人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.4《空间向量的应用课时2》教学设计

《空间向量的应用》教学设计
课时2 用空间向量研究直线、平面的平行关系
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
空间中点、直线、平面的向量表示 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 直观想象 逻辑推理 【考查内容】 运用空间向量研究立体几何中图形的位置关系和度量关系,主要是用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系,用空间向量解决空间距离、夹角问题等,同时结合数形结合的数学思想、函数与方程的数学思想分析解决问题 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
用空间向量研究直线、平面的平行关系 直观想象 数学建模
用空间向量研究直线、平面的垂直关系 直观想象 逻辑推理 数学建模
用空间向量研究距离问题 直观想象 逻辑推理 数学建模 数学运算
用空间向量研究夹角问题 直观想象 逻辑推理 数学运算 数学建模
用空间向量解决实际问题、综合问题 直观想象 逻辑推理 数学建模 数学运算
一、本节内容分析
本节主要学习空间向量的应用,在空间中点、直线、平面的坐标表示的基础之上,运用空间向量解决线线、线面、面面的位置关系问题,解决计算空间距离、空间角问题等.
在位置关系部分主要是平行和垂直关系,将空间中线线、线面、面面的位置关系,转化为向量语言,进而运用向量的坐标表示,实现运用空间向量解决立体几何问题;在求距离、求空间角部分,主要是解决空间中点到线、点到面、两条平行线及两平行平面的距离问题,以及用空间向量解决空间中线线角、线面角及二面角问题,首先转化为向量语言,进而运用向量的坐标表示.
本节学习内容为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点,为培养学生思维提供了更广阔的空间.侧重提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.空间中点、直线、平面的向量表示 2.用空间向量研究直线、平面的平行关系 3.用空间向量研究直线、平面的垂直关系 4.用空间向量研究距离问题 5.用空间向量研究夹角问题 6.用空间向量解决实际问题、综合问题 直观想象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
学生普遍具有立体几何相关证明定理的基础,也具备一定的空间想象能力,对于向量的理解基础也是有的,但是对于利用空间向量证明、求解立体几何问题的掌握还是有一定的难度,需要较强的分析计算能力以及综合问题解决能力.要引导学生在具体的立体几何问题中,体会向量方法在解决立体几何中的作用,并引导学生自己总结利用空间向量解题步骤.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.空间中点、直线、平面的向量表示
2.用空间向量研究直线、平面的平行关系
3.用空间向量研究直线、平面的垂直关系
4.用空间向量研究距离问题
5.用空间向量研究夹角问题
6.用空间向量解决实际问题、综合问题
【教学目标设计】
1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.能表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系;能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理;能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.
3.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系;能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理;能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系.
4.能用向量语言表示并解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题.
5.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成角;理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成角;理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小.
6.熟悉用向量方法解决立体几何问题的步骤;会用综合法、向量法、坐标法解决立体几何题.
【教学策略设计】
本节主要是利用向量方法解决简单的立体几何问题,为了使学生掌握向量方法,要注意以典型的立体几何问题为例,让学生体会向量方法在解决立体几何问题中的作用,并引导学生自己归纳用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”,同时,要注意引导学生归纳向量法、综合法与坐标法的特点,根据具体问题的特点选择合适的方法,注意关注空间向量与立体几何知识间的联系,突出用向量方法解决立体几何问题,少教精教、先学后教,做到以学生的理解为中心,重点发展直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点
1.用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系.
2.理解运用向量方法求空间距离的原理.
3.理解运用向量方法求空间角的原理.
难点
1.用向量方法证明空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系.
2.掌握运用空间向量求空间距离的方法.
3.掌握运用空间向量求空间角的方法.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们,在立体几何一章,我们知道,要想得到空间中直线、平面的位置关系,需要严谨的证明,那么现在我们已经具有空间向量这一工具,那么直线、平面位置关系上的证明,可否利用空间向量的坐标运算得到解释呢
【学生阅读教材,积极思考】
教学精讲
师:首先来看一下平行的问题.
【要点知识】
用空间向量研究直线、平面的平行关系
线线平行:设分别是直线的方向向量,则,使得.
线面平行:设是直线的方向向量,是平面的法向量,,则.
面面平行:设分别是平面的法向量,则,使得.
【少教精教】
教师带领学生回顾学过的立体几何证明平行位置的知识,启发学生自主查看知识,少教精教,多由学生自主体会空间向量在证明平行位置关系的应用.
师:上述概念就是我们利用空间向量证明直线、平面的平行关系的方法,其中证明平面与平面平行,我们采用的是证明两个平面的法向量平行,大家还记得之前我们学的“平面与平面平行的判定定理”吗 “若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行”,那么如何利用向量证明这一判定定理呢
【典型例题】
利用空间向量证明面面平行的判定定理
例2 证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.
已知:如图,.
求证:.
师分析:设平面的法向量为,直线的方向向量分别为,则由已知条件可得,由此可以证明与平面内的任意一个向量垂直,即也是的法向量.
师:下面请同学证明一下.
【意义学习】
教师请同学独立思考证明,有助于加深学生对判定定理和空间向量之间关联的认识,掌握知识更牢固.
生解:因为,所以.
因为,
所以对任意点,存在,使得.
从而.
所以,向量也是平面的法向量.故.
师:正确,非常好！证明两个平面平行,其实也就是证明其中一个平面的法向量与另外一个平面内的任意向量都垂直即可,而另外一个平面内的任意向量怎么表示,我们可以借助共面向量定理来表示.由此我们也就证明出来了:“若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行”的判定定理.
