3.2.2函数的奇偶性 题型突破（含解析）

高一函数的奇偶性考点突破
考点一、函数奇偶性的判断
1．下列函数中，为偶函数且有最小值的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选题）已知函数，下列结论正确的有（ ）
A．在为单调增函数 B．图象关于轴对称
C．在定义域内只有1个零点 D．的值域为
3．（多选题）设函数，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．在上单调递减
4．（多选题）下列函数中，既是偶函数，又满足对任意的，当时，都有的是（ ）
A． B． C． D．
5．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
考点二、利用函数奇偶性求值和参数的值
6．已知函数为奇函数，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．设函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
9．已知函数是偶函数，且其定义域为，则（　　）
A．，b＝0 B．
C． D．，
10．若函数为区间上的奇函数，则_________，_________.
11．函数是定义在上的奇函数，当时，，则 _________
12．已知为偶函数，且当时，则，则______．
13．已知定义在上的奇函数，且．
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明之；
(3)解关于实数的不等式．
14．已知函数满足，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
15．设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．2
考点三、利用函数的奇偶性求解析式
16．已知是偶函数，当时，，时，等于（ ）
A． B． C． D．
17．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_______．
18．已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．
19．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，______．
20．设为定义在上的奇函数，当时，，则时，___________.
考点四：利用函数奇偶性解不等式和比较大小
21．已知奇函数f（x）的定义域为[-3，3]，且在区间[-3，0]上单调递增，则满足f（2-2m）+f（1-m2）>0的实数m的取值范围是（ ）
A．[-3，] B．[- ，2）
C．[- ，1） D．[-3，1）
22．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且时，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
23．已知是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．已知函数，则的解集为______．
25．奇函数在区间上是增函数，且最大值是，则在上是（ ）
A．增函数且最大值是4 B．增函数且最小值是4
C．减函数且最大值是4 D．减函数且最小值是4
26．若函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
27．已知奇函数的定义域为，且在上单调递增，在上单调递减．若，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
28．已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
29．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，若，则的解集为____________.
30．若是定义域为的偶函数，且在上是单调减函数，则不等式的解集是_________________.
31．若是定义在上的偶函数，，有，则（ ）
A． B．
C． D．
考点五：函数奇偶性综合应用
32．已知函数．
(1)若函数， 判断的奇偶性并加以证明；
(2)当时， 先用定义法证明函数在上单调递增， 再求函数在上的最小值；
(3)若对任意恒成立， 求实数的取值范围．
33．若偶函数在上是增函数，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
34．若函数是定义在上的偶函数，则___________.
35．已知是偶函数，当时，，则当时，_________．
36．若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且f（3）＝0，则满足xf（x+1）≥0的x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣4]∪{0}∪[2，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪[0，1]∪[4，+∞）
C．[﹣4，﹣1]∪[0，2] D．（﹣∞，﹣4]∪{﹣1，0}∪[2，+∞）
37．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)当时，求函数在上的解析式；
(2)若函数为R上的单调递减函数，
①求实数的取值范围；
②若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围，
参考答案：
1．D
【分析】根据奇偶性定义可判断出ABC错误；根据奇偶性定义和基本不等式可知D正确.
【详解】对于A，定义域为，，为奇函数，A错误；
对于B，；当时，，，为奇函数，B错误；
对于C，的定义域为，为非奇非偶函数，C错误；
对于D，定义域为，，为偶函数；
令，（当且仅当时取等号），
的最小值为，D正确.
故选：D.
2．BCD
【详解】因为，所以，，所以，所以在不是单调递增函数，A错误；
由有意义可得，所以函数的定义域为，又，
所以函数为偶函数，所以函数图象关于轴对称，B正确；
令可得，所以，所以函数的零点为0，所以在定义域内只有1个零点，C正确；
当时，，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，
所以，所以当时，，又，函数为偶函数，
所以的值域为，所以D正确；
故选：BCD.
3．AC
【分析】利用函数奇偶性与单调性的定义判断函数的性质.
【详解】定义域为，
，则.
，
所以，是奇函数.
，且，
则=
=.
∵ ，∴，
∴，
∴，
∴在上单调递增.
故选：AC.
4．AC
【分析】根据偶函数的定义，结合函数单调性的定义进行逐一判断即可.
【详解】因为任意的，当时，都有，
所以函数当时，单调递增；
对于A：因为，所以函数是偶函数，该二次函数开口向上，对称轴为纵轴，所以当时，函数单调递增，符合题意；
对于B：因为，所以不是偶函数，不符合题意；
对于C：因为，所以函数是偶函数，
当时，，显然单调递增，符合题意；
对于D：函数的定义域为，不关于原点对称，不是偶函数，不符合题意，
故选：AC
5．C
【分析】分别研究每个函数的奇偶性和单调性，对选项进行判断.
