一、选择题（本大题共 9 小题，共 45 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 的比为( )
1. 设全集 = ，集合 = { | ≤ 1}， = { | 2 4 < 0}，则集合( ) ∩ 等于 A. 2：3 B. 3：2 C. 1：2 D. 3：4
( ) 2 27. 已知 1， 2是椭圆 ： 的左，右焦点， 是 的左顶点，点 2 + 2 = 1 ( > > 0)
A. [1,2) B. (1,2) C. ( 2,1) D. [ 2,1)
在过 且斜率为 3的直线上，△ 1 2为等腰三角形，∠ 1 2 = 120°，则 的离心率
ln26 ln22 62. 若 = ， = 2 3， = ，则 ， ， 的大小关系是( )4 4
为 ( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
A. 1 B. 1 C. 1 24 2 3 D. 3
3. 将函数 = 2 ( 3 ) cos(
6 + )( ∈ )
的图象向右平移4单位，所得图象对应
8. 2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由 96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世
的函数的最小值等于( )
界，数学中也有一朵美丽的雪花一“科赫雪花”.它可以这样画，任意画一个正三角
A. 3 B. 2 C. 1 D. 5
形 1，并把每一边三等分：取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把
4. 函数 = (1 + cos )( 1 )的部分图象大致为．( ) 这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线 2；重复上述两步，画出更小的三角形．一直
重复，直到无穷，形成雪花曲线 3， 4，…， ，….设雪花曲线 的边长为 ，边
A. B. 数为 ，周长为 ，面积为 ，若 1 = 3，则下列说法正确的是( )
C. D.
A. 1 3 3 85 = 27， 5 = 9 × ( 2 ) B. 1 ≤ 3 < 5 1
5. 在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参 C. { }，{ }，{ }，{ }均构成等比数列 D. =
3 2
1 + 4 1 1
赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，
9. 定义在 上的偶函数 ( )，其导函数 ′( )，当 ≥ 0时，恒有 ′2 ( ) + ( ) 0，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下
若 ( ) = 2( ) ( )，则不等式 ( ) < (1 2 )的解集为 ( )列说法中有误的是
1 1 1 1
A. 成绩在 70,80 分的考生人数最多 B. 不及格的考生人数为 1000人 A. ( 3 , 1) B. ( ∞, 3 ) ∪ (1, +∞) C. ( 3 , +∞) D. ( ∞, 3 )
C. 考生竞赛成绩的平均分约为 70.5分 D. 考生竞赛成绩的中位数为 75分
6. 一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积
第 1页
二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）
10. |3+4 |是虚数单位，复数 1 2 的虚部是______．
17. (本小题 15分)
+
11. (3 + 2
△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 2( + ) = ，
在 ) 的二项展开式中，所有项的系数之和为 81，则常数项为 .
2 2
(1) 求角 的大小；
12. 已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是 0.5，0.4，0.3， ，
13
如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率， (2) 若 = 7， ( + ) = 14，求△ 的面积．
则 的最大值是 ． 18.(本小题 15分)
13. 已知 > > 0，则 2 + 3 + 2 + 的最小值为 .
如图，矩形 和梯形 ， ⊥ ， // ，平面 ⊥平面 ，且 =
= 2， = = 1，过 的平面交平面 于 ．
14. 如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现中国文化阴阳转化、
(1)求证： // ；
对立统一的哲学理念.定义：图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为
(2)当 为 中点时，求点 到平面 的距离；
圆的一个“太极函数”，则下列命题正确的是 ．
①函数 ( ) = 可以同时是无数个圆的“太极函数”； (3)若平面 与平面 的夹角的余弦值为
5，求 的值．5
②函数 ( ) = ln(| |)可以是某个圆的“太极函数”；
③若函数 ( )是某个圆的“太极函数”，则函数 ( )的图象一定是中
心对称图形；
④对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个． 19.(本小题 15分)
15.若对任意 ∈ (0, +∞)，都有e + 2 ≥ 1 1 + 2ln ( 已知数列{ }的前 项和为 ，且 = 2 3 ( ∈ )．e 其中 为自然对数的底
(1)证明数列{ + 3}是等比数列，并求出数列{ }的通项公式；
数)恒成立，则实数 的最小值为_________．
(2)在 与 +1之间插入 个数，使得包括 与 +1在内的这 + 2个数成等差数列，其
三、解答题（本大题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1
16. ( 14 ) 公差为 ，求数列
{ }的前 项和 ．本小题 分
已知函数 ( ) = 2 3sin2 + 2 3，( ∈ )． 20.(本小题 16 分)已知函数 ( ) = + ln ．
(1) 求 ( 3 )的值； (1)讨论 ( )的单调性；
(2)求 ( )的单调递减区间及 ( )图象的对称轴方程． (2)若 ( 1) = ( 22) = 2( 1 ≠ 2)，证明： < 1 2 < .
