人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.4.1 空间向量的应用 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
第一章 1.4.1空间向量的应用
1.掌握空间点、线、面的向量表示.
2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.
3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.
问题导学
题型探究
当堂训练
学习目标
知识点一　直线的方向向量与平面的法向量
思考　怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
问题导学 　　　　
梳理　(1)直线的方向向量和平面的法向量
直线的方向向量 能平移到直线上的_____向量，叫做直线的一个方向向量
平面的 法向量 直线l⊥α，取直线l的_______
_____，叫做平面α的法向量
非零
方向向
量n
(2)空间中平行关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行 l∥m _____ a＝kb (k∈R)
线面平行 l∥α a⊥μ _____＝0
面面平行 α∥β μ∥v ____________
线线垂直 l⊥m a⊥b _______
线面垂直 l⊥α a∥μ ___________
面面垂直 α⊥β μ⊥v ________
a∥b
a·μ
μ＝kv (k∈R)
a·b＝0
a＝kμ(k∈R)
μ·v＝0
知识点二　利用空间向量处理平行问题
思考　(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系.
答案　由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2 v1∥v2 v1＝λv2(λ∈R).
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？
答案　可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行.
(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？
答案　关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行.
梳理　利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
类型一　利用方向向量和法向量判定线面的位置关系
题型探究
例1 (1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：
①a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)；
②a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)；
解　①∵a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)，
∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2.
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，
∴l1⊥l2.
∴μ·v＝－3＋2＋1＝0，
∴μ⊥v，∴α⊥β.
②∵μ＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)，
(3)设μ是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断平面α与l的位置关系：
①μ＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)；
②μ＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0).
解　①∵μ＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)，
∴μ·a＝－12＋16－4＝0，
∴μ⊥a，∴l α或l∥α.
②∵μ＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0).
利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是直线的方向向量与平面的法向量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几点：(1)能熟练的判断两向量的共线与垂直；(2)搞清直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面位置关系之间的内在联系；(3)将向量问题转化为几何问题时的等价性.
反思与感悟
跟踪训练1　根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：
(1)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；
解　∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)
(2)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)；
解　∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，
∴a·b≠0且a≠kb(k∈R)，
∴a，b既不共线也不垂直，
即l1与l2相交或异面，但不垂直.
(3)平面α与β的法向量分别是μ＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)；
解　∵μ＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，
∴μ·v≠0且μ≠kv(k∈R)，
∴μ与v既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直.
(4)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3).
解　∵a＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3)，
类型二　求平面的法向量
设平面SCD的法向量n＝(1，λ，u)，
设直线l的方向向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量υ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α μ∥υ μ＝kν a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，其中k∈R，
平面的法向量的求解方法：①设出平面的一个法向量为n＝(x，y，z)，
②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：
a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，
反思与感悟
④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量.
证明　设正方体的棱长为1，
同理DB1⊥AD1，
又AC∩AD1＝A，
所以DB1⊥平面ACD1，
类型三　利用空间向量证明平行关系
例3 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
证明　建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，
则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，
因为n1＝n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.
反思与感悟
跟踪训练3　如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝
AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，说明理由.
解　分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，
∴存在E点，当点E为PD中点时，CE∥平面PAB.
1.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A.(1,2,3) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(3,2,1)
A
当堂训练 　　　　
1
2
3
4
5
2.已知直线l1的方向向量a＝(2，－3,5)，直线l2的方向向量b＝(－4，x，y)，若两直线l1∥l2，则x，y的值分别是(　　)
A.6和－10 B.－6和10
C.－6和－10 D.6和10
1
2
3
4
5
解析　由两直线l1∥l2，得两向量a，b平行，
A
1
2
3
4
5
解析　能作为平面α的法向量的向量与μ＝(2，－3,1)共线，(－2,3，－1)＝－μ.
D
3.若μ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　)
A.(0，－3,1) B.(2,0,1)
C.(－2，－3,1) D.(－2,3，－1)
1
2
3
4
5
C
1
2
3
4
5
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为________.
解析　不妨设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，
则各点坐标为：A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，
设平面ACD1的一个法向量a＝(x，y，z)，
1
2
3
4
5
答案　(1,1,1)(答案不唯一)
规律与方法
(1)空间中一条直线的方向向量有无数个.
(2)方向向量在判断线线、线面位置关系时起到重要的作用.
(4)利用待定系数法求平面的法向量，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标.
(5)证明线面平行的方法
①设n是平面α的一个法向量，v是直线l的方向向量，则v⊥n且l上至少有一点A α，则l∥α.
②根据线面平行的判定定理：“如果平面外直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.
③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.
(6)证明面面平行的方法
①面面平行的证明可转化为线面平行的证明，即如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一平面，那么这两个平面平行.
②利用平面的法向量，证明面面平行，即如果a⊥平面α，b⊥平面β，且a∥b，那么α∥β.