【详解】函数的定义域为，
因为，所以函数是奇函数，
因为，所以该函数不是定义域内的减函数，不符合题意，A选项错误；
函数的定义域为，
因为，所以该函数是奇函数，
因为，所以该函数不是定义域内的减函数，不符合题意，B选项错误；
函数的定义域为R，因为，
所以该函数是奇函数，在R上为增函数，所以是R上的减函数，符合题意，C选项正确；
因为，所以该函数不是奇函数，不符合题意，D选项错误.
故选：C
6．C
【分析】由奇函数性质可知，由此可得；利用可求得结果.
【详解】由题意知：，解得：，
.
故选：C.
7．C
【分析】令，即可判断为奇函数，根据求出，即可求出，从而得解.
【详解】解：令，则，即为奇函数，
因为，即，又，所以，即，所以，
所以.
故选：C
8．C
【分析】先分离系数得到，构造函数，证得是奇函数，由此得到，从而得到.
【详解】因为，
令，则，
又的定义域为，所以是奇函数，故的图像关于原点对称，
所以，又因为，所以，
故.故选：C.
9．B
【分析】根据偶函数定义域关于原点对称得，再结合偶函数定义即可得，进而即得.【详解】因为偶函数的定义域为，
所以，解得，
所以，由偶函数定义得，
所以，即，所以，
故.故选：B.
10． 0 0
【详解】为上的奇函数，且在处有定义，
所以，故.
又因为，所以，故.经检验成立
故答案为：0；0
11．
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则，
当时，，则.
因此，.故答案为：.
12．##3.5【分析】利用偶函数的性质求函数值即可.
【详解】.故答案为：.
13．(1)；
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【详解】（1）因为为奇函数，所以即，
整理得，解得，
又因为，解得，
综上所述，，；
（2）在上单调递增，证明如下：
由（1）可得，
对于任意，，且，
，，即，
，
在上单调递增，得证；
（3）由是奇函数，则不等式可整理成，
因为是定义在的奇函数，且在上单调递增，
所以在上是增函数，则，解得，
所以的取值范围是
14．C
【分析】构造，得到其为奇函数，从而得到，由，求出.
【详解】令，定义域为R，
则，所以为奇函数，
所以，
故，
所以，
因为，所以
故选：C
15．C
【详解】由题意知，（），设，则，
因为，所以为奇函数，
在区间上的最大值与最小值的和为0，故，
所以.故选:C.
16．B
【分析】根据偶函数定义求解．
【详解】由题意时，，．．
故选：B．
17．18
【分析】由函数的奇偶性可知，代入函数解析式即可求出结果.
【详解】函数是定义在上的奇函数，，则，
.
故答案为：18
18．，
【分析】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是利用函数的奇偶性构造方程.
【详解】解析： 以代替条件等式中的，则有，
又，分别是上的奇函数和偶函数，
故．
又，
联立可得，．
19．
【分析】当时，根据奇函数的性质转到时的解析式可求得结果.
【详解】当时，,.
故答案为：
20．
【分析】根据给定条件，利用偶函数定义直接求解作答.
【详解】解：设，则，
因为当时，，
所以，
因为为定义在上的奇函数，
所以，
所以，
故答案为：.
21．C
【分析】利用函数的奇偶性与单调性并结合函数的定义域列出不等式组，解之即可求出结果.
【详解】∵f（x）是定义在[-3，3]上的奇函数，且在区间[-3，0]上单调递增，
所以在区间[-3，3]上单调递增，又因为，
也即，
所以，解得：，
故实数的取值范围为，
故选：.
22．A
【分析】由题意可得在上单调递减，再由函数为奇函数，可得在上单调递减，，由此可求出和的解集，从而可求得结果.
【详解】因为对于任意两个实数且时，不等式恒成立，
所以在上单调递减，
因为是定义在上的奇函数，
所以在上单调递减，
因为，所以，
所以当或时，；当或时，，
由，得，
所以当或时，，
所以不等式的解集为.
故选：A
23．C
【分析】根据偶函数的性质得到在上单调递减，即可得到的取值情况，再由偶函数的性质得到不等式为，分两种情况讨论，分别计算可得.
【详解】解：因为是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，
所以在上单调递减，且，
又，所以，所以当时，当或时，
则，即，即，
所以或，
解得或，综上可得.
故选：C
24．
【分析】先判断的奇偶性，然后结合的单调性列不等式，由此求得正确答案.
