人教B版（2019）数学必修第一册2.2.3一元二次不等式的解法 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
2.2.3一元二次不等式的解法
高一
必修一
本节目标
1 ．了解一元二次不等式的概念．
2．理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系．
3．会解一元二次不等式.
情景引入
二次函数
与一元二次方程
不等式
任务一：知识预习
课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1)怎样判断一个不等式是否为一元二次不等式？
(2)如何求解一元二次不等式？
(3)三个“二次”指的是哪三个“二次”？它们之间有何关系？
课前预习
任务二：简单题型通关
1．不等式 x＞x2 的解集是(　　)
A．{x|x＞1}　　　　　 B．{x|x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．R
x＞x2
x2－x＜0
x(x－1)<0
0C
课前预习
任务二：简单题型通关
2．不等式 x2＋6x＋10＜0 的解集是(　　)
A． B．R
C．{x|x＞5} D．{x|x＜2}
A
Δ＝62－4×10＜0
x2＋6x＋10恒大于0
课前预习
任务二：简单题型通关
3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集为(　　)
A．{x|x＞3或x＜－2} B．{x|x＞2或x＜－3}
C．{x|－2＜x＜3} D．{x|－3＜ x＜2}
y=ax2＋bx＋c的图象开口向下
y>0取两根之间
C
课前预习
任务二：简单题型通关
4．不等式－x2＋x－2<0的解集为________．
Δ＝12－4×(－2)×(－1)＝－7<0
不等式解集为R
R
新知精讲
1．一元二次不等式
新知精讲
2．一元二次不等式的解与解集
新知精讲
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表
题型探究
题型一 一元二次不等式的解法
例1　解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2；
(3)4x2＋4x＋1>0； (4)－x2＋6x－10>0.
题型探究
题型一 一元二次不等式的解法
(1)2x2＋5x－3<0
原不等式的解集为
Δ＝49>0
2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝
y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示
题型探究
题型一 一元二次不等式的解法
(2)－3x2＋6x≤2
原不等式的解集为
3x2－6x＋2≥0
Δ＝12>0
3x2－6x＋2＝0的解为x1＝ ，x2＝
作出y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示
题型探究
题型一 一元二次不等式的解法
(3) 4x2＋4x＋1>0
Δ＝0
方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝
作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图所示
原不等式的解集为
题型探究
题型一 一元二次不等式的解法
(4)－x2＋6x－10>0
原不等式的解集为
x2－6x＋10<0
Δ＝－4<0
方程x2－6x＋10＝0无实根
归纳总结
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
活学活用
1.已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6＞0}，则M∩N为(　　)
A．{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7} B．{x|－4＜x≤－2或3≤x＜7}
C．{x|x≤－2或x＞3} D．{x|x＜－2或x≥3}
A
M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}
N＝{x|x2－x－6＞0}＝{x|x＜－2或x＞3}
M∩N＝{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}
题型探究
题型二 三个“二次”关系的应用
例2　若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值为(　　)
A．14　　　　　　　　 　B．－10
C．10 D．－14
ax2＋bx＋2＝0的解为，，且a<0.
a＋b＝－14
D
题型探究
题型二 三个“二次”关系的应用
例3 已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根
qx2＋px＋1＞0
－ x2＋ x＋1＞0
x2－x－6＜0
－2＜x＜3
归纳总结
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的．　
活学活用
2．若不等式y＝ax2－x－c>0的解集为(－2,1)，则函数y的图象为(　　)
B
活学活用
3．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20的解集．
cx2－bx＋a>0
6ax2＋5ax＋a>0(a<0)
6x2＋5x＋1<0
题型探究
题型三 解含参数的一元二次不等式
例4　解关于x的不等式 x2＋(1－a)x－a＜0.
x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a
函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上
当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}
当a＝－1时，原不等式解集为
当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}
分类讨论
归纳总结
解含参数的一元二次不等式时的注意点
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
活学活用
4.设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.
分类讨论
当a＝0时
当a≠0时
ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－
①当a<－时，原不等式解集为{x|－②当a＝－ 时，原不等式的解集为
③当－ ④当a>0时，原不等式的解集为
x－2>0
ax2＋(1－2a)x－2>0
原不等式的解集为{x|x>2}
思想方法
分类讨论思想在解含参数不等式中的应用
例4　解关于x的不等式 ax2－(a－1)x－1<0(a∈R)．
(ax＋1)(x－1)<0
当a>0时
解集为{x| }
当a＝0时
解集为
当－1解集为
当a＝－1时
解集为
当a<－1时
解集为
感悟提高
分类讨论是解决含有参数的一元二次不等式的主要方法，确定分类讨论的标准时，要着重处理好以下三点：
(1)讨论的“时刻”，即在什么时候开始进行讨论．
(2)讨论的“点”，即以哪个量为标准进行讨论．
(3)考虑要周到，即讨论对象的各种情况都要加以分析，给出结论．
达标检测
1．已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为，则不等式bx2－5x＋a>0的解集为(　　)
A. 　　　　　 B.
C．{x|－32}
ax2－5x＋b＝0的解是x1＝－，x2＝
x1＋x2＝－＋＝
x1x2＝－ × ＝
a＝30，b＝－5
bx2－5x＋a>0 －5x2－5x＋30>0
－3C
达标检测
2．已知不等式 ax2＋3x－2>0的解集为{x|1A．a＝1，b＝－2　　　　　 B．a＝2，b＝－1
C．a＝－1，b＝2 D．a＝－2，b＝1
a<0，且方程ax2＋3x－2＝0的两个根分别为1和b
1＋b＝－，b＝
a＝－1，b＝2
C
达标检测
3．二次函数y＝x2－4x＋3在 y<0 时x的取值范围是_____________．
x2－4x＋3<0
1{x|1本课小结
1．一元二次不等式的有关概念
2．一元二次不等式的解法
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系