人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.4《空间向量的应用》课时1 教学设计
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.4《空间向量的应用》课时1 教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-16 11:29:47 | ||
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文档简介
《空间向量的应用》教学设计
课时1 空间中点、直线、平面的向量表示
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
空间中点、直线、平面的向量表示 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 直观想象 逻辑推理 【考查内容】 运用空间向量研究立体几何中图形的位置关系和度量关系,主要是用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系,用空间向量解决空间距离、夹角问题等,同时结合数形结合的数学思想、函数与方程的数学思想分析解决问题 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
用空间向量研究直线、平面的平行关系 直观想象 数学建模
用空间向量研究直线、平面的垂直关系 直观想象 逻辑推理 数学建模
用空间向量研究距离问题 直观想象 逻辑推理 数学建模 数学运算
用空间向量研究夹角问题 直观想象 逻辑推理 数学运算 数学建模
用空间向量解决实际问题、综合问题 直观想象 逻辑推理 数学建模 数学运算
一、本节内容分析
本节主要学习空间向量的应用,在空间中点、直线、平面的坐标表示的基础之上,运用空间向量解决线线、线面、面面的位置关系问题,解决计算空间距离、空间角问题等.
在位置关系部分主要是平行和垂直关系,将空间中线线、线面、面面的位置关系,转化为向量语言,进而运用向量的坐标表示,实现运用空间向量解决立体几何问题;在求距离、求空间角部分,主要是解决空间中点到线、点到面、两条平行线及两平行平面的距离问题,以及用空间向量解决空间中线线角、线面角及二面角问题,首先转化为向量语言,进而运用向量的坐标表示.
本节学习内容为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点,为培养学生思维提供了更广阔的空间.侧重提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.空间中点、直线、平面的向量表示 2.用空间向量研究直线、平面的平行关系 3.用空间向量研究直线、平面的垂直关系 4.用空间向量研究距离问题 5.用空间向量研究夹角问题 6.用空间向量解决实际问题、综合问题 直观想象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
学生普遍具有立体几何相关证明定理的基础,也具备一定的空间想象能力,对于向量的理解基础也是有的,但是对于利用空间向量证明、求解立体几何问题的掌握还是有一定的难度,需要较强的分析计算能力以及综合问题解决能力.要引导学生在具体的立体几何问题中,体会向量方法在解决立体几何中的作用,并引导学生自己总结利用空间向量解题步骤.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.空间中点、直线、平面的向量表示
2.用空间向量研究直线、平面的平行关系
3.用空间向量研究直线、平面的垂直关系
4.用空间向量研究距离问题
5.用空间向量研究夹角问题
6.用空间向量解决实际问题、综合问题
【教学目标设计】
1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.能表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系;能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理;能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.
3.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系;能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理;能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系.
4.能用向量语言表示并解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题.
5.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成角;理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成角;理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小.
6.熟悉用向量方法解决立体几何问题的步骤;会用综合法、向量法、坐标法解决立体几何题.
【教学策略设计】
本节主要是利用向量方法解决简单的立体几何问题,为了使学生掌握向量方法,要注意以典型的立体几何问题为例,让学生体会向量方法在解决立体几何问题中的作用,并引导学生自己归纳用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”,同时,要注意引导学生归纳向量法、综合法与坐标法的特点,根据具体问题的特点选择合适的方法,注意关注空间向量与立体几何知识间的联系,突出用向量方法解决立体几何问题,少教精教、先学后教,做到以学生的理解为中心,重点发展直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点
1.用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系.
2.理解运用向量方法求空间距离的原理.
3.理解运用向量方法求空间角的原理.
难点
1.用向量方法证明空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系.
2.掌握运用空间向量求空间距离的方法.
3.掌握运用空间向量求空间角的方法.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们,我们已经学过了空间向量及其坐标表示,并利用空间向量解决了一些有关空间位置和度量的问题,那如果和立体几何的证明结合起来,空间向量是否会成为一种好用的工具呢？其实建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键,比如说,大家看到的墙角,三个平面两两互相垂直,可以建立一个空间直角坐标系,而墙角这一个有限空间内包含的点、线都可以用具体的坐标表示出来,据此我们可以利用坐标运算,得到立体几何中相关的证明结论.
