人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 课时分层作业：1.4.1.2空间向量与垂直关系（含解析）

课时分层作业(七)　
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．u＝(2，－2,2)是平面α的一个法向量，v＝(1,2,1)是平面β的一个法向量，则下列命题正确的是(　　)
A．α，β平行 B．α，β垂直
C．α，β重合 D．α，β不垂直
2．已知直线l1的一个方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的一个方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且l1⊥l2，则x＋y的值是(　　)
A．－3或1 B．3或－1
C．－3 D．1
3．在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则PA与底面ABCD的关系是(　　)
A．相交 B．垂直
C．不垂直 D．成60°角
4．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且＝2，设C，若CD⊥AB，则λ的值为(　　)
A． B．－ C． D．
5.如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)
A．EF至多与A1D，AC之一垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
二、填空题
6．已知三点A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的单位法向量为________．
7．设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是________．
8．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则＝________.
三、解答题
9.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.
10.如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是棱AB，BC的中点．求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1.
11．(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1，2，－1)．对于下列结论正确的有(　　)
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C．是平面ABCD的法向量
D．∥
12.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是(　　)
A．平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)
B．平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)
C．平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)
D．平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)
13．(一题两空)已知空间三点A(－1,1,1)，B(0,0,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________，若n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，则x∶y∶z＝________.
14.如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥面B1DE，则AE＝________.
15.如图，在三棱锥P ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A MC B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在．请说明理由．
课时分层作业(七)　答案
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．u＝(2，－2,2)是平面α的一个法向量，v＝(1,2,1)是平面β的一个法向量，则下列命题正确的是(　　)
A．α，β平行 B．α，β垂直
C．α，β重合 D．α，β不垂直
B　[u·v＝(2，－2,2)·(1,2,1)＝2×1－2×2＋2×1＝0，∴u⊥v，∴平面α⊥平面β.]
2．已知直线l1的一个方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的一个方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且l1⊥l2，则x＋y的值是(　　)
A．－3或1 B．3或－1
C．－3 D．1
A　[由条件可知|a|＝＝6，且a·b＝4＋4y＋2x＝0，解得或，∴x＋y＝1或－3.]
3．在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则PA与底面ABCD的关系是(　　)
A．相交 B．垂直
C．不垂直 D．成60°角
B　[因为·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，所以⊥；因为·A＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以⊥，又∩＝A，所以AP⊥ABCD.]
4．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且＝2，设C，若CD⊥AB，则λ的值为(　　)
A． B．－ C． D．
B　[设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，
∵＝2，∴∴
∴D，＝，
∵⊥，∴·＝2＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－.]
5.如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)
A．EF至多与A1D，AC之一垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
B　[建立以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则＝(1,0,1)，
＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)，
E，F，
＝，∴·＝0，·＝0，
∴EF⊥A1D，EF⊥AC.]
二、填空题
6．已知三点A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的单位法向量为________．
或　[三点A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)．
令平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，可得，
即，∴x＝y＝z，∵平面ABC的法向量n＝(x，y，z)为单位法向量，
∴x2＋y2＋z2＝1，解得x＝y＝z＝±，
故平面ABC的单位法向量是或.]
7．设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是________．
垂直　[由题意，a·b＝(－1,2，－4)·(2,3,1)＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，
∵根据平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，∴α⊥β.故答案为垂直．]
8．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则＝________.
　[∵⊥，∴·＝0，∴3＋5－2z＝0，∴z＝4.∵＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，
∴即
解得故＝.]
三、解答题
9.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.
[证明]　以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，F(，，1)，M.
所以＝，＝(0, ，1)，＝(，－，0)．
设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，
则n⊥，n⊥，
所以

取y＝1，得x＝1，z＝－.则n＝(1,1，－)．
因为＝.
所以n＝－ ，得n与共线．
所以AM⊥平面BDF.
10.如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是棱AB，BC的中点．求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1.
[证明]　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，
由题意，知D(0,0,0)，A(2，0,0)，C(0,2，0)，B1(2，2，4)，E(2，，0)，F(，2，0)，
则＝(0，－，－4)，
＝(－，，0)．
设平面B1EF的法向量为n＝(x，y，z)．
则n·＝－y－4z＝0，n·＝－x＋y＝0，
得x＝y，z＝－y，令y＝1，得n＝.
又平面BDD1B1的一个法向量为＝(－2，2，0)，
而n·＝1×(－2)＋1×2＋×0＝0，
即n⊥，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
11．(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1，2，－1)．对于下列结论正确的有(　　)
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C．是平面ABCD的法向量
D．∥
ABC　[由于·＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以A、B、C正确，又＝－＝(2,3,4)．
∵＝(－1,2，－1)，不满足＝λ，
∴D不正确，故选ABC.]
12.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是(　　)
A．平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)
B．平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)
C．平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)
D．平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)
AC　[∵＝(0,1,0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正确；∵＝(－1，0,0)，而(1,1,1)·＝－1≠0，∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，∴B不正确；C中易证AC1⊥面B1CD1且＝(1,1,1)，∴C正确，D中，因＝(1,0,0)，∴·(0,1,1)＝0，又＝(0,1,1)，且(0,1,1)·(0,1,1)≠0，∴D不正确．]
13．(一题两空)已知空间三点A(－1,1,1)，B(0,0,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________，若n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，则x∶y∶z＝________.
　4∶4∶3　[设M(x，y，z)，∵＝(1，－1,0)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)，由题意，得，∴x＝－，y＝，z＝1，∴点M的坐标为，又＝(2,1，－4)．
n·＝x－y＝0且n·＝2x＋y－4z＝0，
令x＝1，则y＝1，z＝，∴x∶y∶z＝1∶1∶＝4∶4∶3.]
14.如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥面B1DE，则AE＝________.
a或2a　[建立如图所示的空间直角坐标系，
则B1(0,0,3a)，C(0，a,0)，
D.
设E(a,0，z)(0≤z≤3a)，
则＝(a，－a，z)，
＝(a,0，z－3a)，
＝.
又·＝a2－a2＋0＝0，
·＝2a2＋z2－3az＝0，
解得z＝a或2a.故AE＝a或2a.]
15.如图，在三棱锥P ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A MC B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在．请说明理由．
[解]　(1)证明：如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．
∵＝(0,3,4)，＝(－8,0,0)，由此可得·＝0，所以⊥，所以AP⊥BC.
(2)假设存在满足题意的点M，设＝γ，0≤γ＜1，则＝γ(0，－3，－4)．
＝＋＝＋γ＝(－4，－2,4)＋γ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3r,4－4γ)，
＝(－4,5,0)，＝(－8,0,0)．
设平面BMC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面APC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
由得
令y1＝1可得n1＝.
由可得令y2＝4可得n2＝(5,4，－3)．
由n1·n2＝0，得4－3·＝0，解得γ＝，故AM＝3.
故存在点M符合题意，且AM＝3.
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