人教版八年级上册数学14.2.1平方差公式 教学设计

14.2乘法公式
14.2.1 平方差公式教学设计
【教材分析】
本节课选自人教版八年级上册第14章2.1乘法公式的第一课时《平方差公式》.它是继多项式乘以多项式之后的重要教学内容，是对多项式乘法中出现的特殊的算式的归纳总结，又是今后学习因式分解、分式化简、根式的分母有理化、解一元二次方程等代数运算及变形的前提基础；同时，它也是初中数学系统学习的第一个乘法公式，是学生初步认识公式结构，逐步形成符号意识，开始产生模型思想，进一步强化求简意识的经典范例，是代数运算以及解决许多数学问题的重要基础。在此基础上掌握有特殊规律的式子结构并记住这一特殊式子结构为运算提高速度，增强学生自信心，所以引导学生掌握和善于发现事物规律是有趣的，也很有用的。
【学情分析】
学生已经具备了整式加、减、乘等数式运算基础，以及小学学习过的正方形、矩形等图形基础.已经较熟练地掌握了多项式乘法，为验证平方差公式做了知识准备；并且通过日常的课堂教学的培养，学生已经具备了一定的小组合作能力、探究能力、归纳分析能力，能通过合作交流完成一定的学习任务。
【教学目标】
1.理解平方差公式的推导过程，了解平方差公式的几何背景；
2.掌握平方差公式的结构特征，会运用平方差公式进行简单运算；
3. 经历平方差公式的探索过程，领悟平方差公式的变式应用，能创作平方差公式的变式题目.
【教学重点、难点】
1.教学重点：探究平方差公式，剖析平方差公式的结构，灵活运用平方差公式.
2.教学难点：掌握公式在运用中的变化规律，深层次理解公式结构，自主创作变式题目.
【课前准备】
多媒体课件、卡纸、练习草稿等。
【教学方法】
用找搭档方式，使两个式子相乘可以用平方差公式直接计算。运用开放式教学策略组织课堂教学。
【教学构思】
从生活中的情境导入→产生计算高手→抛出疑问（什么公式）→复习引入→新知探究→变式应用→思维拓展→总结升华→课后拓展→课时检测 .
【教学过程设计】
第一环节：创设情境，导入新课(PPT)
【设计意图】老师从身边的神算手实景引入，从而引发学生好奇心和求知欲。
第二环节：复习回顾，引入新课
1、多项式乘以多项式法则 ：字母表示：（m+n）(a+b)= ma+mb+na+nb
2、计算下列式子。（分小组，一个小组完成一个）
（x+y）(a+b)= xa+xb+ya+yb
（x+y）（x-y）=x2－xy＋xy－y2 = x2－y2
(3)（m+n）（m-n）=m2－mn＋mn－n2 = m2－n2
(4)（m+n）（m-2n）=m2－2mn＋mn－2n2 = m2－nm－2n2
3、仔细观察并类比（1）（4）与（2）（3）式子，回答下列问题。
式子左边都要具有什么的特征，才会有（2）（3）这样的简洁美式子？
你试着写一个两项式乘以两项式，使得结果也是这种简洁美的式子？
【设计意图】学生经历由具体到抽象，由特殊到一般的研究数学问题过程。学生体现数学的严谨性；由结果的简洁性体会数学公式的简洁美。
你能用文字描述（2）（3）式子吗？
【设计意图】用语言描述公式，锻炼学生的归纳概括能力和语言表达能力。
达成基础目标。
第三环节：新授
1、平方差公式定义：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
用字母表示：（a+b）（a-b）= a2－b2
【设计意图】学生经历由具体到抽象，由特殊到一般的研究数学问题过程，并同时体会数形结合的数学思想方法。学生初步认识公式结构，逐步形成符号意识，开始产生模型思想。
2、学生活动
活动一：对照上面平方差公式写一个有这样特点式子的左边来。
活动二：请同桌判断，你所写的式子是平方差公式的左边样子吗？如是，那么平方差公式直接计算结果来。
【设计意图】培养学生为学习的主人，从而提升对平方差公式结构的再认识。
3、用几何面积法验证公式恒成立！（手工演示）。
已知如图：大正方形边长为a，小正方形边长为b，求阴影部分面积？
即：（a+b）（a-b）= a2－b2，式子恒成立。
【设计意图】数形结合的数学思想培养
4、师生活动
活动三：找搭档
已知式子，请你配个式子，使得两个式子相乘可用平方差公式直接计算结果。
