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2022一2023学年高三上学期期中考试
数学试题
证单的（生）1心()
本试卷共4页，22题，全卷满分150分。考试用时120分钟。
(代S).
注意事项：
1,答卷前，考生务必将自己的姓名、座号、考试号填写在答题卡上。{。五
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
,2四页n洁阳，心)校这：面不
.S
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|-1≤x≤1)，B={x|x2-2x≤0，x∈Z},则AQB=与
A.{0,1}
B.[-1,2]
C.[0,1]
D.{-1,0,1,2}
2.已知点0是平面内任意一点，则“存在t∈R,使得OC=(1上)OA+tO”是“A,B,C
三点共线”的
9· 9意日拉：5面()
A.充分不必要条件
B必要不充分条件平(.)，塘函的(C
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.已知等比数列{an},a3a1oa1 =8,则a10=
A.1
B.2
C.4
D.8
4.三角形的三边分别为a,b,c,秦九韶公式S-√2-十
和海伦公式
2
S=√pp-a)p-b)p-C)(力=a++C)是等价的，都是用来求三角形的面积，印
2
度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中，给出若四边形的四边分别为
a,b,c,d,则S=√p-a)(的-b)p-c(p-d)-abcd cos0(p=a+b↓c+d,0
2
为一组对角和的一半).已知四边形四条边长分别为3,4,5,6，则四边形最大面积为
A.21
B.410
C.105
D.6√10
5.已知0为第三象限角，sin0一cos0=一
,则cos9(1-2sin20)
1
sin0+cose
A-
B.3
c爱
4
0.26
高三数学试题：第1页（共4页）
可日
0000000
6.函数f(x)=一e3x十2ex的图象大致为
。然共，代己心法，小↓共盟本：疆空就，三
,S)D联5.8
函快S.
A
B
D
7.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b二6，c二4，点0为外心，则
AO.BC=
A.-20
、)梁成.
1.}暖落.8
B.-10
C.10.1)
D.20
8.设方程e十x十e=0和lnx十x十e=0的根分别为力和q,函数f(x)=e+（力十g)x,则
Af(宁)Bf(导)之武时见红游馆【.D
C.f(径)共腿本：國答聊，四
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。(》西
9.方程√3sin2x十cos2x=2在区间[0,2π]上有解，则解可能为i小疑始()1来(I)
A.
清尘新B,行租1袋周#评，C,石平向共D
2π
7π
5
「)1=部(
10已知等差数列a】,前n吸和为5.，@之0，器-1，则下列结论正确的是，
A.a2022>0
B.Sm的最大值为S2023
C.|am|的最小值为a2o2z
D.S4o44<0
(代3).8
11.已知a>0,b>0,2a+b=1,则下列不等式一定成立的是
A+≥9
“品其，氏爱弹的五六出含虽
B.b≤1发民爱送w要{}联口
a
0·[十0=0，{=：0=1m
ca2+82≥号
D.V2a+√6≤√2{d}·{,}藏果(I)
l2.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且tan(A十B)(1-tanAtanB)=
√5c
:闻闻长兰，
,则下列结论正确的是
acosB
AA=若
(s1).o1
C)s自·力。d,民眼设暗该两门·日·6武内，中门8A
B.若6-c=
3a,则△ABC为直角三角形
；8n龙=A6:分()
C,若△ABC面积为1，则三条高乘积平方的最大值为3√3
.日农，=店一g(
D,若D为边BC上一点，且AD=1,BD:DC=2c:b,则2b十c的最小值为9y7
7
高三数学试题第2页如（共4页）
可日
0000000绝密★启用并使用完毕前
２０２２－２０２３学年高三上学期期中考试
数学试题参考答案 2022.11
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B D B A C B
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
题号 9 10 11 12
答案 AC ACD BCD CD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分．
3 10
13. 14. 1,2 4, 15. 68 16. , 22023 1
5 3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
解析：（1） f (x) 1 cos 2x 3 sin 2x ····································································· 2 分
π
2sin(2x ) 1 ············································································· 4 分
6
所以T 2π
2 ····················································································· 5 分
（2）将 y f (x) π 向右平移 个单位得到 y 2sin(2x ) 1 ·····································6 分
6 6
1
再将图象上所有点的横坐标缩短到原来 倍（纵坐标不变），
2
得到 y 2sin(4x ) 1 ，所以 g(x) 2sin(4x ) 1 ····································7 分
6 6
由 4x k (k Z) k ，得 x (k Z) ，
6 2 6 4