【设计意图】
举出墙角例子,增强学生空间想象力,同时也由学过的内容引出新知识,让学生形成数学系统,增强学生自主探究的学习意识.
教学精讲
师:同学们,立体几何的基本图形包括点、线、面.大家知道怎样在空间中表示一个点吗
【要点知识】
空间中点的向量表示
在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量来表示.我们把向量称为点的位置向量.如图.
师:直线的空间向量怎样表示呢
【以学定教】
从学生的角度出发,以点、线、面为基本单元,引出空间中点、线、面的坐标表示,有助于学生对向量的坐标表示相关概念的理解和掌握.
【教师提示:联系直线的两个要素:直线方向和直线上的点】
【学生思考问题,展开讨论,教师多媒体展示】
【要点知识】
空间中直线的向量表示
如图(1),是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得,即.
如图(2),取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使,①或.②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
师:空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定,这句话怎么理解 我们应该怎样证明 大家可以互相讨论一下.
【意义学习】
教师由对空间中直线的向量表示的证明.引发学生思考、交流、讨论,让学生掌握空间任意直线由直线上一点及其方向向量唯一确定.
【学生积极思考,积极讨论,师生互动、教师展示证明方法】
【方法策略】
空间中直线的向量表示
证明:设是空间中的任意一条直线,点为其上一点,点为其上任意一点,为其方向向量,
∴直线上任意一点能用直线上一点及直线的方向向量表示,且一个实数对应直线上唯一一个点空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
师:由上述概念,我们知道了空间中,点和直线的向量表示方法,那么平面怎样表示呢 同学们,可以联想一下空间向量基本定理.一个定点和两个定方向能否确定一个平面？一个定点和一个定方向能否确定一个平面
【先学后教】
教师引导学生从学过的空间基本定理相关知识出发,自主理解体会平面的表示方法,加深学习印象,先学后教.
【教师引导学生从平面向量基本定理作为切点思考,学生思考、讨论,教师多媒体展示空间平面的向量表示】
【要点知识】
空间中平面的向量表示
如图,取定空间任意一点,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数,使.我们把这个式子称为空间平面的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
师:空间任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定,我们应该怎样证明 大家可以互相讨论一下.
【学生积极思考,积极讨论,师生互动,教师展示证明方法】
【方法策略】
空间中平面的向量表示
证明:设平面为空间中任意平面,是平面内两个不共线向量,为平面内任意一点,为平面内的点,则,
∴平面内任意一点能用平面内一点及平面内两个不共线向量表示,且唯一一对实数对对应平面内唯一一个点,
∴空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
【说明论证能力】
教师由对空间中平面的向量表示的唯一确定性的证明,引发学生思考、交流、讨论,培养学生的说明论证能力.
师:好的,同学们,那一定要记住:空间中任意一点、任意一条直线、任意一个平面用向量表示的方法,为了方便后面的计算,我们还要知道一个概念,就是平面的法向量.
【要点知识】
空间中平面的法向量
如图,直线,取直线的方向向量,我们称向量为平面的法向量.给定一个点和一个向量,那么过点,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合.
师:因为我们学过立体几何中直线与平面垂直的定理,所以我们得到了平面法向量的概念,根据法向量,也可以确定一个平面.问大家一个问题:如果平面法向量为,另外还有一条直线,在直线上任取向量与有什么关系
【自主学习】
教师在具体的问题情境中启发学生主动思考解题,使学生对平面法向量的求法的掌握更加牢固.
【学生积极思考并回答】
生:平行.
师:正确！接下来,我们来看一道例题,请同学们思考一下,稍后请同学回答.
【典型例题】
求平面的法向量
例1 如图,在长方体中,是的中点,以为原点,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求平面的法向量;
(2)求平面的法向量.
师:想要得到一个平面的法向量,其实也就是要找一条与这个平面垂直的直线,怎样证明直线与平面垂直呢 我们需要先在这个平面内找到两条相交直线,都与一条直线垂直,则可以证得,这条直线的方向向量为平面的一个法向量.首先来看一下第一问,求平面的法向量,因为平面与轴垂直,所以它的法向量可以直接写出,就是轴方向,所以可设是它的一个法向量.然后我们看一下第二问,求平面的法向量.在这里我们可以先列出平面内点的坐标,进而表示出向量,请同学回答一下.