第 2页答案和解析 单调性的考查，熟练掌握基础知识是解题的关键，属中档题．
3.【答案】 1.【答案】
【解析】解：∵全集 = ，集合 = { | ≤ 1}， 【解析】解：将函数 = 2 ( 3 ) cos( 6 + ) = sin( 3 ) = sin( 3 )的图象向右平
= { | 2 4 < 0} = { | 2 < < 2}， 移4单位，
∴ = { | > 1}，
= sin( 7 所得图象对应的函数的解析式为
∴ ( ) ∩ = { |1 < < 2} 4 3
) = sin( 12 )，
．
故所得函数的最小值为 1，
故选 B．
故选： ．
由全集 = ，集合 = { | ≤ 1}， = { | 2 4 < 0} = { | 2 < < 2}，先求出 ，
利用诱导公式化简函数的解析式，再利用函数 = ( + )的图象变换规律求得 ( )
再求( ) ∩ ．
的解析式，根据正弦函数的值域，得出结论．
本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．
本题主要考查诱导公式，函数 = ( + )的图象变换规律，正弦函数的值域，属于
基础题．
2.【答案】
2 2 2
【解析】解： = ln 64 2 3 =
( 2+ 3) 4 2 3 = ( 2 3) > 0，4 4 4.【答案】
∴ >
【解析】
而 2 > 6 > 0，
【分析】
∴ ln
22 2
4 >
ln 6，
4 本题考查函数图象的识别，一般从函数的奇偶性，单调性或特殊点处的函数值等方面着
即 > ， 手思考，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
因此 > > ， 由函数的定义域可排除选项A，根据函数的奇偶性可判断 ( )为奇函数，排除 ，再计算 ∈
故选 C． (0,5]时，函数的零点个数，即可得解．
根据 > > 0，因此要比较 ， 的大小，作差，通分，利用对数的运算性质， 【解答】
即可求得 ， 的大小；利用对数函数 = 的单调性，可知 2 > 6 > 0，然后利用不 解：由函数解析式可得， = 0不在定义域内，故 (0)无意义，排除选项 A；
等式的可乘性，即可得出 ， 的大小． 令 = ( ) = (1 + )( 1 )，
本题考查不等式比较大小，其中作差法是常用方法，以及对数的运算性质和对数函数的
第 3页
∵ ( ) = [1 + cos( )]( + 1 ) = (1 + )(
1
) = ( )，
∴ ( )为奇函数，故函数的图象关于原点对称，排除选项 B；
当 0 < ≤ 5时，令 = 0，则 = 1或 = 1，即 = 1或 = ，
所以，函数 = (1 + cos )( 1 )在(0,5]上有两个零点，排除选项 C．
故选： ．
因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，
所以 = 2 ，得 = 2 ，即 = = 2 ，
5.【答案】
所以 = 2 2 = 4 2 2 = 3 ，
【解析】
所以 = = 3 ，
【分析】
本题考查频率分布直方图和平均数、中位数、众数的计算，属基础题． 因为△ ∽△
= ，所以 3 ，所以 2 =
，
逐项进行分析判断即可得到答案． 得 = 3 ，3
【解答】
1
所以圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为 4 2： = 4 3
2：2 2 = 2：3．
解：通过频率分布直方图可看到成绩在 70分 80分的人的比重最大，所以人数也最多，
故选： ．
所以 A正确；
设圆锥的度面半径为 ，母线长为 ，圆锥的高为 ，内切球的半径为 ，则由题意可得 = 2 ，
不及格的人数为 4000 × 0.025 × 10 = 1000人，所以 B正确；
从而可求得 = 3 ，作出轴截面，如图，利用△ 与△ 相似可求出出 ，从而可求
根据公式算出平均分为 0.01 × 10 × 45 + 0.015 × 10 × 55 + 0.02 × 10 × 65 + 0.03 × 10 ×
出圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比．
75 + 0.015 × 10 × 85 + 0.01 × 10 × 95 = 70.5，故 C正确；
本题考查空间几何体的内切球问题，属中档题．