g(x) k 所以 对称轴为 x (k Z) ··························································10 分
6 4
18．（12 分）
解析：（1）设数列 an 的公差为 d，数列 bn 的公比为 q (q 0) ，
高三数学试题 第 1页 共 7页
a1 d b1q 1 ,
由题意可得 ·························································· 2 分
a
2
1 3d b1(1 q q ),
d q ,
即为
q2 q 3d ,
所以 q2 2q q(q 2) 0，
因为 q 0，所以 q d 2，···································································· 4 分
所以 an 2n 1, b 2
n 1, n n ．···························································· 6 分
2n 1 , 当n为奇数时 ,
（2）由（1）可得 cn
2n 1 , 当n为偶数时．
所以数列 cn 的奇数项是以1为首项， 4 为公差的等差数列，
数列 cn 的偶数项是以 2 为首项， 4 为公比的等比数列，···························· 8 分
且 cn 前 11 项中有 6 项奇数项，5 项偶数项，
T 6 1 6(6 1) 4 2(1 4
5 )
所以 11 ························································· 10 分2 1 4
211 196
748.······································································· 12 分
3
19．（12 分）
解析：（1）法 1：
由 2(acosB bcos A) c，
得 2(sin AcosB sin Bcos A) sinC ，··················································1 分
因为 A B C ，
所以 sinC sin(A B) ,
则 2(sin AcosB sin Bcos A) sin AcosB sin Bcos A，····························· 3 分
所以 sin AcosB 3sin Bcos A，··························································· 4 分
ABC A B 因为 中 和 都不能为 ，
2
sin A sin B
所以 3 ，······································································· 5 分
cos A cosB
所以 tan A 3tan B ··········································································· 6 分
法 2：
由射影定理 a cosB bcos A c ，代入，
得 2(acosB bcos A) acosB bcos A ··················································1 分
即 a cosB 3bcos A ·········································································· 3 分
所以 sin AcosB 3sin Bcos A，··························································· 4 分
因为 ABC 中 A和 B都不能为 ，
2
高三数学试题 第 2页 共 7页
sin A
所以 3 sin B ，······································································· 5 分
cos A cosB
所以 tan A 3tan B ··········································································· 6 分
（2）法 1：
2 2 2 2 2 2
由 cosB a c b ， cos A b c a ，代入（2 acosB bcos A) c
2ac 2bc
得 2(a2 b2 ) c2 ，···········································································7 分
因为 a2 b2 bc，所以 2bc c2 ，即 2b c，········································ 9 分
代入 a2 b2 bc或 2(a2 b2 ) c2 ，
3
得 a c2 ，·················································································· 10 分
3 2 2 1 2
a2 c2 b2 ( c) c ( c)cosB 2 2 3由余弦定理， 2ac 2 ，
2 3 c c
2
B π所以
6 ····················································································· 12 分
法 2：
a2 c2cosB b
2 2 2 2
由 ， cos A b c a ，代入（2 acosB bcos A) c
2ac 2bc
得 2(a2 b2 ) c2 ，···········································································7 分
因为 a2 b2 bc，所以 2bc c2 ，
即 2b c，即 2sin B sinC ································································9 分
由（1）知， sin AcosB 3sin Bcos A，
