人教B版（2019）数学必修第一册2.2.4 均值不等式及其应用 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
2.2.4 均值不等式及其应用
高一
必修一
情景引入
a
b
如图是国际数学大会的会标，你能在上图中找到哪些不等关系？
本节目标
1.理解并掌握均值不等式及变形应用．
2.会用均值不等式求最值问题和解决简单的实际问题.
任务一：知识预习
课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1)均值不等式的形式是什么？需具备哪些条件？
　
(2)在利用均值不等式求最值时，应注意哪些方面？
　
(3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题？　
　
课前预习
任务二：简单题型通关
a<0
－a>0
当且仅当a＝－1等号成立
D
课前预习
任务二：简单题型通关
x2＋y2≥2xy
x2＋y2＝4
xy≤2，当且仅当x＝y取等号
C
课前预习
任务二：简单题型通关
C
√
√
√
课前预习
任务二：简单题型通关
4．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)
A．a2＋b2>2ab　　　　　 B．a＋b≥2
C. D.
D
a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0
×
a<0，b<0时不成立
×
a<0，b<0时不成立
×
ab>0时成立
√
课前预习
任务二：简单题型通关
5．已知ab＝1，a＞0，b＞0，则a＋b的最小值为________．
a＋b≥2
ab＝1
a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立
2
a＞0，b＞0
当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥_______，当且仅当________时，等号成立．
新知精讲
1．重要不等式
(1)有关概念 当a，b均为正数时，把__________叫做正数a，b的算术平均数，把________叫做正数a，b的几何平均数．
新知精讲
2．均值不等式
(2)不等式 当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤_________，当且仅当__________时，等号成立．
(3)变形 ，a＋b≥2(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)．
新知精讲
当且仅当a＝b时取等号
易错提醒
1
均值不等式成立的条件
2
等号成立的条件
a＞0且b＞0
题型探究
题型一 利用均值不等式比较大小
例1　已知m＝a＋(a>2)，n＝(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　)
A．m>n　　　　　　　 　B．mC．m＝n D．不确定
m＝a＋＝a－2＋+2
m>n
a>2
a－2>0
2－b2<2
n＝ <4
A
题型探究
题型一 利用均值不等式比较大小
例2　已知 a>b>c，比较与的大小关系.
a－b>0，b－c>0，a－c>0
当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．
归纳总结
利用均值不等式比较实数大小的注意事项
(1)利用均值不等式比较大小，要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性)．
(2)利用均值不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.
活学活用
1.已知a，b，c都是非负实数，试比较与(a＋b＋c)的大小．
同理，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立
a2＋b2≥2ab
2(a2＋b2)≥(a＋b)2
题型探究
题型二 利用均值不等式证明不等式
例3　已知 a，b，c均为正实数， 求证：.
(当且仅当a＝2b时等号成立)
(当且仅当a＝3c时等号成立)
(当且仅当2b＝3c时等号成立)
6(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)
(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)
归纳总结
①多次使用均值不等式时，注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法；
③不能直接使用均值不等式时可重新组合．
利用
均值不等式
证明不等式
策略
注意事项
从已知出发，借助不等式性质定理，经过逐步的推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
活学活用
2.已知a，b，c为正实数， 且a＋b＋c＝1，求证：.
同理，，
=8
当且仅当a＝b＝c＝时，取等号
题型探究
题型三 利用均值不等式求最值
例4 (1)已知m，n>0，且m＋n＝16，求mn的最大值.
(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值．
(3)已知x＞0，y＞0，，求x＋y的最小值．
题型探究
例4 (1)已知 m，n>0，且m＋n＝16，求mn的最大值.
当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64.
mn的最大值为32
题型探究
例4 (2)已知 x＞0，y＞0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值．
2x＋3y＝6
当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值
题型探究
例4 (3)已知x＞0，y＞0，，求x＋y的最小值．
x＋y＝(x＋y)· ( )=
x＞0，y＞0
当且仅当＝ ，即y＝3x时，等号成立
x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16
归纳总结
(1)应用均值不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相等
“正数”条件往往易从题设中获得
“相等”条件易验证确定
“定值”条件常常被设计为难点，需一定的灵活性和变形技巧
(2)常用构造定值条件的技巧变换
①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用均值不等式．
(3)对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用
活学活用
3．已知a>0，b>0，，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(　　)
A．8 B．7 C．6 D．5
6()=1
2a＋b=6() ·(2a＋b)
当且仅当＝ 时等号成立
9m≤54
m≤6
C
活学活用
4．(天津高考)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．
当且仅当时取等号
4
题型探究
题型四 利用均值不等式解应用题
例5　某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：
(1)仓库面积S的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
题型探究
例5　某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：
(1)仓库面积S的最大允许值是多少？
设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而顶部面积为S＝xy
40x＋2×45y＋20xy＝3 200
3 200≥2＋20xy
＝120＋20xy，
＝120＋20S
S≤100
S的最大允许值是100平方米
题型探究
例5　某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100
x＝15
铁栅的长是15米
归纳总结
求实际问题中最值的解题4步骤
(1)读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式．
(2)把实际问题抽象成函数的最值问题．
(3)在定义域内，求函数的最值时，一般先考虑均值不等式，当均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性．
(4)正确写出答案．
活学活用
5. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，求当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，最大值是多少？
年平均利润
x>0
≤18－2＝8
当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元
随堂检测
1．下列不等式不一定成立的是(　　)
A．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)
B．a2＋3＞2a(a∈R)
C．x＋≥2(x∈R)
D. (a，b∈R)
若x＜0，则x＋＜0
C
随堂检测
2．已知a＞0，b＞0，则，，，中最小的是(　　)
A. 　　　　　　　　　　 B.
C. D.
D
随堂检测
3．函数y＝(x>－1)的最小值为________．
0
x>－1
当且仅当x＝0时，等号成立
1．两个不等式
重要不等式: a2＋b2≥2ab(a，b∈R) ，“a＝b”时取“＝”
均值不等式: (a＞0，b＞0) ，“a＝b”时取“＝”
2.均值不等式与最值
已知x，y都是正数，
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
本课小结