∵ 0.01 + 0.015 + 0.02 × 10 = 0.45 < 0.5，故中位数在 70 80 之间，设为 ，则 0.45 +
·0.03 = 0.5 5，解得 = 3，故中位数是 71.67，故 D错误； 7.【答案】
故选 D．
【解析】
【分析】
6.【答案】
本题主要考查椭圆的几何性质，属于中档题．
【解析】解：设圆锥的度面半径为 ，母线长为 ，圆锥的高为 ，内切球的半径为 ，其
根据题意，可得 3 = 3 (2 + )，即可得解．6
轴截面如图所示，设 为内切球的球心为 ，
第 4页
【解答】 ∵ = 9 3 = 18 3 27 3 ( 4 )1 11 也满足上式，4 5 20 9
解：依题意， ( , 0),∠ 1 2 = 120 ,
∴ = 18 3 27 3 4 1 ，
△ 5 20
( 9 )
由 1 2为等腰三角形，
∴ { }不构成等比数列，故 C错误；
可得 2 = 1 2 = 2 ，
由上， = 10 3，8 18 3 8过 作 ⊥ 轴， 3 3 5 1 = ，∴ 1 ≤ 3 < 5 1，故 B正确．5
可知∠ 2 = 60°， 故选： ．
所以 2 = , = 3 , (2 , 3 )， 根据已知条件写出 ， ， 的通项公式，且 ≥ 2时，
3 2
1 = 1 ( 4 )，应用
因为 =
3，
6 累加法求出 ，由此能判断各命题的对错．
所以 所在直线方程可设为 0 = 36 ( + )，
本题考查命题真假的判断，考查简单的归纳推理、等比数列的性质等基础知识，考查运
算求解能力，是中档题．
所以 3 = 36 (2 + )，
可得： = = 1 4， 9.【答案】
故选 A． 【解析】
8.【答案】 【分析】
1 1
【解析】解：根据题意得： = ( ) 1 = ( ) 2， 本题考查了函数的奇偶性，不等式恒成立问题，利用导数来研究函数的单调性，属于中 1 3 3
档题．
= 4 1 = 3 4 1 4， = = 9 ( ) 1 1 3 ，
依题意，易得 ( ) = ( )，当 ≥ 0时，恒有 ′2 ( ) + ( ) 0，可知
2 ′( ) + 2 ( ) ≤ 0，
∴ 1 2565 = 27 , 5 = 9 ，故 A错误；
又 ( ) = 2 ( )，对函数 ( )进行求导，利用导数来研究该函数的单调性，进而得到| | >
= 11 2 ×
2
1 60° =
9 3，
4 |1 2 |，解得不等式，即可得出答案．
当 ≥ 2时， = ( 3 2) = 3 4 2 3 ( 1 ) 2 = 3 3 4 2 【解答】 1 1 4 4 9 4 ( ) ，故 D错误；9
解：∵定义在 上的偶函数 ( )，
∴ = 1 + ( 2 1) + ( 3 2) + + ( 1)
∴ ( ) = ( )，
= 9 3 3 3 4 4 2 4 24 + 4 [1 + 9 + ( 9 ) + + ( 9 ) ]
∵当 ≥ 0 时，恒有 ′( ) + ( ) 0，
= 18 3 27 3 ( 4
2
1，
5 20 9 ) ∴ 2 ′( ) + 2 ( ) ≤ 0，
第 5页
∵ ( ) = 2 ( )， 故答案为：8
∴当 ≥ 0时， ′( ) = 2 ( ) + 2 ′( ) ≤ 0， 由题得(1 + 2) = 81，所以 = 4，再利用二项式展开式的通项求常数项得解．
∴ ( )在[0, +∞)上单调递减， 本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查
∵ ( )是偶函数， 学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力，属中档题．
∴ ( )是偶函数，
∴ ( )在( ∞, 0)上单调递增， 12.【答案】0.79
∵ ( ) < (1 2 )， 【解析】
∴ | | > |1 2 |，∴ 3 2 4 + 1 < 0，即：( 1)(3 1) < 0， 【分析】
1
解得： < < 1， 本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属3
于基础题．
故选 A．
由甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，利用对
立事件概率计算公式列出方程，由此能求出 的最大值．
10.【答案】2
【解答】
【解析】解：|3 + 4 | = 32 + 42 = 5，
