新疆乌鲁木齐市第135中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题（Word版含答案）

乌鲁木齐市第135中学2022-2023学年高三上学期期中考试
数学试卷
总分150分 考试时间120分钟
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知（i是虚数单位），那么复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．四 B．三 C．二 D．一
3．已知正方形的边长为6，在边上且，为的中点，则
A．-6 B．12 C．6 D．-12
4．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．现有四名学生分别统计全部选手的总得分为55分，56分，57分，58分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有（ ）
A．6位 B．7位 C．8位 D．9位
6．已知函数是上的偶函数，且图像关于直线对称，且在区间上是单调函数，则
A． B． C．或 D．
7．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，g(x)＝－x2＋2bx－4，若对任意的x1∈(0，2)，任意的x2∈[1，2]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数b的取值范围是(　　)
A． B．(1，＋∞) C． D．
二、多选题
9．在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．若点在平面内，则必存在实数，使得
B．直线与所成角的余弦值为
C．点到直线的距离为
D．存在实数、使得
10．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则的图象在点处的切线方程为
B．存在实数a，使得在上单调递增
C．若，则
D．若，则
11．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线交抛物线于、两点，则（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．线段的中点在直线上
C．若，则的面积为
D．以线段为直径的圆一定与轴相切
12．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．在的展开式中,含的项的系数是_________.
14．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，则两圆有________条公切线．
15．已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为___________.
16．已知椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆C于A，B两点，若，且的三边长、、成等差数列，则C的离心率为___________．
四、解答题
17．已知等差数列中，为数列的前项和，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
18．已知函数，在中，，且的面积为．
（1）求的值；（2）求的值．
19．如图，正三棱柱中，，点，分别为，的中点.
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值.
20．在一次恶劣气候的飞行航程中调查男女乘客在飞机上晕机的情况，共调查了89位乘客，其中男乘客有24人晕机，31人不晕机；女乘客有8人晕机，26人不晕机
（1）根据此材料数据完成如下的2×2列联表；
晕机 不晕机 总计
男人
女人
总计
（2）根据列联表，利用下列公式和数据分析，你是否有90%的把握认为在本次飞机飞行中晕机与性别有关？
（3）其中8名晕机的女乘客中有5名是常坐飞机的乘客，另外3名是不常坐飞机的，从这8名乘客中任选3名，这3名乘客不都是常坐飞机的概率是多少？
参考数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
参考公式：，其中
21．已知双曲线的两条渐近线分别为.
（1）求双曲线的离心率；
（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.
22．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
答案解析：
1．D
【解析】先求出集合A，B，然后进行交集的运算即可.
【详解】因为，由得集合或；
∴.
故选：D.
2．D
【分析】先通过复数的四则运算求出z，再算出，进而利用复数的几何意义即可得到答案.
【详解】,所以，所以在复平面内对应的点在第一象限.
故选：D.
3．A
【分析】以向量为基底，将用基底表示，结合向量数量积的运算律，即可求解.
【详解】由在边上且，为的中点，
，
，
.
故选：A.
【点睛】本题考查向量基本定理以及向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.
4．B
【分析】根据三视图可得该几何体为一圆台的一半，然后进行计算可得答案.
【详解】根据三视图可得该几何体为一圆台的一半，
对应圆台的上底面半径，下底面半径，高，
则该几何体的体积.
故答案为：B.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是由三视图确定直观图的形状，再利用相应的体积公式求解即可，属于简单题．
5．C
【分析】设参赛选手共有位，则总场次为，由每场得分为2，即总得分只能为偶数，结合题设列方程求n值，并判断n值的合理性即可.
【详解】设参赛选手共有位，则总比赛场次为，即场，且，，
由题意知：任意一场比赛结束，选手的总得分为2分，
故所有选手总得分为分且为偶数，
∴当，得；当，无整数解，
∴(位).
故选：C.
6．D
【详解】分析：由函数是上的偶函数，求得，由图象关于直线对称，且在区间上是单调函数，求得.
详解：在上是偶函数，
，，
图象关于对称，，
又在上是单调函数，，
只有时，符合题意，故选D.
