课件52张PPT。第二章 数列2.2 等差数列 第2课时 等差数列的性质课主自前预习课动互堂探究[答案] D随能知堂训练答案：35温示提馨请做：课时作业（9）课时作业·堂堂清
（点击进入）课时作业9 等差数列的性质
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．数列{an}是等差数列，则有( )
A．a2 007＋a2 008＝a2 009＋a2 010
B．a2 007＋a2 009＝a2 008＋a2 010
C．a2 007＋a2 010＝a2 008＋a2 009
D．a2 007＋a2 008≤a2 009＋a2 010
解析：若m，n，p，q∈N*，且{an}是等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，C成立．
答案：C
2．等差数列{an}的公差为d，则数列{can}(c为常数，且c≠0)是( )
A．公差为d的等差数列
B．公差为cd的等差数列
C．不是等差数列
D．以上都不对
解析：设bn＝can，[来源:学科网ZXXK]
则bn＋1－bn＝can＋1－can＝c(an＋1－an)＝cd.
答案：B
3．在等差数列{an}中，若a1＋a5＋a9＝，则sin(a4＋a6)＝( )
A. B.
C. D．1
解析：∵a1＋a5＋a9＝3a5＝，
∴a5＝，∴a4＋a6＝2a5＝.
∴sin(a4＋a6)＝sin＝.
答案：A
4．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是( )
A．an＝2n－2(n∈N*)
B．an＝2n＋4(n∈N*)
C．an＝－2n＋12(n∈N*)
D．an＝－2n＋10(n∈N*)
解析：由得或
∵d<0，∴a2＝6，a4＝2.
∴d＝(a4－a2)＝－2.
∴an＝a2＋(n－2)d＝6－2(n－2)＝10－2n.
答案：D
5．首项为－24的等差数列，从第10项起为正数，则公差的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．(－∞，3)
C．[，3) D．(，3]
解析：设公差为d，则an＝－24＋(n－1)d，a9＝－24＋8d，a10＝－24＋9d，
∵从第10项起为正数，
∴即即答案：D
6．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( )
A．－1 B．1
C．3 D．7
解析：方法1：∵a1＋a3＋a5＝105，即3a3＝105，解得
a3＝35，同理a2＋a4＋a6＝99，得a4＝33，
∵d＝＝＝－2.
∴a20＝a4＋(20－4)d＝33＋16×(－2)＝1.
方法2：由a1＋a3＋a5＝105，得a1＋a1＋2d＋a1＋4d＝3a1＋6d＝105，由a2＋a4＋a6＝99，得a1＋d＋a1＋3d＋a1＋5d＝3a1＋9d＝99，
所以解得
∴a20＝39＋(20－1)×(－2)＝1.
方法3：∵a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，
∴(a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5)＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d＝99－105＝－6.
解得d＝－2，又a1＋a3＋a5＝105，得a3＝35，
a20＝a3＋(20－3)d＝35＋17×(－2)＝1.
答案：B
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
解析：∵{an}是等差数列，设公差为d，
∴3d＝a5－a2＝6，
∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.
答案：13
8．等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，则a105＝________.
解析：a15，a60，a105成等差数列，
则a15＋a105＝2a60，
∴a105＝2a60－a15＝2×20－8＝32.
答案：32
9．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么，位于表中的第n行第n＋1列的数是________.
第1列
第2列
第3列
…
第1行
1
2
3[来源:学_科_网Z_X_X_K]
…
第2行
2
4
6
…
第3行[来源:学§科§网]
3
6
9
…
…
…
…
…
…
解析：由已知条件可知，数表中第n行的第1列数为n，其公差亦为n，因此第n行第n＋1列的数为n(n＋1)＝n2＋n.
答案：n2＋n
三、解答题(共计40分)
10．(10分)已知等差数列{an}中，a3a7＝－12，a4＋a6＝－4.求它的通项公式．
解：依题意 ∴a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的两根，∴或
当a3＝－6，a7＝2时，d＝＝2，an＝a7＋(n－7)×d＝2n－12，同理当a3＝2，a7＝－6时，an＝－2n＋8.
11．(15分)已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}．
(1)求b1和b2；
(2)求{bn}的通项公式；
(3){bn}中的第110项是{an}的第几项？
解：(1)∵a1＝3，d＝－5.
所以an＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n.
数列{an}中项数被4除余3的项依次是第3项，第7项，第11项，…，∴{bn}的首项b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.
(2)设{an}中的第m项是{bn}的第n项，即bn＝am，
则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，
∴bn＝am＝a4n－1＝8－5(4n－1)＝13－20n(n∈N＋)．
∵bn－bn－1＝－20(n∈N＋，n≥2)，∴{bn}是等差数列，其通项公式为bn＝13－20n(n∈N＋)．
(3)∵b110＝13－20×110＝－2187，设它是{an}中的第m项，则－2187＝8－5m，则m＝439.
12．(15分)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常数．[来源:学科网ZXXK]
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
解：(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1.所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.
从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)不存在实数λ使数列{an}为等差数列，
证明如下：由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，
得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，
a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．
若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，
即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.[来源:学科网]
于是a2－a1＝1－λ＝－2，
a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.
这与{an}为等差数列矛盾．
所以，不存在λ使{an}是等差数列．
