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整式的乘法与因式分解
14.1整式的乘法
14.1.1同底数幂的乘法
同底数幂的乘法
文字语言:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
符号语言:am·an=am+n(m、n都是正整数).
推广运用
拓展：am·an·ap=am+n+p(m、n、p都是正整数).
逆用：am+n=am·an(m、n都是正整数).
[命题角度1]利用同底数幂的乘法性质进行计算
解答本类题的关键是掌握同底数幂的乘法性质.此类题属于各类考试基础题型,除直接考查外,一般还多与后续要学习的幂的乘方、积的乘方、整式的运算等知识结合综合考查.
【类型一】 底数为单项式的同底数幂的乘法
计算: (1)m3·m5； (2)a2·a6·a； (3)-x5·(-x)7；
【解析】：(1)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(2)先算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(3)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：(1)m3·m5=m3+5=m8.
(2)a2·a6·a=a2+6+1=a9.
(3)-x5·(-x)7=-x5·(-x7)=x5+7=x12.
【方法总结】：同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1
【类型二】 底数为多项式的同底数幂的乘法
例2、计算：
(1)(2a＋b)2n+1·(2a＋b)3·(2a＋b)n-4；
(2)(x－y)2·(y－x)5；
(3)(m-n)·(n-m)2·(n-m)3。
【解析】：将底数看成一个整体进行计算．
【解答】解：(1)(2a＋b)2n+1·(2a＋b)3·(2a＋b)n-4＝(2a＋b)(2n+1)+3+(n-4)＝(2a＋b)3n；
(2)(x－y)2·(y－x)5＝－(x－y)2·(x－y)5＝－(x－y)7；
(3)(m-n)·(n-m)2·(n-m)3=(m-n)·(m-n)2·[-(m-n)3]=-(m-n)1+2+3=-(m-n)6。
【方法总结】：底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再计算．
①当n是正偶数时,(a-b)n=(b-a)n；②当n是正奇数时,(a-b)n=-(b-a)n。
【类型三】 利用同底数幂的乘法探究指数的关系
例3、已知2a＝3，2b＝6，2c＝18，试问a、b、c之间有怎样的关系？请说明理由．
【解析】：观察题目的已知可以发现3×6＝18，利用同底数幂相乘，底数不变指数相加解答．
【解答】解：∵3×6＝18，∴2a·2b＝2a＋b＝2c，∴a＋b＝c.
【方法总结】：解答此类问题就是利用同底数幂的乘法，将等式两边转化为底数相同的形式，然后让指数相等解答．
【类型四】 同底数幂的乘法的实际应用
例4、经济发展和消费需求的增长促进了房地产的发展，使得房价持续上涨，2015年前5个月，某市共销售商品房8.31×104平方米．据监测，商品房平均售价为每平方米4.7×103元，2015年前5个月该市的商品房销售总额是多少元？
【解析】：先根据题意列出算式计算即可．
【解答】解：8.31×104×4.7×103＝(8.31×4.7)×(104×103)＝3.9057×108(元)．
答：2015年前5个月该市的商品房销售总额是3.9057×108(元)．
【方法总结】：本题考查了同底数幂的乘法的应用，关键是根据题意得出算式，注意结果要用科学记数法表示．
[命题角度2] 逆用性质am·an=am+n,即am+n=am·an
由于同底数幂的乘法性质是“底数不变,指数相加”,因此当一个幂的指数中含有加法运算时,可逆用同底数幂的乘法性质。
【类型一】 运用同底数幂的乘法，求代数式的值
例5、(1)已知2m=3,2n=5,求2m+n+3的值.
(2)已知am＝3，an＝21，求am＋n的值.
(3)若82a＋3·8b－2＝810，求2a＋b的值．
【解析】：根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得指数的关系，根据指数的关系求解．
【解答】解：(1)2m+n+3=2m·2n·23=3×5×8=120.
(2)∵am＝3，an＝21，∴am＋n＝am×an＝3×21＝63.
(3)∵82a+3·8b-2＝82a+3+b-2＝810，∴2a＋3＋b－2＝10，解得2a＋b＝9.
【方法总结】：逆用同底数幂的乘法法则运算时要注意:
(1)转化过程中要保持同底数的幂相乘；
(2)解题时要注意整体思想的应用；
(3)同底数幂的乘法不要和整式的加减法则相混淆。
1、下列各式中,计算过程正确的是( D )。
A.x3+x3=x3+3=x6 B.x3·x3=2x3=x6 C.x·x3·x5=x0+3+5=x8 D.x2·(-x)3=-x2+3=-x5
2、a16可以写为( D )。
A.a2·a8 B.a8+a8 C.a4·a4 D.a8·a8
3、下列各式中,不能用同底数幂的乘法法则化简的是( B )。
A.(x-y)(x-y)2 B.(x+y)(x-y)2 C.(x-y)(y-x)2 D.(x-y)(y-x)2(x-y)2
4、若3×32m×33m=311,则m的值为( A )。
A.2 B.3 C.4 D.5
5、(-x) (-x)8 (-x)3=（ C ）。
A．(-x)11 B．(-x)24 C．x12 D．-x12
6、电子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作为单位,其中1 GB=210 MB,1 MB=210 KB,1 KB=210B.某视频文件的大小约为1 GB,1 GB等于( A )。
A.230 B B.830 B C.8×1010 B D.2×1030 B
（1）若am=3，an=4，则am+n= 12
计算a6 a2的结果是 a8 。
8、计算
（1）(2m-n)·(n-2m)2·(n-2m)3·(2m-n)4
（2）a4·(-a)3-(-a)2(-a)5
（3）(x-y)·(y-x)2·(x-y)3
解：(1)(2m-n)·(n-2m)2·(n-2m)3·(2m-n)4
=-(2m-n)·(2m-n)2·(2m-n)3·(2m-n)4=-(2m-n)10.