【详解】由题意得的定义域为，
，
所以为偶函数．
当时，在上单调递增，
所以在上单调递减．
由，得，
解得且．
故答案为：
25．B
【分析】利用奇函数及单调性的定义证明单调性，然后由最值的定义、奇函数的定义及不等式的性质确定最值．
【详解】设，则，所以，即，
∴，在上增函数，
时，，，即，所以，
若（），则（），∴在上最小值是4．
故选：B．
26．C
【分析】根据给定条件，利用奇偶性、单调性比较的大小，即可判断作答.
【详解】因R上的偶函数在上是增函数，则函数在上单调递减，
而，有，所以，C正确.
故选：C
27．B
【分析】作出图象，从图象上观察的解集.
【详解】奇函数的定义域为，，且在上单调递增，在上单调递减，可作出的大致图象：
由图象可知解集为．
故选：B
28．A
【分析】根据函数的奇偶性以及在上的单调性确定函数值的正负情况，结合可得相应不等式组，即可求得答案.
【详解】因为定义在R上的奇函数在上单调递增，且，
所以在上也是单调递增，且，
所以当时， ，
当时，，
所以由可得或,
即 或，
解得 或 ，即的解集为，
故选：C.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及单调性的综合应用，考查抽象不等式的解法，解答时要明确函数的对称性质，进而判断函数值的正负情况，解答的关键时根据不等式结合函数值情况得到相应不等式组，求得结果.
29．
【分析】由偶函数判断另一半区间的单调性，在由与的符号相反就可得到不等式的解集.
【详解】函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，∴函数在上是增函数∵，∴不等式等价于或，∴或故不等式的解集为.
故答案为：
30．
【分析】根据偶函数的性质，结合函数的单调性，即可求得不等式.
【详解】因为是定义域为的偶函数，则，，
且在上是单调减函数，
则
即，解得，所以解集为
故答案为:
31．D
【分析】由已知关系式可知在上单调递减，由偶函数定义知，结合单调性可得函数值大小关系.
【详解】为定义在上的偶函数，；
，有，在上单调递减，
，即.
故选：D.
32．(1)奇函数；证明见解析
(2)证明见解析；最小值为7
(3)
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，首先从定义域说明其关于原点对称，然后证明即可；
（2）按照定义法证明步骤，取值，作差，因式分解得，判定符号，得出结论即可，最后利用单调性得到最小值.
（3）对一元二次不等式恒成立问题，分离参数得在上恒成立，
只需设，求其在上的最大值即可.
【详解】（1）因为，
定义域为关于原点对称，
且，所以为奇函数.
（2）当时，，
任取且，
有.
因为且
所以，
，即，
所以函数在上单调递增.
因为，所以，等号成立当且仅当，即时取到最小值．函数在上的最小值为7.
（3）若对任意恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
所以，问题转化为大于函数在上的最大值.
对称轴，则函数在上单调递减，
所以最大值为，
故实数的取值范围是.
33．D
【分析】利用偶函数判断在上的单调性，进而直接利用单调性判断大小即可.
【详解】若偶函数在上是增函数,
则在上是减函数，
又，且
，即
故选：D
34．1
【分析】根据偶函数的定义与性质，求参数的取值.
【详解】由定义域关于原点对称，所以，所以a=1.
又，所以b=0.
所以，a+b=1.
故答案为：1.
35．
【分析】根据偶函数的性质计算即可
【详解】由，则，且函数是偶函数，故当时，
故答案为：
36．D
【分析】根据条件先作出函数f（x）的图象，利用分类讨论思想进行求解即可．
【详解】∵定义在R的奇函数f（x）在（ ∞，0）上单调递增，且f（3）＝0，
∴f（x）的图像如图：
当x＝0或x＋1＝0时，满足条件，此时x＝0或x＝ 1，
当x≠0且x≠ 1时，不等式xf（x＋1）≥0等价为
或，
即或，
得或，即x≥2或x≤ 4，
综上实数x的取值范围是x≥2或x≤ 4或x＝0或x＝ 1，
即x的取值范围是（ ∞， 4]∪{0， 1}∪[2，＋∞），
故选：D．
37．(1)，
(2)① ；②
【分析】（1）根据函数奇偶性求解函数解析式；
（2）①分与两种情况，结合函数的奇偶性和对称性得到答案；
②利用函数的奇偶性和单调性转化为对任意的成立，求出，从而求出实数的取值范围.
【详解】（1）设，则，又因为且为奇函数，
所以．
（2）当时，开口向下，对称轴为，
①当时，在上单调递增，在上单调递减，不符合题意；
当时，易知在上单调递减，
由奇函数的性质知在上也单调递减，
故时，函数为R上的单调递减函数．
综上所述，的范围为．
②由得，
又为奇函数，故，
又函数为R上的单调递减函数，故对任意的成立，
即对任意的成立，
其中，
故，实数的取值范围为．