人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 素养评价：1.4空间向量的应用（第一课时）（含解析）

六　空间中点、直线和平面的向量表示
空间中直线、平面的平行
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.(多选题)在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为棱长为1的正方体,下列结论中,正确的是 (　　)
A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)
B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)
C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)
D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)
2.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),它的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是 (　　)
A.(1,-1,1) B.
C. D.
3.设平面α的法向量的坐标为(1,2,-2),平面β的法向量的坐标为(-2,-4,k).若α∥β,则k等于 (　　)
A.2 B.-4 C.4 D.-2
4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是 (　　)
A.相交 B.平行
C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知O为坐标原点,四面体OABC的顶点A(0,3,5),B(2,2,0),C(0,5,0),直线BD∥CA,并且与坐标平面xOz相交于点D,点D的坐标为　　　　.
6.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值是　　　　.
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.如图,已知ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立适当的坐标系.
(1)求平面SAB的一个法向量;
(2)求平面SCD的一个法向量.
8.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1和BB1的中点.求证:四边形AEC1F是平行四边形.
(15分钟·30分)
1.(5分)若=λ+μ(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系是(　　)
A.相交 B.平行
C.在平面内 D.平行或在平面内
2.(5分)(2020 ·武汉高二检测)如果直线l的方向向量是a=(-2,0,1),且直线l上有一点P不在平面α内,平面α的法向量是b=(2,0,4),那么 (　　)
A.直线l与平面α垂直
B.直线l与平面α平行
C.直线l在平面α内
D.直线l与平面α相交但不垂直
3.(5分)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E为 PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为　　　　.
4.(5分)若平面α的一个法向量为u1=(-3,y,2),平面β的一个法向量为u2=(6,-2,z),且α∥β,则y+z=　　　　.
5.(10分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD 成30°角,求证:CM∥平面PAD.
1.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为 (　　)
A.(1,1,1) B.
C. D.
2.如图,在长方体ABCD -A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.
(1)求证:B1E⊥AD1;
(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE 若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.
六　空间中点、直线和平面的向量表示
空间中直线、平面的平行答案
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.(多选题)在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为棱长为1的正方体,下列结论中,正确的是 (　　)
A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)
B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)
C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)
D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)
【解析】选ABC.DD1∥AA1,=(0,0,1);BC1∥AD1,=(0,1,1);直线AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0);C1点坐标为(1,1,1),与平面B1CD不垂直,所以D错误.
2.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),它的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是 (　　)
A.(1,-1,1) B.
C. D.
【解析】选B.要判断点P是否在平面α内,只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直,
即·n是否为0,因此,要对各个选项进行检验.
对于选项A,=(1,0,1),
则·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,故排除A;
对于选项B,=,
则·n=·(3,1,2)=0,故B正确;
同理可排除C,D.
3.设平面α的法向量的坐标为(1,2,-2),平面β的法向量的坐标为(-2,-4,k).若α∥β,则k等于 (　　)
A.2 B.-4 C.4 D.-2
【解析】选C.因为α∥β,所以==,
所以k=4.
4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是 (　　)
A.相交 B.平行
C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内
【解析】选B.以点C1为坐标原点,分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
由于A1M=AN=,则M,
N,=.
又C1D1⊥平面BB1C1C,
所以=(0,a,0)为平面BB1C1C的一个法向量.
因为·=0,
所以⊥,又MN 平面BB1C1C,
所以MN∥平面BB1C1C.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知O为坐标原点,四面体OABC的顶点A(0,3,5),B(2,2,0),C(0,5,0),直线BD∥CA,并且与坐标平面xOz相交于点D,点D的坐标为　　　　.
【解析】由题意可设点D的坐标为(x,0,z),
则=(x-2,-2,z),=(0,-2,5).
因为BD∥CA,所以所以
所以点D的坐标为(2,0,5).
答案:(2,0,5)
6.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值是　　　　.
【解析】因为a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),a∥b,
令a=tb(t∈R),则(λ+1,0,2)=t(6,2μ-1,2λ)=(6t,(2μ-1)t,2λt),
即解得或
答案:2,或-3,
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.如图,已知ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立适当的坐标系.
(1)求平面SAB的一个法向量;
(2)求平面SCD的一个法向量.