点睛：已知的奇偶性求时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答：（1）时，是奇函数；（2） 时，是偶函数.
7．B
【分析】需要做差，构造函数，判断所构造的函数的符号即可.
【详解】解析：因为，所以；
又
构造，
则
因为， ，
由于函数 的分母为正数，此时只需要判断分子的符号，
设
则在R上递增，，即当 时， 的分子总是正数，
，
，即，
应用排除法，
故选：B.
8．A
【分析】由题意不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，可转化为f（x）min≥g（x）max
【详解】依题意，问题等价于f(x1)min≥g(x2)max. x1∈(0，2) ，x2∈[1，2]
(x＞0)，
所以.
由f ′(x)＞0，解得1＜x＜3，故函数f(x)的单调递增区间是(1，3)，
同理得f(x)的单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，
x＝1是函数f(x)的极小值点，所以在(0，2)上f(x1)min＝f(1)＝－.
函数g(x2)＝－＋2bx2－4，x2∈[1，2].
当b＜1时，g(x2)max＝g(1)＝2b－5；
当1≤b≤2时，g(x2)max＝g(b)＝b2－4；
当b＞2时，g(x2)max＝g(2)＝4b－8.
故问题等价于
或或
解第一个不等式组得b＜1，
解第二个不等式组得1≤b≤，
第三个不等式组无解.
综上所述，b的取值范围是.
故选A.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性、求函数最值问题．恒成立问题常转化为函数最值问题或分离参数后再求最值.
9．BCD
【分析】根据空间向量共面定理，异面直线夹角和点到直线距离的求解方法，以及线面平行的判定定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：若三点共线，则不存在实数，使得，故A错误；
对B：取的中点为，连接，如下所示：
在三角形中，分别为的中点，故可得//，
在三角形中，分别为的中点，故可得//，
则//，故直线所成的角即为或其补角；
在三角形中，，
，
由余弦定理可得：，
即直线与所成角的余弦值为，故B正确；
对C：连接如下图所示：
在三角形中，，
，，
故点到直线的距离即为三角形中边上的高，设其为，
则.故C正确；
对D：记的中点为，连接，如下所示：
由B选项所证，//，又面面，故//面；
易知//，又面面，故//面，
又面，故平面//面，
又面，故可得//面，
故存在实数、使得，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中四点共面、线面平行、线线角，以及点到直线距离的求解，处理问题的关键是准确把握本题中向量的表达形式，属综合基础题.
10．AC
【分析】A选项结合导数的几何意义求出在处的切线方程即可判断；B选项求导，根据导函数的正负情况即可判断；C、D选项求出函数的最值，解不等式即可判断.
【详解】因为，所以，所以的图象在点处的切线方程为，A正确．因为，所以不单调，B错误．令，解得．当时，单调递减；当时，单调递增．所以，解得，故C正确，D错误.
故选：AC．
11．BCD
【分析】根据抛物线的标准方程与准线方程的关系可判断A选项的正误；利用点差法可判断B选项的正误；利用弦长公式以及三角形的面积公式可判断C选项的正误；利用抛物线的焦半径公式可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，抛物线的准线方程为，A错；
对于B选项，设点、，设线段的中点为，
则，两式作差得，可得，
所以，，故，B对；
对于C选项，设直线的方程为，联立，可得，
，解得，由韦达定理可得，，
，解得，
点到直线的距离为，故，C对；
对于D选项，设线段的中点为，则，
由抛物线的定义可得，即等于点到轴距离的两倍，
所以，以线段为直径的圆一定与轴相切，D对.
故选：BCD.
12．BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
13．
【分析】求出展开式的的系数，从而可得结果.
【详解】展开式的通项公式，
所以展开式的的系数分别为
，
展开式中的系数为，
故答案为.
【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
14．2
【分析】判断出两圆的位置关系，可得公切线条数．
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆标准方程为，圆心为，半径为，又，故，两圆相交，公切线有2条．
故答案为2．
【点睛】两圆内含时无公切线，内线时有一条公切线，相交时有两条公切线，外切时有三条公切线，相离时有4条公切线．
15．2
【分析】分析可得不是切点，设切点，根据导数的几何意义，求得切线的斜率k，根据点P和点坐标，可求得切线斜率k，联立即可得答案.