解：甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是 0.5，0.4，0.3， ，
|3+4 | = 5 = 5(1+2 )即 1 2 1 2 5 = 1 + 2 ， ∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，
故答案为：1 + 2 ．
∴ 1 (1 0.5)(1 0.4)(1 0.3) ≥ ，
由复数模的运算，结合复数的运算求解即可．
解得 ≤ 0.79．
本题考查了复数的模和复数的运算，属基础题．
∴ 的最大值是 0.79．
11.【答案】8 13.【答案】2 2 + 2 3
2
【解析】解：由题得(1 + 2) = 81，所以 = 4，二项展开式的通项为 3 4 +1 = 4( ) ( ) = 【解析】
4 4
2 ， 【分析】4 3
本题考查了利用基本不等式求最值，属于中档题，难度一般．
4 4
令 3 = 0，∴ = 1．
根据所求式子凑出定值，然后利用基本不等式求解．
所以常数项为 14 2 = 8． 【解答】
第 6页
2 + 3 2解： + + = + + +
3 2 2 2 2 0, 2 ≤ ≤ 0
+ + ， 对于③，取圆 + = 4 ，被函数 ( ) = , 0 < ≤ 2 平分
∵ > > 0， 周长和面积，而 ( )非对称，故③错误；
∴ + + 3 + ≥ 2 3，当且仅当 + = 3时取等号，
对于④，对于任意一个圆，过圆心的直线平分周长和面积，故④正确；
故答案为：①④
+ 2 ≥ 2 2，当且仅当 = 2时取等号，
根据所给定义，对各项逐个分析判断，即可得解．
+ = 3, =
3+ 2 ,
联立 解得 2 本题考查了三角函数，对数函数的图像和性质，考查了在分段函数的图像和性质．
= 2, = 3 22 ,
= 3+ 2 ,
∴当 2 时， + + + 3 + 2 ≥ 2 2 + 2 3， 15. 1【答案】
= 3 2 + 2
2 + 3 2
【解析】
即 + + 取得最小值 2 2 + 2 3．
【分析】
故答案为 2 2 + 2 3．
本题考查了导数的综合应用，不等式恒成立问题的求解，属于难题．
1将不等式进行等价转化为 + 2
1 + 2 对任意 > 0恒成立，构造函14.【答案】①④
( ) = 1 数 + 2ln ，则不等式转化为 (
) ≥ ( )对任意 > 0恒成立，利用导数确定
【解析】解：对于①，以 ( ) = 的零点为圆心，半径小于2的圆，
周长和面积都被 ( ) = 平分，故①正确； 函数 ( )的单调性，从而转化为 ≥
ln 对任意 > 0恒成立，构造 ( ) = ln ，利用导数研
对于②，由 ( ) = ln(| |)为偶函数，如图所示： 究函数 ( )的单调性，求解 ( )的最大值，即可得到 的取值范围，从而得到答案．
【解答】
解：∵对任意 ∈ (0, +∞)， + 2 1
1
+ 2
1 + 2 1等价于 + 2 ，
令 ( ) = 1 + 2ln ，
2
则 ′( ) = 1 + 1 + 2 = +2 +1 = +1
2
2 2 2 > 0
，
易得函数 ( )在(0, +∞)上单调递增，
由于其图像向上凸起，故而不可能平分圆的周长，故②错误； ∵ 1 + 2
1 + 2 等价于 (
) ≥ ( )，∴ ≥ ，
第 7页
则 ≥ ln ，即 ≥ ln ，令 ( ) = ln ，则 ′( ) = 1 ln ， 由正弦定理得 + =
2 2，即 2 + 2 2 = ，
2
2+ 2 2由余弦定理得 = = 1易得函数 ( )在(0, )上单调递增，在( , +∞)上单调递减， ，2 2
∴ ( ) ≤ ( ) = 1 ， ∵ 0 < < ，∴ =
2
3；
∴ ≥ 1 ， (2)在△ 中，∵ ( + ) =
13
14，
∴ 1实数 的最小值为 ． ∴ = [ ( + )] = ( + ) =
13
14 , = 1
2 = 3 3，14
1 ∵ = 7 = 故答案为： ． ，由正弦定理得 = 3，
又 = ( + ) = + = 5 3，14
16【. 答案】解：(Ⅰ)因为 ( ) = 2 3sin2 + 2 3 = 2 3 2 = 2 (2
∴△ 的面积 = 1 = 15 3．
2 4
3 )；
【解析】本题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是