生:(2)因为是的中点,所以的坐标分别为,因此
师:正确!大家看黑板的解题步骤,这也是我们后边解法向量的通用解法.
【典例解析】
求平面的法向量
解:(1)因为轴垂直于平面,所以是平面的一个法向量.
(2)因为是的中点,所以的坐标分别为.因此
设是平面的法向量,则.
所以
所以
取,则.于是是平面的一个法向量.
【情境学习】
在求平面的法向量的问题中,学生独立思考,完成分析计算,在具体问题情境中学习,加深对求法向量方法的理解,加强解决问题的能力.
师:这个解题过程,我们可以分步骤总结:第一步,建立一个合适的空间直角坐标系;第二步,列出我们需要的点的坐标;第三步,把直线的方向向量以及平面内的相交向量用坐标表示;第四步,根据垂直向量的数量积为0,列出方程组;最后一步,求平面的法向量,我们只需要求出平面的一个法向量即可.好了,同学们,我们最后利用几道题目把我们所学的这些概念和方法应用一下吧.
【以学定教】
教师根据例题的解题过程,梳理出求平面法向量的步骤,方便学生记忆,深刻理解,以学生的理解为中心,有总结有练习.
【巩固练习】
空间中点、直线、平面的向量表示
1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量;( )
(2)若是直线的方向向量,则也是直线的方向向量;( )
(3)在空间直角坐标系中,是坐标平面的一个法向量.( )
2.在平行六面体中,是与的交点.以为空间的一个基底,求直线的一个方向向量.
3.在长方体中,.以为原点,以为空间的一个单位正交基底,建立空间直角坐标系,求平面的一个法向量.
【学生积极练习,独立完成,教师指定学生回答问题】
生1:1.(1)√;(2)×;(3)√.
生2:2.取直线的一个方向向量,如图.
∵为平行六面体,
∴为的中点,
∴.
生3:3.由题意可建立如图所示的空间直角坐标系.
,
∴.
设平面的法向量为
取,则,
【概括理解能力】
学生通过练习题目,更加深刻理解直线的方向向量和平面的法向量等相关知识,提高对知识的概括理解能力.
【分析计算能力】
通过对平面法向量的计算练习,加强对求解法向量方法的理解程度,提升分析计算能力.
∴平面的一个法向量为.
师:本节课我们主要学习了用空间向量研究直线、平面的位置关系,注意空间中点、线、面的表示方法,还要掌握求平面法向量的方法,注意一个平面的法向量有很多,我们只取其中一个最好表示的.关于空间向量的应用,主要体现在立体几何的证明和相关求解中.
【课堂小结】
空间中点、直线、平面的向量表示
【设计意图】
通过对空间中点、直线、平面的向量表示的学习,利用了以学定教、先学后教的教学策略和情境学习、自主学习的学习策略,培养了学生概括理解能力、说明论证能力、分析计算能力,提升了学生的直观想象、逻辑推理等核心素养.
教学评价
本节课主要学习空间向量的应用,主要是利用向量方法解决简单的立体几何问题,包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系,证明直线、平面位置关系的判定定理,用空间向量解决空间距离、夹角问题等,学会用综合法、向量法、坐标法解决立体几何中的问题.
【设计意图】
教师引导学生思考,使学生体会用空间向量解决立体几何问题相关知识方法的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,锻炼学生学科能力,提高素养.
应用所学知识,完成下面各题:
1.在直三棱柱中,为的中点,为的中点.
(1)求点到直线的距离;
(2)求点到平面的距离.
解析:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
直线的一个单位方向向量为,
故点到直线的距离.
(2)设平面的法向量为,
则即
取,得,故为平面的一个法向量,
因为,所以,
故到平面的距离.
【意义学习】
本题主要考查学生对距离公式的运用程度,在理解的基础上记忆点到直线的距离公式、点到平面的距离公式,正确代入数值并计算,培养学生的分析计算能力.体现意义学习.
【简单问题解决能力】
在求点到平面距离过程中,需要用到平面的法向量,利用已知的直线向量的坐标表示,求解出平面法向量,培养学生的简单问题解决能力.
2.在四棱锥中,底面,点为棱的中点.
(1)证明:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.
解析:(1)如图,取中点,连接分别为的中点,
∴,且,又由已知,可得,且,
∴四边形为平行四边形,∴平面平面,
∴平面.