而 2sin B sinC sin(A B）=sin AcosB sin Bcos A，上式代入，
得 2sin B 4sin Bcos A，
cos A 1 π所以 ，所以 A ，·····························································10 分
2 3
由 tan A 3tan B 知， tan B 3 ，
3
π
所以 B ····················································································· 12 分
6
法 3：
由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cosA，代入 a2 b2 bc，
得 c2 2bc cos A bc，···································································· 7 分
所以 c 2bcos A b，
所以 sinC 2sin Bcos A sin B ，·························································8 分
即 sin(A B) 2sin Bcos A sin B ，
即 sin AcosB sin Bcos A sin B，
高三数学试题 第 3页 共 7页
即 sin(A B) sin B，······································································· 9 分
所以 A 2B或 A B B，
因为 A 0, ，所以 A 2B ······························································ 10 分
代入 tan A 3tan B 2 tan B， tan A tan 2B 3tan B ，
1 tan 2 B
因为 tan B 0，所以 tan2 B 1 ，
3
因为 tan A , tan B同号，所以 tan B 0 ，
所以 tan B 3 ，
3
因为 B (0 , ) ，所以 B ····························································12 分
6
法 4：
2 2 2 2 2 2
由 cosB a c b ， cos A b c a ，代入（2 acosB bcos A) c
2ac 2bc
a2 b2 1得 c2 ，············································································ 7 分
2
因为 2(acosB bcos A) c，
1
所以 a2 b2 c2 c(a cosB b cosA) bc ，·········································8 分
2
所以 sin AcosB sin Bcos A sin B
即 sin(A B) sin B，······································································· 9 分
所以 A 2B或 A B B，
因为 A 0, ，所以 A 2B ······························································ 10 分
代入 tan A 3tan B 2 tan B， tan A tan 2B 3tan B ，
1 tan 2 B
tan B 0 tan2 B 1因为 ，所以 ，
3
因为 tan A , tan B同号，所以 tan B 0 ，
3
所以 tan B ，
3
因为 B (0 , ) ，所以 B ····························································12 分
6
20．（12 分）
5 1
解析：（1）由题意知 当 a 3 时, f (x) x3 x2 2x
2 2
f (x) 3x2 5x 2 ，
f (1) 3 12 5 1 2 6 ，······································································2 分
高三数学试题 第 4页 共 7页
f (1) 13 5 12 2 1 1 1，
2 2
所以切线方程为 y 1 6(x 1) ，即 y 6x 5 ·············································4 分
（2） f (x) ax2 (2a 1)x 2 (x 2)(ax 1) (a 0) ·······································6 分
①当 a 0时，
f (x) 0 1 得 x 2或x ； f (x) 0 得 2 1 x .
a a
所以 f (x) 在 ( , 2), ( 1 , ) 1上单调递增，在 ( 2, ) 上单调递减.
a a
当 a 0 时,
1 1
②当 2 ，即 a 时，
a 2
f (x) 0 恒成立， f (x) 在 ( , ) 上单调递减.
1 1
③当 2 ，即 a 时，
a 2
f (x) 0 得 x 2或x 1 ； f (x) 0 得 2 x 1 .
a a
所以 f (x) 在 ( , 2), ( 1 , ) 1 上单调递减，在 ( 2, ) 上单调递增.
a a
1 1
④当 2 ，即 a 0时，
a 2
f (x) 0 得 x 1 1 或x 2 ； f (x) 0 得 x 2 .
a a
所以 f (x) ( , 1在 ), ( 2, ) 上单调递减，
a
在 (1 , 2) 上单调递增. ········································································10 分
a
1
综上： a 0时， f (x) 在 ( , 2), ( , ) 上单调递增，在 ( 2, 1) 上单调递减.
a a
a 1 时， f (x) 在 ( , ) 上单调递减.
2
a 1 1 1 时， f (x) 在 ( , 2), ( , ) 上单调递减，在 ( 2, ) 上单调递增.
