青岛版数学九年级下册 5.6 二次函数的图象与一元二次方程 教案

二次函数的图象与一元二次方程
【教学目标】
1．二次函数与x轴交点与一元二次方程根之间的关系。
2．进一步发展估算能力。
3．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
4．通过观察二次函数与x轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。
5．培养学生积极探索，主动参与，大胆创新，勇于开拓的精神。
【教学重难点】
1．重点：体会方程与函数之间的联系、理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根。
2．难点：理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
【教学过程】
（一）复习
我们已学过一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)的关系，你还记得吗？
过渡：前面我们学习了一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题。
当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解。
（二）尝试探究解决问题
1．出示例题思考
（1）h与t的关系式是什么？
（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？
2．出示议一议
要求学生画出二次函数①y=x2+2x②y=x2-2x+1③y=x2-2x+2的图象，并思考：
（1）每个图象与x轴有几个交点？
（2）一元二次方程x2+2x=0，x2-2x+1=0有几个根？解方程验证一下，一元二次方程x2-2x+2=0有根吗？
（3）二次函数的图象y=ax2+bx+c与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？
3．教师小结
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点。当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根。
4．出示想一想。要求学生根据所学知识自己解决，教师适当辅导。
小组交流发表看法：
（1）求出h与t的关系式为h=-5t2+40。
（2）可以令h=0解得t=0时是小球没抛时的时间，t=8是小球落地时的时间。观察图象，从图象上可看到t=8时小球落地。
（3）图象①y=x2+2x②y=x2-2x+1③y=x2-2x+2与x轴分别有两个交点、一个交点，没有交点。
（4）一元二次方程x2+2x=0有两个根0，-2；x2-2x+1=0有两个相等的实数根1或一个根1；方程x2-2x+2=0没有实数根。
（5）从图象和讨论知，二次函数y=x2+2x与x轴有两个交点（0，0）和（-2，0），方程x2+2x=0有两个根0，-2；
二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点（1，0），方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根1或一个根1。二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴没有交点，方程x2-2x+2=0没有实数根。
由此可知，二次函数y=ax2+bx+c的与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根。
5．学生自己尝试解题交流结果。
（三）课堂练习巩固新知
补充练习：
1．判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标。
（1）y=-5x2+7x+3
（2）y=2x2-3x-2
（3）y=x2-6x+9
2．已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a=____，若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是____。
3．已知抛物线y=-3(x-2)2+12，①求抛物线与y轴的交点坐标；②求抛物线与x轴的两个交点间的距离。