(2)∵底面,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
∵,点为棱的中点.
∴.
∵,
设平面的法向量,由得
令,则,则直线与平面所成角满足:
,故直线与平面所成角的正弦值为.
【分析计算能力】
求空间中直线与平面所成角,如果用坐标法解决问题,需要首先建立合适的空间直角坐标系,正确表示出直线的方向向量和平面的法向量,套用公式分析计算求解,培养学生的分析计算能力.
(3)∵,
由点在棱上,设,
故,
由,得,解得,
即,
设平面的法向量为,由得
令,则,取平面的法向量,
则二面角的平面角满足:,
故二面角的余弦值为.
【发现创新能力】
本题求解二面角的余弦值,根据题意,求解出两个平面的法向量,再由求夹角余弦值公式求出数值,但是注意求解二面角时,还需回到图形,观察所求角是锐角还是钝角,从而确定最终得数,这个观察判断的过程培养学生的发现创新能力.
【以学定教】
教师要让学生理解并掌握立体几何问题中的空间向量解法及解题思路,会根据题目条件选定合适的方法,如空间向量中的基向量法、坐标法或是立体几何方法,并能在不同的具体情境中合理应用.
教学反思
本节课内容分为6课时,是空间向量的核心应用部分,教学中主要突出了几个方面:一是创设问题情景,通过现实情境提出问题,让学生初步体会运用向量解决立体几何问题的基本方法,并以此来激发学生的探究心理.二是突出类比学习,让学生类比向量解决平行问题,进而学习运用空间向量解决垂直问题,发展学生的类比思想和逻辑推理核心素养.三是进一步突出运用向量法解决立体几何问题的基本程序,发展学生的数学建模思想.四是典例解析,通过对典型问题的分析解决,帮助学生建立运用空间向量解决立体几何问题的基本思路.教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律,触发学生的思维,使教学过程真正成为学生的学习过程,以思维教学代替单纯的记忆教学.注意在探究问题时留给学生充分的时间,使数学教学成为数学活动的教学.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中要培养学生的空间想象力以及对公式的理解能力,要与前者学过的平面向量、立体几何相关知识做类比学习,在比较中加深对向量方法解决立体几何问题的理解与认识,还需加强学生的自主思考意识以及公式运用能力.
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课时1 空间中点、直线、平面的向量表示
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
空间中点、直线、平面的向量表示 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 直观想象 逻辑推理 【考查内容】 运用空间向量研究立体几何中图形的位置关系和度量关系,主要是用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系,用空间向量解决空间距离、夹角问题等,同时结合数形结合的数学思想、函数与方程的数学思想分析解决问题 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
用空间向量研究直线、平面的平行关系 直观想象 数学建模
用空间向量研究直线、平面的垂直关系 直观想象 逻辑推理 数学建模
用空间向量研究距离问题 直观想象 逻辑推理 数学建模 数学运算
用空间向量研究夹角问题 直观想象 逻辑推理 数学运算 数学建模
用空间向量解决实际问题、综合问题 直观想象 逻辑推理 数学建模 数学运算
一、本节内容分析
本节主要学习空间向量的应用,在空间中点、直线、平面的坐标表示的基础之上,运用空间向量解决线线、线面、面面的位置关系问题,解决计算空间距离、空间角问题等.
在位置关系部分主要是平行和垂直关系,将空间中线线、线面、面面的位置关系,转化为向量语言,进而运用向量的坐标表示,实现运用空间向量解决立体几何问题;在求距离、求空间角部分,主要是解决空间中点到线、点到面、两条平行线及两平行平面的距离问题,以及用空间向量解决空间中线线角、线面角及二面角问题,首先转化为向量语言,进而运用向量的坐标表示.
本节学习内容为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点,为培养学生思维提供了更广阔的空间.侧重提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.空间中点、直线、平面的向量表示 2.用空间向量研究直线、平面的平行关系 3.用空间向量研究直线、平面的垂直关系 4.用空间向量研究距离问题 5.用空间向量研究夹角问题 6.用空间向量解决实际问题、综合问题 直观想象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
学生普遍具有立体几何相关证明定理的基础,也具备一定的空间想象能力,对于向量的理解基础也是有的,但是对于利用空间向量证明、求解立体几何问题的掌握还是有一定的难度,需要较强的分析计算能力以及综合问题解决能力.要引导学生在具体的立体几何问题中,体会向量方法在解决立体几何中的作用,并引导学生自己总结利用空间向量解题步骤.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.空间中点、直线、平面的向量表示
2.用空间向量研究直线、平面的平行关系
3.用空间向量研究直线、平面的垂直关系
4.用空间向量研究距离问题
5.用空间向量研究夹角问题
6.用空间向量解决实际问题、综合问题
【教学目标设计】
1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.能表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系;能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理;能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.