（m+n）→搭档：（共28人）
答案1：（m+n）（m－n）（答案第一列）
答案2：（m+n）（-n+m）（答案第二列）发现后位置交换
答案3：（m+n）（n－m）（答案第三列）发现前后位置交换
答案4：（m+n）（-m+n）（答案第四列）发现前位置交换
（2）对照（a+b）（a-b）= a2－b2，平方差公式直接写上面式子计算结果。
（m+n）（m－n）= （m+n）（n－m）=
（m+n）（-n+m）= （m+n）（-m+n）=
老师总结上面式子为：同前异后（解释）。
（3）学生用同前异后法验证（m+n）搭档及结果。
用同前异后法直接写（m－2c）（－m－2c）结果，相同符号的有吗？有，谁？－2c，有异号的吗，有，谁？m。谁写在前面？－2c谁写作后？M，很好（m－2c）（－m－2c）= （－2c）2－m2 = 4c2－m2
第四环节：课堂练习
1、判断下列式子是否可用平方差公式计算？若是，请直接计算结果。
①(2+3x)(3x-2)
②(2+3x)(-3x-2)
③(-2+3x)(-3x-2)
④(2+3x)(3x-1)
【设计意图】学生通过对变式练习，进一步熟悉平方差公式的本质特征，通过练习的直观性，深层体会平方差公式的结构特征：①两括号内是对应的a和b,a是符号相同项，b是符号相反项。
巩固练习：1、下面各式的计算对不对？如果不对，应该怎样改正？
（1）（x＋5）（x－5）=x2－5； （2）（-4x－3（4x－3）= 16x2－9，
2、运用平方差公式计算：
9.8×10.2 （2） 100×99
第五环节：课堂小结
(1)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。用字母表示：(a+b) (a-b)= a2－b2，
(□+ ) (□ - )=□2- 2
(2)平方差公式的结构特征归纳（可学生总结）
同前异后法
第六环节 能力提升
例题：用平方差公式化简。
(a-b) (a+b) (a2+b2) (a4+b4) (a8+b8) (a16+b16)
这种多次用平方差公式解决的我命名它为平方差，翻滚吧！）
【设计意图】对学生更高阶思维的训练，培养学生的创造性思维，是对学习者能力培养的另外一种境界.
练一练：同学们试试平方差，翻滚吧！
计算(2+1) (22+1) (24+1) (28+1)( 216+1)+1（学生做，做完后提一下有借有还的式子(3-1)(3+1) (32+1) (34+1) (38+1) (316+1)+1情况）
第七环节：课后拓展
掌握对应公式的特点和规律，提高我们的运算。这不只是数学里有对应规律，其他事物也有它发展的规律，可能目前为止还没有发现，期待同学们去发现来更好的服务人类，为祖国做贡献！
把平方差公式里左边“+”变成“—”，即（a+b）（a-b）→（a-b）（a-b）结果又是什么样的式子，它又有什么样的规律呢？期待同学们的去发现和探究。
【板书设计】
【教学反思】
让学生动起来，让学生经历了由特殊到一般的研究数学问题的方法，渗透了数形结合的思想，锻炼了学生的数学思维。为了准确运用平方差公式，教师让学生观察平方差公式的结构特征，学生根据结构特征进行题组训练，根据题目特征选择不同层次的学生回答问题，最终归纳出运用公式的注意事项，整个过程学生全员参与，发言踊跃，师生评、生生评，既攻破了难点，又突出了本节课的重点；整个教学内容环环相扣，习题设计有梯度，并巩固了本节课的重点，完善了核心目标与最终目标。
缺点和不足：有效问题设置不到位。后面练习题的设计梯度和难度有待再考虑。还有语言不够精练等问题存在。
在以后的教学中，我将注意改正自己存在的问题，让学生变得主动积极的学习数学，让学生在数学课堂练习中获得不同层次的收获和进步。
知识检测
姓名 班级
方差公式
⑴填空：① ；
②
(2)计算：2020×2022－20212;
用图形表示：( +□) ( - □)= 2-□2
平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。用字母表示：（a+b）（a-b）= a2－b2，
(□ + ) (□ - ) = □ 2- 2
(2)平方差公式的结构特征：同前异后（可学生总结）