∴ ( ) = 2 (2 × 3 3 3 ) = 3； 解本题的关键．
(Ⅱ) 令 + 2 ≤ 2 ≤ 3 + 2 ( ∈ ) 5 + ≤ ≤ 11 ，得 + ( ∈ )， (1)在△ 中，由题意得( + ) = ，利用正弦定理化简得到
2 + 2
2 3 2 12 12
2 = ，再由余弦定理得 = 1，根据 的范围即可确定 的值；
即函数 ( ) 5 11 的单调递减区间是[ 12 + , 12 + ]( ∈ )．
2
13 13 3 3
2 = + ( ∈ ) = + 5
(2)根据 ( + ) = 14，得到 = 14 , = ，由正弦定理得到 的值，再根据两令 ，得 143 2 2 12 ( ∈ )，
角和的正弦公式得到 sin 的值，进而利用三角形的面积公式即可求出△ 面积．
即为函数 ( )图象的对称轴方程．
【解析】本题结合三角恒等变换考查正弦型函数的对称轴与单调区间的求法，属于基础
18.【答案】(Ⅰ)证明：因为矩形 ，所以 // ，
题．
平面 ， 平面 ，
(Ⅰ)通过三角恒等变换，将原函数解析式变形为正弦型函数，进而求解．
所以 //平面 ．
(Ⅱ)借助正弦函数的对称轴与单调区间求解．
因为过 的平面交平面 于 ，
由线面平行性质定理，得 // ；
17.【答案】解：(1)在△ 中， + = ，
(Ⅱ)解：由平面 ⊥平面 其交线为 ， ⊥ 平面 ，
由 2( + ) + 2 2 = ，得( + ) = ，
所以 ⊥平面 ，
第 8页
又四边形 为矩形，所以以 为原点，以 、 、 为 ， ， 轴建立空间直角坐标 记平面 与平面 的夹角为 ，
系． 因为 ⊥平面 ，
所以 = |
2 5
|
| = | | =
|| | ，2× 1+(2 2 )2 5
解得 = 0或 2(舍去)．
即 = 0．
【解析】(Ⅰ)先证明线面平行，再由线面平行的性质定理可证；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，用向量法可解；
( Ⅲ)利用比值 设点 坐标，然后用向量法可得．
本题主要考查点面距离的求解，空间向量及其应用，直线与直线平行的证明等知识，属
于中等题．
由 = = 2， = = 1，得 (0,2,0), (0,1,2), (0, 32 , 1)， (1,0,0)， (1,2,0)， 19.【答案】解：(1)数列{ }的前 项和为 ，且 = 2 3 ( ∈ )①，
则 = (0,2,0), = ( 1, 32 , 1)， 当 = 1时， 1 = 1 = 2 1 3，解得 1 = 3，
设平面 法向量 = ( , , )， 当 ≥ 2时， 1 = 2 1 3( 1)②，
= 2 = 0 ① ②得： = 2 1 + 3，
则
，
= + 32 + = 0 整理得 + 3 = 2( 1 + 3)，
取 = 1得 = (1,0,1)． 故数列{ + 3}是以 6为首项，2为公比的等比数列，
= ( 1, 1,2) = |
| 1 2 1
因为 ，所以点 到平面 的距离 = = ； 则 + 3 = 6·2 ，| | 2 2
当 = 1时，上式也成立，
(Ⅲ)解：设 ( , , ) ，因为 = ，即 = ，
所以 = 3 × 2 3， ∈ ．
则 (0, + 1,2 2 )， = ( 1, + 1,2 2 )， (2)在 与 +1之间插入 个数，
设平面 法向量 = ( , , )， +1 3 2
故 = = ，
= 2 = 0 +1 +1
则 ， = + ( + 1) + (2 2 ) = 0 1 = +1 ( 1所以 ) ，
取 = 1得
3 2
= (2 2 , 0,1)
第 9页
= 1+1 1 + 2+1 ( 1 2 +1 1
2 2 ( )2
所以 3 2 3 2 ) + . . . + 3 ( 2 ) ①， 则 ′( ) = ′( ) + 2 ′( ) = ， 2 < 0
1 = 1+1 ( 1 )2 + 2+1所以 ( 1 )3 + . . . + +1 ( 1 ) +1②， 所以 ( )在(0, )上单调递减．2 3 2 3 2 3 2
因为 0 < < ，所以 > ( ) = 0，
1 2
1 1
① ②得：2 = 3 ×
1 + 12 3 × [(
1 2
2 ) + (
1
2 )
3 + . . . + ( 12 )
] +13 (
1 ) +12
(
2
所以 ) < 1 = ( 2).