【解析】以点A为原点,AD,AB,AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D,
S(0,0,1).
(1)因为AD⊥AB,AD⊥SA,AB与SA相交于A,
所以AD⊥平面SAB,
所以=是平面SAB的一个法向量.
(2)在平面SCD中,=,=(1,1,-1).设平面SCD的法向量是n=(x,y,z),
则n⊥,n⊥,所以
得方程组所以
令y=-1,得x=2,z=1,所以平面SCD的一个法向量是n=(2,-1,1).
8.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1和BB1的中点.求证:四边形AEC1F是平行四边形.
【证明】以D为坐标原点,分别以,,为正交基底建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,
则A(1,0,0),E,C1(0,1,1),F,
所以=,=,=,=,
所以=,=,所以∥,∥,又因为F AE,F EC1,所以AE∥FC1,EC1∥AF,所以四边形AEC1F是平行四边形.
(15分钟·30分)
1.(5分)若=λ+μ(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系是(　　)
A.相交 B.平行
C.在平面内 D.平行或在平面内
【解析】选D.因为=λ+μ(λ,μ∈R),
所以与,共面.
所以AB∥平面CDE或AB 平面CDE.
2.(5分)(2020 ·武汉高二检测)如果直线l的方向向量是a=(-2,0,1),且直线l上有一点P不在平面α内,平面α的法向量是b=(2,0,4),那么 (　　)
A.直线l与平面α垂直
B.直线l与平面α平行
C.直线l在平面α内
D.直线l与平面α相交但不垂直
【解析】选B.因为直线l的方向向量是a=(-2,0,1),平面α的法向量是b=(2,0,4),又a·b=-4+0+4=0,所以直线l在平面α内或与平面α平行,又直线l上有一点P不在平面α内,所以直线l与平面α平行.
3.(5分)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E为 PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为　　　　.
【解析】以点A为原点,,,所在直线分别为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系.设AB=a,AP=c,AD=b,
则A(0,0,0),P(0,0,c),B(a,0,0),C(2a,b,0),
故E,则=.
又=(a,0,0)为平面PAD的一个法向量,且·=0,
BE 平面PAD,故BE∥平面PAD.
答案:平行
4.(5分)若平面α的一个法向量为u1=(-3,y,2),平面β的一个法向量为u2=(6,-2,z),且α∥β,则y+z=　　　　.
【解析】因为α∥β,所以u1∥u2.所以==.
所以y=1,z=-4.所以y+z=-3.
答案:-3
5.(10分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD 成30°角,求证:CM∥平面PAD.
【证明】由题意得CB,CD,CP两两垂直,以点C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,因为PC⊥平面ABCD,所以∠PBC为PB与平面ABCD 所成的角,所以∠PBC=30°.
因为PC=2,所以BC=2,PB=4.
所以C(0,0,0),D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P(0,0,2),M.
所以=(0,-1,2),=(2,3,0),=.令n=(x,y,z)为平面PAD的法向量,
则即所以
令y=2,得n=(-,2,1).
因为n·=-×+2×0+1×=0,
所以n⊥,又CM 平面PAD,
所以CM∥平面PAD.
1.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为 (　　)
A.(1,1,1) B.
C. D.
【解析】选C.设AC与BD相交于O点,连接OE,
因为AM∥平面BDE,且AM 平面ACEF,
平面ACEF∩平面BDE=OE,所以AM∥EO,
又O是正方形ABCD对角线的交点,
所以M为线段EF的中点.
在空间直角坐标系中,E(0,0,1),F(,,1).
由中点坐标公式,知点M的坐标为.
2.如图,在长方体ABCD -A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.
(1)求证:B1E⊥AD1;
(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE 若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.
【解析】(1)以A为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示.
设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1).
故·=-×0+1×1+(-1)×1=0,所以B1E⊥AD1.
(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0).
使得DP∥平面B1AE,此时=(0,-1,z0).
又设平面B1AE的法向量n=(x,y,z).
因为n⊥平面B1AE,
所以n⊥,n⊥,得
取x=1,得平面B1AE的一个法向量n=
要使DP∥平面B1AE,只要n⊥,有-az0=0,
解得z0=.又DP 平面B1AE,
所以存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=.
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