人教B版（2019）数学必修第一册2.2.4均值不等式及其应用（2） 课件（共34张PPT）

均值不等式及其应用(2)
本节目标
1．熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题．
2．会用均值不等式求解实际应用题．
课前预习
1. 在利用均值不等式求最值时，应注意哪些方面？ 　
2. 一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题？
预习课本，思考并完成以下问题
课前小测
1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝ 1????+4????的最小值是(　　)
A. 72?　　　　B．4　　　　C. 92?　　　　D．5
?
C
故y＝ 1?????＋ 4????的最小值为92.
?
∵a＋b＝2，∴ ????+????2?＝1.
?
∴ 1????+4?????＝(1????+4????)(????+????2)＝52＋ (2????????+????2????)≥ 52?＋22?????????????2?????＝ 92.
?
当且仅当2????????=????2????，即b=2a时，等号成立.
?
2．若x>0，则x＋2????的最小值是________．
?
22
?
x＋2????
?
≥2?????2????
?
=22
?
当且仅当x＝2时，等号成立
?
3．设x，y∈N*满足x＋y＝20，则xy的最大值为________．
∵x，y∈N*，
∴20＝x＋y≥2?????????，
∴xy≤100.
?
100
新知探究
已知x、y都是正数，
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最_____值????24.
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最_____值2????.
?
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
大
小
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　利用均值不等式求最值
[例1]　(1)已知x< 54?，求y＝4x－2＋ 14?????5的最大值；
?
∵x< 54?，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋ 14?????5?＝－ 5?4????+15?4?????＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝ 15?4?????，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1.
?
题型一　利用均值不等式求最值
[例1]　(2)已知0?
∵0 ∴1－2x>0，
∴y＝ 14?×2x(1－2x)≤ 14?× 2????+1?2????22?＝ 14?× 14＝ 116.
∴当且仅当2x＝1－2x(0?
反思感悟
利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”. 解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件.
反思感悟
具体可归纳为三句话：
若不正，用其相反数，改变不等号方向；
若不定应凑出定和或定积；
若不等，一般用单调性(后面第三章§3.2函数的基本性质中学习).
跟踪训练
1．(1)已知x>0，求函数y＝ ????2+5????+4????的最小值；
?
∵y＝ ????2+5????+4?????＝x＋4?????＋5≥24?＋5＝9，
当且仅当x＝4????即x＝2时等号成立．
故y＝ ????2+5????+4????(x>0)的最小值为9.
?
(2)已知0?
∵00.
∴y＝x(1－3x)＝13?·3x(1－3x)≤ 13?3????+1?3????22?＝ 112.
当且仅当3x＝1－3x，即x＝ 16时，等号成立．
∴当x＝16时，函数取得最大值112.
?
法一
(2)已知0?
法二
∵00.
∴y＝x(1－3x)＝3·x(13?－x )≤3· ????+13?????22＝ 112?，
当且仅当x＝ 13?－x，即x＝ 16时，等号成立．
∴当x＝ 16时，函数取得最大值112.
?
题型二　利用均值不等式求条件最值
[例2]　已知x＞0，y＞0，且满足8????+1?????＝1.求x＋2y的最小值．
?
∵x＞0，y＞0， 8????+1?????＝1，
?
∴x＋2y＝(8????+1?????)(x＋2y)＝10＋?????????＋ 16y????≥10＋2 ?????????16?????????＝18，
?
当且仅当8????+1????=1????????=16???????????
?
即????=12????=3时，等号成立，
?
故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.
多维探究
变式 已知x＞0，y＞0，且满足x＋2y＝1.求8????+1????的最小值．
?
∵x，y∈R＋，
∴ 8????+1?????＝(x＋2y)(8????+1????)＝8＋16?????????＋ ?????????＋2＝10＋ 16?????????＋ ?????????≥10＋2 16?＝18.
当且仅当16?????????＝ ????????时取等号，
?
结合x＋2y＝1，得x＝ 23?，y＝ 16?，
∴当x＝ 23?，y＝ 16时， 8????+1????取到最小值18.
?
反思感悟
1．本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足均值不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．
2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有f(x)＝ax＋????????型和f(x)＝ax(b－ax)型．
?
跟踪训练
2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求1????+1????的最小值．
?
1????+1?????＝(1????+1?????)·1＝ (1????+1?????)·(a＋2b)
＝1＋2?????????＋?????????＋2＝3＋ 2?????????＋?????????≥3＋2 2?????????????????＝3＋22?，
?
当且仅当2????????=?????????????????????+2????=1即????=2?1????=1?22时等号成立．
∴ 1????+1????的最小值为3＋22.
?
法一
跟踪训练
2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求1????+1????的最小值．
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法二
1????+1?????＝ ????+2????????+????+2?????????＝1＋ 2?????????＋ ?????????＋2＝3＋ 2?????????＋ ?????????≥3＋22?，
?
当且仅当2????????=?????????????????????+2????=1即????=2?1????=1?22时，等号成立，
?
∴ 1????+1????的最小值为3＋22.
?
题型三 利用均值不等式解决实际问题
[例3]　如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
[例3]　如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
由于2x＋3y≥22?????3?????＝26?????????，所以26?????????≤18，得xy≤ 272?，
即Smax＝ 272?，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由2????+3????=182????=3??????????????解得????=4.5????=3
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
?
设每间虎笼长x m，宽y m，
则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
法一
[例3]　如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
法二
由2x＋3y＝18，得x＝9－ 32?y.
∵x>0，∴0 ∵00.
∴S≤ 326?????+????22?＝ 272.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
?
反思感悟
在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案．
2．对于函数y＝x＋????????(k>0)，可以证明0＜x≤ ????及－?????≤x＜0上均为减函数，在x≥????及x≤－????上都是增函数．求此函数的最值时，若所给的范围含±????时，可用均值不等式，不包含±????时，可用函数的单调性求解(后面第三章3.2函数的基本性质中学习).
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跟踪训练
3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝
购地总费用建筑总面积)
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随堂检测
1．思考辨析
(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．(　　)
(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4.(　　)
(3)当x>1时，函数y＝x＋1?????1?≥2?????????1?，所以函数y的最小值是2?????????1.(　　)
?
√
√
×
2．若实数a、b满足a＋b＝2，则ab的最大值为(　　)
A．1　　　　B．22?　　　　C．2　　　　 D．4
?
A
3．已知0 A. 12 B. 34
C. 23 D. 25
?
A
4．已知x>0，求y＝ 2????????2+1的最大值．
?
y＝ 2????????2+1?＝ 2????+1????.
∵x>0，∴x＋ 1?????≥2?????1?????＝2，
∴y≤ 22?＝1，当且仅当x＝ 1?????，即x＝1时等号成立．
?
本课小结
1．利用均值不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用均值不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用均值不等式的情境．
本课小结
2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，均值不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到.
通过本节课，你学会了什么？