1 1 1 1 (
1) 1 1 + 1 1
= + × × 23 3 4 1 3 ·(
+1
2 ) 21 又 ， 2 ∈ ( , +∞)，2 1
1 +3 2= 2 6 ·(
1 ) (1) 2 ， 由 得 < 2，即 1 2 >
2，得证．
1
+3 1
整理得 = 1 ( ) ． 再证 1 2 < ， 3 2
由(1)知， 是 ( )唯一极小值点，
【解析】本题考查了数列的递推关系，数列的通项公式的求法，错位相减法在数列求和
所以 ( )min = ( ) = ln + 1．
中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于较难题．
因为 ( 1) = ( 2) = 2，所以 ln + 1 < 2，即 0 < < ，(1)利用数列的递推关系式得到 ≥ 2时， = 2 1 + 3，即 + 3 = 2( 1 + 3)，结合等
所以 1 < ，
比数列的通项公式可得求出数列的通项公式；
(2)根据等差数列的通项公式求出 ，利用错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和． 要证 1 2 < ，即证 > 2， 1
又 ， 2 > ， ( )在( , + ∞)上单调递增，1
20.【答案】解：(1) ( ) 1 的定义域为(0, +∞)， ′( ) = 2 + = 2 ． 所以只要证 ( ) > (
1
2) = 2，即证
1
+ ln 1 > 0．1
① ≤ 0时， ′( ) > 0；
因为 + ln 1 = 2，所以 = 2 ln 1，
② > 0时，由 ′( ) > 0，得 > 1 1；
由 ′( ) < 0 0 < < ln = ln(2 ln )，得 ， 所以 1 ，1
所以当 ≤ 0时， ( )在(0, +∞)上单调递增； 所以即证 1 + ln(2 ln 1) 1 > 0．
当 > 0时， ( )在(0, )上单调递减，在( , +∞)上单调递增．
设 ( ) = + ln(2 ln ) 1(0 < < )，
(2)由(1)，可知 > 0， ( )在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增，
1 1
不妨设 0 < < < ， 则 ′( ) = +1 2 (ln 2)
先证 1 2 > 2． 设 ( ) = (ln 2)(0 < < )
2
设 ( ) = ( ) ( )(0 < < )，
则 ′( ) = ln 1 < 0，
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所以 ( )在(0, )上单调递减，
所以 = ( ) < < 0，
′( ) = 1 + 1所以 ( ) <
1 1 = 0，
所以 ( )在(0, )上单调递减，
所以 ( ) > ( ) = 0，即 + ln(2 ln ) 1 > 0，
所以 1 + ln(2 ln 1) 1 > 0，得证．
所以 2 < 1 2 < e．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性及单调性的应用。属于较难题．
(1) 求得 ′( ) = 2 ，对 分类讨论： ≤ 0及 > 0，结合导数的正负，即可判断函数的单
调性;
2
(2)设 0 < 1 < < 2，先证 1 2 > 2，构造函数 ( ) = ( ) (
)(0 < < )，结合 ( )
及 ( )的单调性即可证明；再证 1 2 < ，由(1)，将问题转化为证 > 2，结合 ( )的单1
调性，转化为证 1 + ln(2 ln ) 1 > 0
1 ，设 ( ) = + ln(2 ln ) 1(0 < < )，结合 ( )
的单调性即可证明．
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