人教B版（2019）数学必修第一册3.1.2 函数的最大(小)值 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
3.1.2　函数的最大(小)值
高一
必修一
本节目标
1. 理解函数的最大值、最小值及其几何意义
2. 能求一些简单函数的最大值、最小值
任务一：知识预习
课前预习
(1)函数最大(小)值的定义是什么？
(2)从函数的图象可以看出函数最值的几何意义是什么？
预习课本，思考并完成以下问题
任务二：简单题型通关
课前预习
1．函数f(x)＝在[1，＋∞)上(　　)
A．有最大值无最小值　　 B．有最小值无最大值
C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值
A
任务二：简单题型通关
课前预习
0
0
－1
任务二：简单题型通关
课前预习
A
新知精讲
一、函数的最大值、最小值
1．函数y＝f(x)的最大值是图象最高点的________坐标．
2．函数y＝f(x)的最小值是图象最低点的________坐标．
新知精讲
二、函数最大值、最小值的几何意义
最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
易错提示
题型探究
题型一 图象法求函数的最值
[例1]　如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．
(3,3)
(－1.5,－2)
x＝3时，y＝f(x)取得最大值，即 ymax＝3
x＝－1.5时，y＝f(x)取得最小值，即 ymin＝－2
归纳总结
用图象法求最值的3个步骤
活学活用
由图象可知f(x)的最小值为f(1)＝1，无最大值
题型探究
题型二
利用单调性求函数的最值
[例2]　已知函数f(x)＝x＋.
(1)证明：f(x)在(1，＋∞)内是增函数；
(2)求f(x)在[2,4]上的最值．
题型探究
[例2]　已知函数f(x)＝x＋.
(1)证明：f(x)在(1，＋∞)内是增函数；
x2＞x1＞1
x1－x2＜0
x1x2＞1
x1x2－1＞0
f(x)在(1，＋∞)内是增函数
f(x1)＜f(x2)
题型探究
[例2]　已知函数f(x)＝x＋.
(2)求f(x)在[2,4]上的最值．
归纳总结
函数的最值与单调性的关系
(1)如果y＝f(x)在 (a，b]上是增函数，在[b，c)上是减函数，则y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)．
(2)如果y＝f(x)在 (a，b]上是减函数，在 [b，c)上是增函数，则y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)．
(3)如果y＝f(x)在 [a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值．
活学活用
设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1f(x1)－f(x2)>0
f(x1)>f(x2)
函数f(x)＝是区间[2,6]上的减函数
x＝2时取最大值，最大值是2，x＝6时取最小值，最小值是0.4
2≤x1x2－x1>0
(x1－1)(x2－1)>0
题型探究
题型三
实际应用中的最值
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
题型探究
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
题型探究
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
当0≤x≤400时， f(x)＝－(x－300)2＋25 000
当x＝300时，[f(x)]max＝25 000
当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数
f(x)＜60 000－100×400＜25 000
当x＝300时，[f(x)]max＝25 000
归纳总结
解实际应用问题的5个步骤
(1)审：审清题意，读懂题，找出各量之间的关系．
(2)设：从实际问题中抽象出数学模型，恰当设出未知数．
(3)列：根据已知条件列出正确的数量关系．
(4)解：转化为求函数的最值或解方程或解不等式．
(5)答：回归实际，明确答案，得出结论．
活学活用
3．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
设售价为x元，利润为y元
y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000
单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个
x＝70时，ymax＝9 000
售价为70元时，利润最大值为9 000元
题型探究
[例4]　求二次函数 f(x)＝x2－2ax＋2 在[2,4]上的最小值．
函数图象的对称轴是x＝a
当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数
f(x)min＝f(2)＝6－4a
当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数
f(x)min＝f(4)＝18－8a
当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2
分类讨论
一题多变
1．[变设问]在本例条件下，求f(x)的最大值．
[例4]　求二次函数 f(x)＝x2－2ax＋2 在[2,4]上的最小值．
函数图象的对称轴是x＝a
当a≤3时，f(x)max＝f(4)＝18－8a
当a＞3时，f(x)max＝f(2)＝6－4a
一题多变
2．[变设问]在本例条件下，若f(x)的最小值为2，求a的值．
[例4]　求二次函数 f(x)＝x2－2ax＋2 在[2,4]上的最小值．
一题多变
3．[变条件，变设问]本例条件变为，若f(x)＝x2－2ax＋2，当 x∈[2,4]时，f(x)≤a 恒成立，求实数a的取值范围．
[例4]　求二次函数 f(x)＝x2－2ax＋2 在[2,4]上的最小值．
a≥x2－2ax＋2在[2,4]内恒成立
a≥f(x)max，x∈[2,4]
由本例探究1知f(x)max＝
(1)当a≤3时，a≥18－8a，解得a≥2，此时有2≤a≤3
(2)当a＞3时，a≥6－4a，解得a≥，此时有a＞3.
综上有实数a的取值范围是[2，＋∞)
归纳总结
求解二次函数最值问题的顺序
(1)确定对称轴与抛物线的开口方向、作图．
(2)在图象上标出定义域的位置．
(3)观察单调性写出最值．
达标检测
1．若函数y＝x2＋2x＋2在闭区间 [m,1]上有最大值5，最小值1，则m的取值范围是(　　)
A．[－1,1]　　　　　　B．[－1，＋∞) C．[－3,0] D．[－3，－1]
y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1
要使函数值为5，需x＝1或x＝－3
图象开口向上，对称轴是x＝－1，最小值为1
m的取值范围是[－3，－1]．
D
达标检测
2．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)
A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元
设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售15－x辆
公司获利为
当x＝9或10时，L最大为120万元
C
达标检测
对称轴为直线x＝
<0，即a<0时，[0,1]是f(x)的递减区间
f(x)max＝f(0)＝－4a－a2＝－5
a＝1(舍)，或a＝－5
当>1，即a>2时, [0,1]是f(x)的递增区间
f(x)max＝f(1)＝－4－a2＝－5
a＝1 (舍) ，或a＝－1 (舍)
当0≤ ≤1，即0≤a≤2时
f(x)max＝f()＝－4a＝－5
a＝
a＝－5，或a＝
3．已知 f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2 在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值．
本课小结
1. 函数最大(小)值的定义是什么？
2. 函数最值的几何意义是什么？
3. 函数的最值与单调性的关系。