弦值.
师:同学们,我们同样可以先建立一个空间直角坐标系,根据棱长为1,可以设出,两点坐标,再根据空间中两点距离公式,可以求出的长.下面请同学回答.
【意义学习】
教师引导学生建立空间直角坐标系，利用距离公式求解长度，同学独立完成，自主思考，可以使学生加深对知识和方法的理解.
【学生积极思考,动手演算,计算答案】
生:.
师:正确！我们建立坐标系要选取合适的原点,在此题中,我们以点为坐标原点,根据棱长为1,可得.那么第二问呢 求和所成角的余弦值,我们可以借用向量的哪个计算公式求算
生:数量积运算.
师:正确！先请同学回答出的坐标.
生:.
师:由此我们可以得到的坐标,下面把计算夹角的余弦值的解题过程具体展示一下.
【典例解析】
利用空间向量的坐标运算求夹角、求距离
所以,,
所以.所以.所以,与所成角的余弦值是.
【分析计算能力】
通过对例题的求解，梳理用空间向量解决求异面直线所成角的问题，培养学生的分析计算能力.
师：通过以上两道例题，可见空间向量在证明平行、垂直关系或是求夹角、求距离时应用还是很广泛的，那么我们做题时应该按照什么样的做题步骤去做呢？
【要点知识】
利用空间向量及其坐标运算求解问题的一般步骤
1.建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.
2.求坐标：（1）求出相关点的坐标；（2）写出向量的坐标.
3.论证、计算：结合公式进行论证、计算.
4.转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题.
【深度学习】
通过探究知识，总结空间向量的坐标运算的应用的一般步骤，形成题型方法认识，深度学习空间向量及其坐标运算求解.
师：好的，同学们，关于空间向量的坐标运算，大家要熟记公式，在证明相关的平行垂直问题时，要熟练应用好条件，接下来，我们就再练习几道题目.
【巩固练习】
空间向量运算的坐标表示
1.已知,求:(1);(2);(3);(4).
2.已知,且,求的值.
3.在轴上求一点,使点到点与点的距离相等.
4.如图,正方体的棱长为,点分别在上, ,求的长.
【简单问题解决能力】
在具体问题情境中，根据所学概念，不断加强空间向量有关计算，有助于培养学生的简单问题解决能力.
【学生独立完成练习，教师指定学生回答】
师：同学们，现在梳理一下本节主要内容，请同学们分组讨论，梳理出本节的几个核心知识点以及做题方法.
【学生分组交流，查阅课本、笔记，总结重要知识点】
师：本节课我们主要学习了空间向量的坐标运算，加、减运算，数乘运算及数量积运算的坐标表示，注意将空间向量与平面向量作对比学习.
【情境学习】
在具体问题情境中，由学生独立完成题目，加深对利用空间向量解决立体几何问题这一题型方法的认识.
【设计意图】
通过对空间向量坐标运算的学习，利用了以学定教、少教精教的教学策略和深度学习、活动学习、情境学习的学习策略，培养了学生说明论证能力、概括理解能力、分析计算能力、简单问题解决能力，提升了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养.
【课堂小结】
空间向量运算的坐标表示
1.空间向量运算的坐标表示, 设 .
向量表示 坐标表示
数量积
共线 )
垂直
模
夹角
2.利用空间向量及其坐标的运算求解问题的一般步骤.
教学评价
本节课主要学习空间直角坐标系中向量的坐标表示以及空间向量运算的坐标表示,空间直角坐标系是空间向量运算坐标表示的基础,做题的关键是会进行空间直角坐标系的建立、进行空间向量的坐标表示、熟记空间向量的各个运算公式,掌握判定直线共线或垂直的充要条件,会求空间向量的模,向量的夹角、余弦值等.
【设计意图】
教师引导学生思考，使学生体会知识的生成、发展、完善的过程，通过具体知识点的演练，提高学生用空间向量及其运算的坐标表示解题的能力.
应用所学知识,完成下面各题:
1.在空间直角坐标系中,已知点,过点作平面的垂线,则垂足的坐标为（ ）
A.
B.
C.
D..
解析:由于垂足在平面上,所以纵坐标,竖坐标不变,横坐标为0.答案.
2.如图,在空间直角坐标系中,正方体的棱长为,则等于（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：.答案
3.如图,已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,是线段的中点.
求证:(1)平面;
(2)平面.
证明:(1)
如图,建立空间直角坐标系,
设,连接,
则点的坐标分别为.
∴.
又点的坐标分别是,
∴∴.
又与不共线,∴.
又∵平面平面∴平面.
(2)由(1)知.
∵,
∴.
同理,.
又,且平面平面,
∴平面.
4.如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)中,,棱为的中点.
(1)求的长;
(2)求与所成角的余弦值.
解析:如图,以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系.
解:(1)依题意得,∴
∴线段的长为.
(2)依题意得,∴,
∴.
又,∴.
又异面直线所成角为锐角或直角，故与所成角的余弦值为.
【概括理解能力】
通过对立体图形的观察，建立合适的空间直角坐标系，用坐标表示出点和向量，提升对知识的概括理解能力.
【推测解释能力】
通过对立体几何中的平行、垂直等问题的证明，练习用空间向量坐标运算解决问题的方法和过程，提升推测解释能力.
4.如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)中,,棱为的中点.
(1)求的长;
(2)求与所成角的余弦值.
解析：如图,以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系.
解:(1)依题意得,∴
∴线段的长为.
(2)依题意得,
∴,
∴.
又,
∴.
又异面直线所成角为锐角或直角,故与所成角的余弦值为.
【分析计算能力】
通过对立体几何中的求长度、求夹角等问题的计算求解，练习用空间向量坐标运算解决问题的方法和过程，提升分析计算能力.
教学反思
本节课内容分为2课时，分别为空间直角坐标系与空间向量运算的坐标表示，是空间向量应用的基础知识，通过这一部分，要掌握空间直角坐标系的相关概念与加减运算、数乘运算、数量积运算、求距离、求夹角、判定位置关系等公式.在教学过程中，教师要注重让学生经历向量由平面到空间推广的过程，启发学生进行空间想象.教学中既要关注内容的联系性和整体性，也要注重提升学生的观察能力和计算能力，提升学生的直观想象、数学运算、数学抽象素养，培养学生的观察记忆能力、分析计算能力以及简单问题解决能力.
【以学定教】
教师要让学生理解本节课重点知识，即空间直角坐标系和空间向量的坐标运算，并能够通过其概念和计算解决问题，并能在不同的具体情境中合理应用.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果，总结得出教学过程中应结合实例多角度引发学生的思考，鼓励学生自主思考，加强对利用空间向量解决立体几何有关问题的方法的认识，对于几何问题中不好理解的部分，要结合学生的生活经验以及图示多角度进行阐述，建立学生的空间想象意识.
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