人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 课时作业：1.4空间向量的应用（第一课时）（含解析）

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
1.若点在直线上，则直线的一个方向向量为( )
A. B. C. D.
2.已知，平面的一个法向量为，点不在平面内，则直线与平面的位置关系为( )
A. B.
C.与相交但不垂直 D.
3.已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是( )
A. B. C. D.
4.已知平面内的两个向量，且.若为平面的法向量，则的值分别为( )
A. B. C.1，2 D.
5.已知三条直线的一个方向向量分别为，则( )
A.，但与不垂直 B.，但与不垂直
C.，但与不垂直 D.两两互相垂直
6.已知平面内的三点，平面的一个法向量为，且与不重合，则( )
A. B.
C.与相交但不垂直 D.以上都不对
7.如图，在平行六面体中，点分别为棱的中点，若平行六面体的各棱长均相等，给出以下结论：
①；②；③平面；④平面
其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.在四棱锥中，底面是平行四边形，，，则与底面的关系是( )
A.相交 B.垂直 C.不垂直 D.成角
9.如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.异面垂直 D.异面不垂直
10.已知点，若平面，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
11.若不同的平面的一个法向量分别为，则与的位置关系为_________.
12.已知平面的法向量，平面的法向量，若，则______.
13.已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则__________.
14.已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，.对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的是___________.
15.如图，四棱锥中，底面，是的中点.
求证：
(1)；
(2)平面.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由题意，可得直线的一个方向向量.又，所以向量是直线的一个方向向量.故选A.
2.答案：D
解析：因为，所以.又点不在平面内，为平面的一个法向量，所以，故选D.
3.答案：B
解析：∵，∴的法向量与的法向量也互相平行.∴.∴.
4.答案：A
解析：.由为平面的法向量，得，即，解得.
5.答案：A
解析：，，与不垂直，，但不垂直于.
6.答案：A
解析：，，∴.∴也为的一个法向量.又与不重合，∴.
7.答案：C
解析：，∴，从而.∴①③④正确.
8.答案：B
解析：因为，所以平面.
9.答案：C
解析：建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的棱长为2，则，，，，则直线的位置关系是异面垂直.
10.答案：C
解析：由题意知，又平面，所以，得①，，得②，联立①②，解得，故点的坐标为.
11.答案：平行
解析：.
12.答案：
解析：
所以存在实数，使得
，解得，
.
13.答案：3
解析：∵平面的法向量为.又与平面平行，∴，解得.
14.答案：①②③
解析：∵，∴，则①②正确.又与不平行，∴是平面的法向量，则③正确.由于，，∴与不平行，故④错误.
15.答案：(1)以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
所以，所以.
(2)由(1)，得，
设向量是平面的法向量，
则，得，取，则，
所以，所以，所以平面.
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