2 a a
1
a 0 f (x) ( , 1), ( 2, ) 1 时， 在 上单调递减，在 ( , 2) 上单调递增········12 分
2 a a
21．（12 分）
解析：（1）因为 na 2 2n 1 (n 1)an n
2 n(n N ) ，两端同除 n(n 1)
a 2 a 2
可得： n 1 n 1，··········································································· 3 分
n 1 n
高三数学试题 第 5页 共 7页
a 2
又 a1 1，所以
n 是首项为 1，公差为 1的等差数列·································4 分
n
a 2
所以 n n，
n
因为数列{an} 是正项数列，所以 an n．·················································· 5 分
1
（2） bn ， ·························································································6 分2n n
n 1 S b 1 3当 时， 1 1 ，··································································· 7 分2 2
当 n≥2 b 1 1 1 n n 1时， n ，
2 a 3 n( n n) n( n n 1) nn
b n n 1 1 1所以 n ,·························································· 9 分n n 1 n 1 n
S 1 1 1 1 1 1 3 1 3n (1 ) ( ) ( ) 2 2 2 3 n 1 n 2 n 2
综上， S 3n ························································································12 分2
22．（12 分）
a 1 x 2 ax 1
解析：（1） f ( x ) 1
x x2 x2
， f (1) 0
（i）当 a≤0 时，
2
x≥1, f ( x ) a 1 1 x ax 1
x x2 x2
≤0 ，
函数 f ( x ) 在 1, 单调递减，所以 f ( x )≤0恒成立；
（ii）当 0 a≤2时，
a 1 x 2 ax 1
≤0 ， f ( x ) 1 2 ≤0 ，x x x2
函数 f ( x ) 在 1, 单调递减，所以 f ( x )≤0恒成立；
（iii）当 a 2时，
x2 ax 1 0 有两根 x1 , x2 且 x1x2 1 .
不妨设 x1 1 x2 ，则函数 f ( x ) 在 1, x2 单调增，
这与 f ( x )≤0矛盾，所以不成立，
综上可得 a≤2 . ····················································································4 分
1 1
（2）由（1）可知 x 1, ln x (x ) ，
2 x
高三数学试题 第 6页 共 7页
x 1 1令 ， k * ，
k
则 ln(1 1 ) 1 ( k 1 k ) 1 1 1 ( )
k 2 k k 1 2 k k 1
令 k 1,2,3, ,n得
ln 1 1 1 (1 1 ) ，
2 1 2
ln(1 1 ) 1 (1 1 ) ，...
2 2 2 3
ln(1 1) 1 (1 1 ) ，
n 2 n n 1
对以上各式累加可得：
ln 1 1 ln(1 1) ln(1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( )
2 n 2 2 3 n 2 n 1
ln n 1 1 1 1 1 n
2 3 n 2(n 1)
1 1 1 1 n
即对任意 n * , e 2 3 n 2(n 1) n 1. ·················································8 分
（3）由（1）知，当 a≤2 时， f ( x ) 在 0， 单调递减，且 f (1) 0 ，
所以只有一个零点，
当 a 2时，
f ( x ) 在（0，x1）单调递减， f ( x ) 在（x1，1）单调递增，
又因为 f (1) 0 ，所以 f x1 0 .
a a2
因为 x 4 2 11 ，2 a a2 4 a
1 1 1
， f ( ) a(ln 1 1 2a) ，
2a2 a 2a2 2a2 2a3
1 1 l2(a4 a3) 1
令 g(a ) ln 2a，则 g (a ) 0 ，
2a2 2a3 6a4
g(2) 1 1 ln 4 0 ,
8 16
a 2 f ( 1 ) a(ln 1 1当 时， 2 2 2a) 0 ，2a 2a 2a3
( 1 2 , x )，f ( ) 0 ，2a 1
又 f ( x ) 1 1 1 f ( )，所以 (1,2a2 )，f ( ) 0 ，
x
此时有 3 个零点.
综上，当 a≤2 时， f ( x ) 只有一个零点，
当 a 2时， f ( x ) 有 3 个零点.······························································ 12 分
高三数学试题 第 7页 共 7页