3.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系;能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理;能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系.
4.能用向量语言表示并解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题.
5.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成角;理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成角;理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小.
6.熟悉用向量方法解决立体几何问题的步骤;会用综合法、向量法、坐标法解决立体几何题.
【教学策略设计】
本节主要是利用向量方法解决简单的立体几何问题,为了使学生掌握向量方法,要注意以典型的立体几何问题为例,让学生体会向量方法在解决立体几何问题中的作用,并引导学生自己归纳用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”,同时,要注意引导学生归纳向量法、综合法与坐标法的特点,根据具体问题的特点选择合适的方法,注意关注空间向量与立体几何知识间的联系,突出用向量方法解决立体几何问题,少教精教、先学后教,做到以学生的理解为中心,重点发展直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点
1.用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系.
2.理解运用向量方法求空间距离的原理.
3.理解运用向量方法求空间角的原理.
难点
1.用向量方法证明空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系.
2.掌握运用空间向量求空间距离的方法.
3.掌握运用空间向量求空间角的方法.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们,我们已经学过了空间向量及其坐标表示,并利用空间向量解决了一些有关空间位置和度量的问题,那如果和立体几何的证明结合起来,空间向量是否会成为一种好用的工具呢？其实建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键,比如说,大家看到的墙角,三个平面两两互相垂直,可以建立一个空间直角坐标系,而墙角这一个有限空间内包含的点、线都可以用具体的坐标表示出来,据此我们可以利用坐标运算,得到立体几何中相关的证明结论.
【设计意图】
举出墙角例子,增强学生空间想象力,同时也由学过的内容引出新知识,让学生形成数学系统,增强学生自主探究的学习意识.
教学精讲
师:同学们,立体几何的基本图形包括点、线、面.大家知道怎样在空间中表示一个点吗
【要点知识】
空间中点的向量表示
在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量来表示.我们把向量称为点的位置向量.如图.
师:直线的空间向量怎样表示呢
【以学定教】
从学生的角度出发,以点、线、面为基本单元,引出空间中点、线、面的坐标表示,有助于学生对向量的坐标表示相关概念的理解和掌握.
【教师提示:联系直线的两个要素:直线方向和直线上的点】
【学生思考问题,展开讨论,教师多媒体展示】
【要点知识】
空间中直线的向量表示
如图(1),是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得,即.
如图(2),取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使,①或.②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
师:空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定,这句话怎么理解 我们应该怎样证明 大家可以互相讨论一下.
【意义学习】
教师由对空间中直线的向量表示的证明.引发学生思考、交流、讨论,让学生掌握空间任意直线由直线上一点及其方向向量唯一确定.
【学生积极思考,积极讨论,师生互动、教师展示证明方法】
【方法策略】
空间中直线的向量表示
证明:设是空间中的任意一条直线,点为其上一点,点为其上任意一点,为其方向向量,
∴直线上任意一点能用直线上一点及直线的方向向量表示,且一个实数对应直线上唯一一个点空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
师:由上述概念,我们知道了空间中,点和直线的向量表示方法,那么平面怎样表示呢 同学们,可以联想一下空间向量基本定理.一个定点和两个定方向能否确定一个平面？一个定点和一个定方向能否确定一个平面
【先学后教】
教师引导学生从学过的空间基本定理相关知识出发,自主理解体会平面的表示方法,加深学习印象,先学后教.
【教师引导学生从平面向量基本定理作为切点思考,学生思考、讨论,教师多媒体展示空间平面的向量表示】
【要点知识】
空间中平面的向量表示
如图,取定空间任意一点,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数,使.我们把这个式子称为空间平面的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
师:空间任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定,我们应该怎样证明 大家可以互相讨论一下.