【详解】∵点不在函数的图象上，∴点不是切点，
设切点为（），
由，可得，
则切线的斜率，
∴，
解得或，故切线有2条.
故答案为：2
16．
【分析】由已知，设，，，据勾股定理有；由椭圆定义知的周长为4a，由勾股定理，，可得选项.
【详解】由已知，设，，，所以根据勾股定理有，解得；
由椭圆定义知，所以的周长为4a，所以有，；
在直角中，由勾股定理，，∴离心率．
故答案为：.
【点睛】本题考查椭圆离心率，椭圆的定义，重在对问题的分析，抓住细节，同时考查计算能力，属于中档题.
17．（1）；（2）.
【解析】（1）由已知列方程求出首项和公差，可得答案；
（2）求出及的通项公式，由裂项相消求和可得答案.
【详解】（1）∵①，②
由①②得，．
∴；
（2）由（1）知，，
；
∴，
∴.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、数列求和，解题关键点是求出数列的首项和公差以及裂项相消求和，考查了学生的基础知识、基本运算.
18．（1）（2）
【分析】（1）中将三角函数化简后代入可求得C的大小，求解时要注意C的范围，正确取值.
（2）由面积公式及余弦定理得到关于的关系式，从而解得两边大小，再利用正弦定理，利用两边求得得值.
【详解】（1）
由，得，
∵

.
（2）由（1）知，又∵
∴
∴
由余弦定理得
∴ ,
由正弦定理得
∴.
19．（1）；（2）.
【分析】（1）建立空间坐标系，求出平面的法向量，则到平面的距离为；
（2）求出平面的法向量，计算，的夹角得出二面角的大小.
【详解】解：（1）取的中点，连结，则平面，
是等边三角形，，
以为原点，分别以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，，，，0，，，，，，0，，
，，，，0，，，0，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得，0，，
点到平面的距离为.
（2），，，，0，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得，，，
，，
二面角的余弦值为.
【点睛】关键点睛：（1）解题关键是建立空间坐标系，求出平面的法向量，进而用公式求解；（2）解题关键是设平面的法向量为，，，则，求出后，利用公式求解二面角的余弦值，难度属于中档题
20．（1）表格见解析；（2）有90%的把握认为在本次飞机飞行中晕机与性别有关；（3）
【分析】(1)根据已知 填入2×2列联表；（2）结合列联表数据代入公式，计算出的值，与独立性检验判断表比较作出判断.
（3）利用古典概型概率公式求出3名乘客都是常坐飞机的概率，再用求解.
【详解】(1)由已知数据列出2×2列联表.
晕机 不晕机 总计
男人 24 31 55
女人 8 26 34
总计 32 57 89
（2）根据公式.
由于，我们有90%的把握认为在本次飞机飞行中晕机与性别有关.
(3)设A表示3名乘客不都是常坐飞机，
则基本事件总数为：,含有基本事件个数为：
∴，3名乘客不都是常坐飞机的概率为.
【点睛】本题考查独立性检验及古典概型的概率. 解决古典概型实际问题的步骤:
（1）判断是否是古典概型，（2）列举或计算基本事件总数和所求基本事件数（3）用古典概型的概率公式计算
21．(1) ;(2)存在
【详解】试题分析：(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.
(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.
试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.
(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.
当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.
若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.
设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则，记.由,得,同理得.由得, 即.
由得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.
因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.
考点：1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.
22．（1）；（2）.
【分析】（1）求得时，的解析式，求得导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程；
（2）化简方程，令，求得导数，讨论，时，的单调性，可得最小值，解不等式可得所求范围．
【详解】解：（1）当时，，则，
，，
所以方程为，即，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）由，可得．
令，则，
令，解得，．
①当时，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
所以，由，解得，所以．
②当时，则，
显然在，，单调递减；在上，，单调递增．
故函数在处取得最小值，且，
因为，所以，符合条件，故．
综上，实数的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：本题目的是方程有解问题，其关键点是利用导数求导后，对参数分类讨论，利用函数的单调性求得函数的最小值，利用最小值小于零求解.