(2)a4·(-a)3-(-a)2(-a)5=-a7-(-a7)=-a7+a7=0.
(3)(x-y)·(y-x)2·(x-y)3=(x-y)·(x-y)2·(x-y)3=(x-y)6
9、我们约定:a b=10a×10b,例如4 5=104×105=109。
(1)试求(3 5)×(3 17)的值；
(2)猜想:a b与b a的运算结果是否相等 说明理由。
解:(1)(3 5)×(3 17)=(103×105)×(103×1017)=108×1020=1028.
(2)a b与b a的运算结果相等.理由如下:
∵a b=10a×10b=10a+b,b a=10b×10a=10b+a,
∴a b=b a.
10、若x+2y-4=0,则22y·的值等于 4 。
11、已知x6-a·x2b+1=x11,ya-1·y4-b=y5,求a+b-4的值。
解:∵ x6-a·x2b+1=x11,ya-1·y4-b=y5,
∴ x6-a+2b+1=x11,ya-1+4-b=y5.
∴
解得
∴a+b-4=8+6-4=10.
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14.1整式的乘法
14.1.1同底数幂的乘法
同底数幂的乘法
文字语言:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
符号语言:am·an=am+n(m、n都是正整数).
推广运用
拓展：am·an·ap=am+n+p(m、n、p都是正整数).
逆用：am+n=am·an(m、n都是正整数).
[命题角度1]利用同底数幂的乘法性质进行计算
解答本类题的关键是掌握同底数幂的乘法性质.此类题属于各类考试基础题型,除直接考查外,一般还多与后续要学习的幂的乘方、积的乘方、整式的运算等知识结合综合考查.
【类型一】 底数为单项式的同底数幂的乘法
计算: (1)m3·m5； (2)a2·a6·a； (3)-x5·(-x)7；
【类型二】 底数为多项式的同底数幂的乘法
例2、计算：
(1)(2a＋b)2n+1·(2a＋b)3·(2a＋b)n-4；
(2)(x－y)2·(y－x)5；
(3)(m-n)·(n-m)2·(n-m)3。
【类型三】 利用同底数幂的乘法探究指数的关系
例3、已知2a＝3，2b＝6，2c＝18，试问a、b、c之间有怎样的关系？请说明理由．
【类型四】 同底数幂的乘法的实际应用
例4、经济发展和消费需求的增长促进了房地产的发展，使得房价持续上涨，2015年前5个月，某市共销售商品房8.31×104平方米．据监测，商品房平均售价为每平方米4.7×103元，2015年前5个月该市的商品房销售总额是多少元？
[命题角度2] 逆用性质am·an=am+n,即am+n=am·an
由于同底数幂的乘法性质是“底数不变,指数相加”,因此当一个幂的指数中含有加法运算时,可逆用同底数幂的乘法性质。
【类型一】 运用同底数幂的乘法，求代数式的值
例5、(1)已知2m=3,2n=5,求2m+n+3的值.
(2)已知am＝3，an＝21，求am＋n的值.
(3)若82a＋3·8b－2＝810，求2a＋b的值．
1、下列各式中,计算过程正确的是( )。
A.x3+x3=x3+3=x6 B.x3·x3=2x3=x6 C.x·x3·x5=x0+3+5=x8 D.x2·(-x)3=-x2+3=-x5
2、a16可以写为( )。
A.a2·a8 B.a8+a8 C.a4·a4 D.a8·a8
3、下列各式中,不能用同底数幂的乘法法则化简的是( )。
A.(x-y)(x-y)2 B.(x+y)(x-y)2 C.(x-y)(y-x)2 D.(x-y)(y-x)2(x-y)2
4、若3×32m×33m=311,则m的值为( )。
A.2 B.3 C.4 D.5
5、(-x) (-x)8 (-x)3=（ ）。
A．(-x)11 B．(-x)24 C．x12 D．-x12
6、电子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作为单位,其中1 GB=210 MB,1 MB=210 KB,1 KB=210B.某视频文件的大小约为1 GB,1 GB等于( )。
A.230 B B.830 B C.8×1010 B D.2×1030 B
（1）若am=3，an=4，则am+n= 。
（2）计算a6 a2的结果是 。
8、计算
（1）(2m-n)·(n-2m)2·(n-2m)3·(2m-n)4
（2）a4·(-a)3-(-a)2(-a)5
（3）(x-y)·(y-x)2·(x-y)3
9、我们约定:a b=10a×10b,例如4 5=104×105=109。
(1)试求(3 5)×(3 17)的值；
(2)猜想:a b与b a的运算结果是否相等 说明理由。
10、若x+2y-4=0,则22y·的值等于 。
11、已知x6-a·x2b+1=x11，ya-1·y4-b=y5，求a+b-4的值。
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