人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.4.2 空间向量的应用 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
第一章 1.4.2空间向量的应用
1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.
问题导学
题型探究
当堂训练
学习目标
知识点一　向量法判断线线垂直
思考　若直线l1的方向向量为μ1＝(1,3,2)，直线l2的方向向量为μ2＝(1，－1,1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？
问题导学 　　　　
答案　l1与l2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l1与l2垂直.
(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直.
梳理　设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m ____＝0 __________________
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
知识点二　向量法判断线面垂直
判断直线与平面的位置关系的方法：
(1)直线的方向向量与平面的法向量共线 l⊥α.
(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直 直线与平面平行或直线在平面内.
(3)直线的方向向量与平面内的两相交直线的方向向量垂直 l⊥α
梳理　设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α a∥μ ____________.
a＝kμ(k∈R)
知识点三　向量法判断面面垂直
思考　平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？
答案　x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
梳理　若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β μ⊥ν μ·ν＝0 __________________.
a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
类型一　证明线线垂直
题型探究
证明　设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
∵M为BC中点，
证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系―→ 写出点的坐标―→求直线的方向向量―→ 证明向量垂直―→ 得到两直线垂直.
反思与感悟
跟踪训练1　已知如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.
证明　∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC、BC、C1C两两垂直.
如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，
类型二　证明线面垂直
例2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点.求证：A1O⊥平面GBD.
证明　方法一　如图以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为2，则O(1,1，0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，
设平面GBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
令x＝1，得z＝2，y＝－1，
∴平面GBD的一个法向量为(1，－1,2)，
本类型题目用向量法证明的关键步骤是建立坐标系，用坐标表示向量或用基底表示向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算.
反思与感悟
跟踪训练2　如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点.求证：直线PB1⊥平面PAC.
类型三　证明面面垂直
例3 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.
证明　以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面ABC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
设n2＝(x2，y2，z2)为平面BEF的一个法向量，
利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.
反思与感悟
跟踪训练3　在正三棱锥(底面是正三角形且侧棱相等)P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.
证明　以三棱锥的顶点P为原点，
以PA、PB、PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
令PA＝PB＝PC＝3，
则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1，0)，P(0,0,0)，
令y＝1，得z＝－1，x＝0，
即n＝(0,1，－1).
1.下列命题中，正确命题的个数为(　　)
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2 α∥β；
②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β n1·n2＝0；
③若n是平面α的法向量，a与平面α平行，则n·a＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直.
A.1 B.2 C.3 D.4
当堂训练 　　　　
1
2
3
4
5
解析　①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确.
C
2.已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为(　　)
A.a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)
B.a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)
C.a＝(0,1，－1)，b＝(0，－1,1)
D.a＝(1,0,0)，b＝(－1,0,0)
1
2
3
4
5
B
解析　因为a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)，
所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，
所以a⊥b，故选B.
1
2
3
4
5
解析　∵a∥μ，∴l⊥α.
B
3.若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则(　　)
A.l∥α B.l⊥α
C.l α D.l与α斜交
1
2
3
4
5
4.平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是(　　)
A.平行 B.相交但不垂直
C.垂直 D.不能确定
解析　∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，
∴两法向量垂直，从而两平面垂直.
C
1
2
3
4
5
5.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，ν＝(t,5,1)，则t的值为___.
解析　∵平面α与平面β垂直，
∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直，
∴μ·ν＝0，
即(－1)×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.
5
规律与方法
(1)立体几何要解决的主要问题是空间图形的形状、大小及其位置关系.其中点到直线、点到平面之间的距离问题以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的夹角问题是立体几何研究的重要问题，空间向量的运算，特别是数量积涉及向量的模以及向量之间的夹角，我们可以把点、直线、平面用向量表示，然后利用向量的运算(特别是数量积)解决点、直线、平面之间的夹角与长度等问题.
(2)类似用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，我们可以得出用空间向量解决几何问题的“三步曲”：
①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
③把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.