2022 2023-1 学期期中考试试题答案
高三数学（文）
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
BCBCA BCCAB CA
二、填空题
13．[5, ) 14 2．－ 15．2 2 16．4043
3
三、解答题
17．（1）当 0 a 1时，函数 f x 在区间 2,4 上是减函数，
1
因此当 x 2时，函数 f x 取得最大值 16，即 a 2 16，因此 a ．4
当 a 1时，函数 f x 在区间 2,4 上是增函数，
当 x 4时，函数 f x 取得最大值 16，即 a 4 16，
因此 a 2． ...............6
2
（2）因为 g x log2 x 3x 2a 的定义域是 R，即 x2 3x 2a 0恒成立．
2
则方程 x2 3x 2a 0的判别式 ，即 3 4 2a 0，
9
解得 a ，
8
a 1又因为 或 a 2，因此a 2．
4
代入不等式得 log2 1 2t 1，即 0 1 2t 2，
1 1
解得 t ，
2 2
1 1
因此实数 t的取值范围是 , ． ...............12 2 2
18,（1 f x 2sin 2）函数 x 3cos2x
1﹣cos（2x ）
4 2
3cos2x 3cos2x sin2x 1 2cos 2x
1．
6
2
所以函数的最小正周期为T ，
2
令 2k
2x 2k （k∈Z），整理得 k x k （k∈Z），
6 12 12
答案第 1页，共 4页
5
所以函数的单调递减区间为[ k ，k ]（k∈Z）． ..............5分
12 12
（2 ）将函数 f（x）的图象向右平移 6个单位，得到函数 g（x）＝2cos（2x ）3 6
+1 2cos
2x
1的图象，
6
2 1
由于 x∈ ， ，所以 2x ，故 cos 2x 1，所以 0≤g（x）≤3，故 4 4 3 6 3 2 6
函数的值域为[0，3]． ............12
19．(1)由 S7 7a4 14 ,得 a4 2 ,由 an 为等差数列, a5 5 ,可得公差 d 3 ,
则 an a4 (n 4) 3 3n 10 ,
则 ( 7 3n 10) n 3n2 17n ...........6Sn 2 2
(2) 1 1 1 1 1由(1)可得 bn 2 20n n2
,
S n n(n 1) n n 1
3 n 3
T 1 1 1 1 1 1
. ............12
n 1 L 1 2 2 3 n n 1 n 1
20．解析：(1)由三角形的面积公式 S 1 absinC，
2
1 absinC a
2 b2 2 a2 b2 2
得 ，①由余弦定理得 cosC ，②
2 4 2ab
由①②得 sinC cosC . 因为 ，所以 π . ...............5C 0,
π
2
C
4
(2)由(1)知C π ,c 2，
4
a b c 2
由正弦定理得 2，
sin A sin B sinC 2
2
可得 a 2sin A,b 2sinB，
1
所以 S△ABC absinC 2 sin A sin B .2
因为 sin B sin[π (A C)] sin(A C) π sin A
4
，
所以 ................10
S△ABC 2 sin A
π
sin A sin
2 A sin A cos A 2 π 1 sin 2A
4 2 4 2
因为△ABC是锐角三角形，
答案第 2页，共 4页
0 π A , π
所以 2 解得 A
π π 2A π 3π ， 所以 ，
0 3π A π , 4 2 4 4 4
4 2
2
所以 sin 2A π 1，所以1 S
2 1
2 △ABC
，
4 2
即△ABC面积的取值范围为 2 1 ................12
1, 2
2e ln x
21．（Ⅰ）∵ f x 1，定义域是 0, ，
x
∴ f 1 1 2e 2e ln x， f x 2 ， f 1 2e，x
故切线方程为 y 1 2e x 1 ，即 2ex y 2e 1 0； ............4
f x 2e 2e ln x（2）由（1） ，
x2
令 f x 0，解得0 x e，令 f x 0，解得 x e，
故 f x 在（0， e）递增，在 e, 递减； ..............8
2e lne
（3）由（2）得 f x 的极大值是 f e 1 1，
e
即 f x 的最大值是 f e 1，
g x 3x3 2ax2∵ 1，∴ g x 9x2 4ax，
令 g x 0 4a，解得 x 0或 x ，
9
若 x1， x2 1,e ，不等式 f x1 g x2 恒成立，
则 x 1,e 时， f x g xmax min恒成立，
4a 9
①当 1即 a 时， g x 在 1,e 上单调递增，
9 4
3
此时 g x min g 1 4 2a，令 4 2a 1，得 a ；2
4a 9e 9
②当1 e时，即 a 时， g x 1, 4a 4a在 递减，在 ,e
递增，
9 4 4 9 9
3
此时 g x 4a 32amin g 1， 9 243
32a3
令 1 1，解得 a 0，不符合题意；
243
答案第 3页，共 4页
4e 9e
③当 e即 a 时， g x 在 1,e 递减，
9 4
故 g x g e 3e3 2ae2 1min ，
令3e3 2ae2 1 1，解得，不符合题意
3
综上，实数 a的取值范围是 , ． .............12 2
另解：3x3+2ax2+1≥1得 3x3+2ax2≥0
3
x2(3x+2a)≥0 3x+2a≥0 a≥ 3 a e
2 2
x 1 2cos
22．(1)已知曲线C : ( 为参数),
y 2sin
则曲线C的普通方程 (x 1)2 y2 4 ,
直线 l的极坐标方程为 sin
4
2 ,
则 l的直角坐标方程 x y 2 0 ; .............5
x 2
2
t
l (2) 2直线 的参数方程为 ( t为参数)
y 2 t 2
代入曲线C : (x 1)2 y2 4 ,
化简得 t 2 2t 3 0 ,
设A , B对应的参数分别为 t1 , t2 ,
则 t1 t2 2 , t1t2 3 ,
1 1 1 1 t t t t t t 2
所以 1 2 1 2 1 2
4t1t2 14
| PA | | PB | t . .............101 t2 t1 t2 | t1t2 t1t2 3
x 1 -1 x 2 x 2
23．（1）当 a 2时，原不等式可化为 或 或
1 2x 5
3 5
2x 1 5
解得 x 2,3 所以不等式的解集为 2,3 .............5
（2）由题意可得 f (x)min 2 , x 1 x a (x 1) (x a) a 1 当 (x 1)(x a) 0 时取
等号. f (x)min a 1