【学生积极思考,积极讨论,师生互动,教师展示证明方法】
【方法策略】
空间中平面的向量表示
证明:设平面为空间中任意平面,是平面内两个不共线向量,为平面内任意一点,为平面内的点,则,
∴平面内任意一点能用平面内一点及平面内两个不共线向量表示,且唯一一对实数对对应平面内唯一一个点,
∴空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
【说明论证能力】
教师由对空间中平面的向量表示的唯一确定性的证明,引发学生思考、交流、讨论,培养学生的说明论证能力.
师:好的,同学们,那一定要记住:空间中任意一点、任意一条直线、任意一个平面用向量表示的方法,为了方便后面的计算,我们还要知道一个概念,就是平面的法向量.
【要点知识】
空间中平面的法向量
如图,直线,取直线的方向向量,我们称向量为平面的法向量.给定一个点和一个向量,那么过点,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合.
师:因为我们学过立体几何中直线与平面垂直的定理,所以我们得到了平面法向量的概念,根据法向量,也可以确定一个平面.问大家一个问题:如果平面法向量为,另外还有一条直线,在直线上任取向量与有什么关系
【自主学习】
教师在具体的问题情境中启发学生主动思考解题,使学生对平面法向量的求法的掌握更加牢固.
【学生积极思考并回答】
生:平行.
师:正确！接下来,我们来看一道例题,请同学们思考一下,稍后请同学回答.
【典型例题】
求平面的法向量
例1 如图,在长方体中,是的中点,以为原点,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求平面的法向量;
(2)求平面的法向量.
师:想要得到一个平面的法向量,其实也就是要找一条与这个平面垂直的直线,怎样证明直线与平面垂直呢 我们需要先在这个平面内找到两条相交直线,都与一条直线垂直,则可以证得,这条直线的方向向量为平面的一个法向量.首先来看一下第一问,求平面的法向量,因为平面与轴垂直,所以它的法向量可以直接写出,就是轴方向,所以可设是它的一个法向量.然后我们看一下第二问,求平面的法向量.在这里我们可以先列出平面内点的坐标,进而表示出向量,请同学回答一下.
生:(2)因为是的中点,所以的坐标分别为,因此
师:正确!大家看黑板的解题步骤,这也是我们后边解法向量的通用解法.
【典例解析】
求平面的法向量
解:(1)因为轴垂直于平面,所以是平面的一个法向量.
(2)因为是的中点,所以的坐标分别为.因此
设是平面的法向量,则.
所以
所以
取,则.于是是平面的一个法向量.
【情境学习】
在求平面的法向量的问题中,学生独立思考,完成分析计算,在具体问题情境中学习,加深对求法向量方法的理解,加强解决问题的能力.
师:这个解题过程,我们可以分步骤总结:第一步,建立一个合适的空间直角坐标系;第二步,列出我们需要的点的坐标;第三步,把直线的方向向量以及平面内的相交向量用坐标表示;第四步,根据垂直向量的数量积为0,列出方程组;最后一步,求平面的法向量,我们只需要求出平面的一个法向量即可.好了,同学们,我们最后利用几道题目把我们所学的这些概念和方法应用一下吧.
【以学定教】
教师根据例题的解题过程,梳理出求平面法向量的步骤,方便学生记忆,深刻理解,以学生的理解为中心,有总结有练习.
【巩固练习】
空间中点、直线、平面的向量表示
1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量;( )
(2)若是直线的方向向量,则也是直线的方向向量;( )
(3)在空间直角坐标系中,是坐标平面的一个法向量.( )
2.在平行六面体中,是与的交点.以为空间的一个基底,求直线的一个方向向量.
3.在长方体中,.以为原点,以为空间的一个单位正交基底,建立空间直角坐标系,求平面的一个法向量.
【学生积极练习,独立完成,教师指定学生回答问题】
生1:1.(1)√;(2)×;(3)√.
生2:2.取直线的一个方向向量,如图.
∵为平行六面体,
∴为的中点,
∴.
生3:3.由题意可建立如图所示的空间直角坐标系.
,
∴.
设平面的法向量为
取,则,
【概括理解能力】
学生通过练习题目,更加深刻理解直线的方向向量和平面的法向量等相关知识,提高对知识的概括理解能力.
【分析计算能力】
通过对平面法向量的计算练习,加强对求解法向量方法的理解程度,提升分析计算能力.
∴平面的一个法向量为.
