江苏省南通市通州区2022-2023学年高三上学期期中数学试题（含答案）

2023届高三第一学期期中质量监测
数学2022.11.14
本试卷共6页，22小题，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合，.若，则实数a的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
3.已知，，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式，若经过5年，二氧化碳的排放量为（亿吨）.已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年 （参考数据：）（ ）
A.28 B.29 C.30 D.31
5.如图是函数的大致图象，则函数的解析式可以为（ ）
A. B. C. D.
6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知正六棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60°.圆柱的上底面圆与正六棱锥的侧面均相切，下底面圆O在该正六棱锥底面内，则圆柱体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8.若，其中，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设是公差为d的等差数列，是其前n项的和，且，，则（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数，的定义域均为R，它们的导函数分别为，.若是奇函数，，与图象的交点为，，…，，则（ ）
A.的图象关于点对称 B.的图象关于直线对称
C.的图象关于直线对称 D.
11.在圆O的内接四边形中，，，，则（ ）
A. B.四边形的面积为
C. D.
12.在矩形中，，，E为DC的中点.将绕直线BE旋转至的位置，F为的中点，则（ ）
A.存在某个位置，使得
B.存在无数个位置，使得平面
C.当二面角为120°时，点F到平面的距离为
D.当四棱锥的体积最大时，以为直径的球面与被平面截得的交线长为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知为单位向量，向量在上的投影向量为，且，则______.
14.《莱因德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大的三分之和的是较小的两份之和，则最小的一份为______.
15.已知函数的最小值为0，且，则图象的一个对称中心的坐标为______.
16.已知函数，若直线是曲线的切线，则______；若直线与曲线交于，两点，且，则a的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知数列的前n项和为，且.
（1）求证：是等差数列，并求出的通项公式；
（2）设，求证：.
18.（12分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求B；
（2）若点D在AC边上，满足，且，，求的值.
19.（12分）
已知函数，，分别是的极大值点和极小值点.
（1）若，，，求的值；
（2）若，求a的取值范围.
20.（12分）
如图，在三棱锥中，平面平面，，，O为BD中点.
（1）求二面角的正弦值；
（2）E为内的动点（包含边界），且平面，求OE与平面所成角的正弦值的最大值.
21.（12分）
已知双曲线C：的左焦点为F，过点F作直线l交C的左支于A，B两点.
（1）若，求l的方程；
（2）若点，直线AP交直线于点Q.设直线QA，QB的斜率分别，，求证：为定值.
22.（12分）
已知函数的极值为.
（1）求p的值，并求的单调区间；
（2）若，证明：.
2023届高三第一学期期中质量监测
数学参考答案及评分建议
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1-4 DCAC 5-8 CBBD
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.ACD 10.BC 11.ABD 12.BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 14.
15.答案不唯一，一般形式 16.；
四、解答题：本题共6小题，共70分。
17.（10分）
【解】（1）因为①，
所以时，②，
得，即，，……2分
所以，，
在①式中，令，得，
所以数列是以1为首项为公差的等差数列.……4分
所以，
所以.……6分
（2）由，……8分
所以
.
因为，所以，得证.……10分
18.（12分）
【解】（1）因为，由正弦定理，
可得，
即，……2分
所以.
因为，所以，……4分
即.
因为，所以，
所以，即.……6分
（2）因为点D在AC边上，满足，
所以，……7分
所以，
因为，，，
所以，
即，解得，即.……9分
在中，由余弦定理，
得，即，
所以.……11分
在中，由余弦定理，
得.……12分
19.（12分）
【解】（1）当时，，
所以，
令，得或.……1分
列表如下：
x 0
0 0
极大值 极小值
所以在处取极大值，即，且.……3分
由，所以，即，
所以.
因为，所以，……5分
所以.……6分
（2）由，因为，分别是的极大值点和极小值点，
所以，是方程的两个不相等的实根，且，即，
所以……8分
因为
，
因为，所以，解得.
综上，.……12分
20.（12分）
【解】（1）（方法一）连结AO.因为，O为BD中点，所以.
因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
过点O作，交CD于点E，连结AE.……2分
因为AO，平面，，
所以平面，
因为，所以，
所以是二面角的平面角.……4分
因为，，
所以直角中，，，，所以，
即二面角的正弦值为.……6分
（方法二）连结AO.因为，O为BD中点，所以.
因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面.
因为，O为BD中点，所以，
所以OC，OD，OA两两互相垂直.……2分
以为一组基底建立如图所示空间直角坐标系.
因为，，
所以，，，，
所以，，，
所以为平面的一个法向量.
设平面的的法向量，
所以，即.
令，得平面的一个法向量.……4分
所以，
所以二面角的正弦值为.……6分
（2）取AD中点M，CD中点N.
因为O为BD中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面，同理平面.
因为平面，平面，，
所以平面平面.
因为E为平面内动点（包含边界），且平面，
所以E在线段MN上.……8分
由，，，
所以，，
则.
设OE与平面所成角为，则
，
当时，的最大值为，
所以OE与平面所成角的正弦值的最大值为.……12分
21.（12分）
【解】（1）由双曲线C的左焦点为，设，，
联立方程组，消x得.
设，，所以，.
因为，所以，……2分
即，，
所以，
解得，……4分
所以l的方程为.……5分
（2）由直线，得，
所以，
又，
所以
.……8分
因为，，……10分
所以（定值）.……12分
22.（12分）
【解】（1）设的极值点为，，
则，……2分
解得，，经检验，时满足题意.……3分
所以，，
当时，，当时，，
所以的单调减区间为，单调增区间为.……5分
（2）不妨设，因为，
由（1）知，，.……6分
设函数，，
则，所以在上单调递减，
所以，即，
所以，即.
又，，所以，即.……10分
由，得，又，所以
所以，即，得证.……12分
说明：的生成过程.
已得，要证，可以考虑，显然不成立.
再考虑，由于.
，
所以构造函数，很巧，，…….