a 1 2或 a 1 2， 即 a 1或 a 3 .............10
答案第 4页，共 4页2022 2023-1 学期期中考试试题
高三数学（文科）
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分 150 分，考试时间 120
分钟. 答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分)
1．已知集合U { 3, 1,0,2,4}， A { 1,0}， B {0,2}，则 U (A∪B)=( )
A．{ 3,1} B．{ 3, 4} C．{ 3, 1,2,4} D．{ 1,0,2}
2．已知 a R，（1+ai）i=3+i，(i为虚数单位)，则a ( )
A． 1 B．1 C． 3 D．3
3.下列命题中的假命题是（ ）
A． x 0, x2 x3 B． x R, ln x 0
C． x R,sin x 1 D． x R, 2x 0
4．已知 f x 是 R上的偶函数，g x 是 R上的奇函数 ，
它们的部分图像如图，则 f x g x 的图像大致是( )
A． B． C． D．
5．已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn，且 S9 18， a7 1，则 a1 ( )
A 1． 4 B． 2 C． D． 12
6．已知 x、y都是实数，那么“ x y ”的充分必要条件是( )．
1 1
A． lg x lg y B．2x 2y C． 2 2x y D． x y
兰州一中高三年级期中数学（文科）试卷 第 1 页 共 4 页
y 2
7 x y ．设 ， 满足约束条件 x 3 ，则 z x y的最小值为( )
x 2y 5 0
A． 2 B． 1 C． 2 D． 3
8.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，
如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几
何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为 2的一
个半圆，则该几何体的体积为( )
A 3 B 3 C 3 D 3 ． ． ． ．
2 3 6
9.已知在数列 an 中， a1 1，且 an 1 2an 1，则 an 的通项公式为( ).
A. a 2n 1 B. a 2n C. n D. n 1n n an 2 1 an 2
2
10 x．已知双曲线 2 y
2 1（a 0）的左 右焦点分别为F1， F2，过点 Fa 2
作一条
渐近线的垂线，垂足为 P若△PF1F2的面积为2 2，则该双曲线的离心率为( )
A 2 3 3 2 14． B． C．3 D．
3 4 3
3
11．已知函数 f (x)是定义在 R上的偶函数，当 x 0时，f (x) ex x，则 a f ( 22 )，
b f (log2 9)， c f ( 5)的大小关系为( )
A． a b c B．a c b C．b a c D．b c a
ex，x<0，
12．已知函数 f(x)＝ 其中 e 为自然对数的底数，则函数
4x3－6x2＋1，x≥0，
g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3的零点个数为( )
A.4 B.5 C.6 D.3
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第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分)
13．已知函数 f (x) lg(x2 4x 5)在 (a, )上单调递增，则 a的取值范围是____．
14 4．已知 sin θ＋cos θ＝ ，θ∈(0,4)，则 sin θ－cos θ的值为________.3
15 1 2．若实数 a,b满足 ab，则 ab的最小值为___________.
a b
16 4
1 2 4043
．已知函数 f x x sin x，则 f f f2 2 2022 2022
2022
______.
三、解答题(本大题共 6小题，共 70分)
（一）必考题：共五小题，每题 12分，共 60分。
17. x已知函数 f x a （ a 0且a 1）在区间 2,4 上的最大值是 16，
（1）求实数 a的值；
（2）假设函数 g x log 22 x 3x 2a 的定义域是 R，求不等式 loga 1 2t 1的实
数 t的取值范围．
18.已知函数 f x 2sin2 x 3cos2x4 .
（1）求 f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）将函数 f（x ）的图象向右平移 个单位，得到函数 g（x）的图象，求 g
6
x （ ）在区间 ，4 4 上的值域.
19．已知等差数列 an 中, a5 5,S7 14 .
(1)求 an 的通项公式及前 n项和 Sn ;
(2)若b 1n ,则求 的前 n项和 .2 S 20n
bn Tn
n 3 3
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20.已知锐角△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c， c 2，△ABC的
a2 b2 2
面积为 .
4
(1)求 C；
(2)求△ABC面积的取值范围.
21.已知函数 f x 2e ln x 1.
x
（1）求曲线 y f x 在点(1， f 1 )处的切线方程；
（2）求函数 f x 的单调区间；
3 g x 3x3 2ax2（ ）已如函数 1，若 x1， x2 1,e ，不等式 f x1 g x2 恒成立，
求实数 a的取值范围.
（二）选考题：共 10分。请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多选，
则按所做的第一题计分。
x 1 2cos
22．在平面直角坐标系 xOy中，已知曲线C： y 2sin （
为参数），以原
点O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为
sin
2 .
4
（1）求曲线C的普通方程和直线 l的直角坐标方程；
1 1
（2）已知点 P( 2,0)，直线 l交曲线C于A， B两点，求 | PA | | PB | 的值.
23．已知函数 f (x) | x 1| | x a| .
（1）当 a 2时，求不等式 f (x) 5的解集；
（2）若 f (x) 2的解集为 R，求 a的取值范围.
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