师:本节课我们主要学习了用空间向量研究直线、平面的位置关系,注意空间中点、线、面的表示方法,还要掌握求平面法向量的方法,注意一个平面的法向量有很多,我们只取其中一个最好表示的.关于空间向量的应用,主要体现在立体几何的证明和相关求解中.
【课堂小结】
空间中点、直线、平面的向量表示
【设计意图】
通过对空间中点、直线、平面的向量表示的学习,利用了以学定教、先学后教的教学策略和情境学习、自主学习的学习策略,培养了学生概括理解能力、说明论证能力、分析计算能力,提升了学生的直观想象、逻辑推理等核心素养.
教学评价
本节课主要学习空间向量的应用,主要是利用向量方法解决简单的立体几何问题,包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系,证明直线、平面位置关系的判定定理,用空间向量解决空间距离、夹角问题等,学会用综合法、向量法、坐标法解决立体几何中的问题.
【设计意图】
教师引导学生思考,使学生体会用空间向量解决立体几何问题相关知识方法的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,锻炼学生学科能力,提高素养.
应用所学知识,完成下面各题:
1.在直三棱柱中,为的中点,为的中点.
(1)求点到直线的距离;
(2)求点到平面的距离.
解析:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
直线的一个单位方向向量为,
故点到直线的距离.
(2)设平面的法向量为,
则即
取,得,故为平面的一个法向量,
因为,所以,
故到平面的距离.
【意义学习】
本题主要考查学生对距离公式的运用程度,在理解的基础上记忆点到直线的距离公式、点到平面的距离公式,正确代入数值并计算,培养学生的分析计算能力.体现意义学习.
【简单问题解决能力】
在求点到平面距离过程中,需要用到平面的法向量,利用已知的直线向量的坐标表示,求解出平面法向量,培养学生的简单问题解决能力.
2.在四棱锥中,底面,点为棱的中点.
(1)证明:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.
解析:(1)如图,取中点,连接分别为的中点,
∴,且,又由已知,可得,且,
∴四边形为平行四边形,∴平面平面,
∴平面.
(2)∵底面,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
∵,点为棱的中点.
∴.
∵,
设平面的法向量,由得
令,则,则直线与平面所成角满足:
,故直线与平面所成角的正弦值为.
【分析计算能力】
求空间中直线与平面所成角,如果用坐标法解决问题,需要首先建立合适的空间直角坐标系,正确表示出直线的方向向量和平面的法向量,套用公式分析计算求解,培养学生的分析计算能力.
(3)∵,
由点在棱上,设,
故,
由,得,解得,
即,
设平面的法向量为,由得
令,则,取平面的法向量,
则二面角的平面角满足:,
故二面角的余弦值为.
【发现创新能力】
本题求解二面角的余弦值,根据题意,求解出两个平面的法向量,再由求夹角余弦值公式求出数值,但是注意求解二面角时,还需回到图形,观察所求角是锐角还是钝角,从而确定最终得数,这个观察判断的过程培养学生的发现创新能力.
【以学定教】
教师要让学生理解并掌握立体几何问题中的空间向量解法及解题思路,会根据题目条件选定合适的方法,如空间向量中的基向量法、坐标法或是立体几何方法,并能在不同的具体情境中合理应用.
教学反思
本节课内容分为6课时,是空间向量的核心应用部分,教学中主要突出了几个方面:一是创设问题情景,通过现实情境提出问题,让学生初步体会运用向量解决立体几何问题的基本方法,并以此来激发学生的探究心理.二是突出类比学习,让学生类比向量解决平行问题,进而学习运用空间向量解决垂直问题,发展学生的类比思想和逻辑推理核心素养.三是进一步突出运用向量法解决立体几何问题的基本程序,发展学生的数学建模思想.四是典例解析,通过对典型问题的分析解决,帮助学生建立运用空间向量解决立体几何问题的基本思路.教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律,触发学生的思维,使教学过程真正成为学生的学习过程,以思维教学代替单纯的记忆教学.注意在探究问题时留给学生充分的时间,使数学教学成为数学活动的教学.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中要培养学生的空间想象力以及对公式的理解能力,要与前者学过的平面向量、立体几何相关知识做类比学习,在比较中加深对向量方法解决立体几何问题的理解与认识,还需加强学生的自主思考意识以及公式运用能力.
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