师:下面我们看一道如何在立体几何图形中利用空间向量证明线面平行.
【概括理解能力】
通过利用向量方法证明线面平行,加深学生对空间向量的理解与掌握,培养概括理解能力.
【典型例题】
空间向量在线面平行中的应用
例3 如图,在长方体中,.线段上是否存在点,使得平面
师:同学们,有了向量的坐标运算,就可以使一些问题变得简单,之前我们要想证明一条直线平行于一个平面,我们需要在这个平面内再找一条与之平行的直线,而现在利用空间向量,怎么计算证明呢 比如这道题目,我们建立合适的空间直角坐标系,那么问题中涉及的点、向量以及平面的法向量都可以用坐标表示出来,下面先请同学把相关点的向量的坐标表示出来.
【先学后教】
教师由具体问题启发学生自主思考,设置分步提问,由浅入深,先由学生根据学过的空间直角坐标系知识独立完成基础部分,更好地理解题目,锻炼解题能力.
生解:以为原点,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为的坐标分别为,所以.
师:平面的法向量怎么表示
生:设是平面的法向量,则,即
所以
取,则.所以,是平面的一个法向量.
师:正确,我们选取一个法向量表示出来即可.接下来就是要把点的关系量表示出来:
由的坐标分别为,得.设点满足,则,所以.
令,得,解得,这样的点存在.
所以,当,即为的中点时,平面.
【分析计算能力】
应用向量方法解决线面平行的证明过程,是前面学过的空间直角坐标系与法向量求法相关知识的复习应用,也是应用空间向量证明平行位置关系的必备过程,计算求解,培养学生的分析计算能力.
师:本例中,我们是通过证明直线向量与平面法向量垂直,从而证得线面平行,可不可以通过共面向量定理,证得线面平行呢 同学们可以分组交流讨论一下.
【学生积极思考,分小组讨论交流,教师启发思路】
师:好的,同学们,我们一起来看一下这个证明过程,前面过程在建系设点,用坐标表示过程都是一样的,后面解题过程不同,同学们注意理解,分析其中思路.
【教师板书】
建立如图所示的空间直角坐标系,则,,
设P满足
设
存在使与共面,
∴当P为BC的中点时,平面.
【以学论教】
教师补充另外的解题方法,既是对前面学的共面向量定理的复习,也是对本节知识利用空间向量证明平行关系的加深理解,以学生的理解为中心,补充多角度解法.
师:通过以上学习,大家要注意到我们利用空间向量证明直线、平面与平面的平行关系,依据还是直线、平面平行那一部分的判定定理,所以我们现在总结回顾一下相关定理.
【要点知识】
立体几何中平行位置的判定定理
1.直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.
2.平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.
3.平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若,则.
(2)平行于同一平面的两个平面平行,即若,则.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若,则.
【深度学习】
在学习空间向量在证明平行位置的应用的过程中,也复习回顾立体几何部分的判定定理,深度学习,加深学生对概念的理解.
师:复习一下共线向量定理和共面向量定理,同学们要注意应用好这两个定理.
【要点知识】
共线向量定理和共面向量定理复习回顾
1.共线向量
(1)定义:如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量,记作:.
(2)共线向量定理:对任意两个空间向量的充要条件是存在实数,使.
2.共面向量
(1)定义:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.
(2)共面向量定理:如果两个向量不共线,那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,使.
【少教精教】
教师带领学生总结做题中能用到的定理、方法,回顾学过的共线定理、共面定理相关知识,少教精教,多由学生自主体会,自主归纳总结.
师:好的,同学们,接下来,我们练习几道题目,巩固一下所学知识.
【巩固练习】
用空间向量研究直线、平面的平行关系
1.用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”:若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.
2.如图,在四面体中,是的中点.直线上是否存在点,使得
3.如图,在正方体中,分别是面,面的中心．求证:平面.
【自主学习】
通过课堂练习,让学生独立完成题目,在练习中应用所学的知识,加深空间向量研究平行位置关系这种方法的理解的掌握,增强学生的自主探究意识.
【学生积极练习,独立完成,教师指定学生回答问题】
生1:1.已知:直线和平面,其中,且,求证:.
证明:设直线的方向向量分别为,平面的法向量为.
因为,所以.又因为,所以,
因此,因此.所以.
生2:2.(方法一)设在直线上存在点,满足.取一组基底,设为的中点,∴,
.
∵,
方程组无解,∴在直线AD上不存在点F,使得AE∥CF.
(方法二)当四面体为正四面体时,补形正四面体为正方体,如图,建立空间直角坐标系.
设正方体棱长为2,则,
∴.
设存在点,使,
∴,
∵,
方程组无解,∴在直线上不存在点,使得.
∴在四面体中,是的中点,直线上不存在点,使得.
生3:3.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为分别是面,面的中心,.
又.
设平面的法向量,则,
∴取.
又∵.
又平面平面.
师:同学们,最后我们一起总结一下本节课的主要学习内容.
【简单问题解决能力】
学生在证明线线平行、线面平行的具体的问题中,根据所学空间向量的知识,充分调用空间向量的坐标运算的解题方法,提高解题能力.
【设计意图】
通过对用空间向量研究直线、平面的平行关系的学习,利用了少教精教、以学论教、先学后教的教学策略和深度学习、自主学习的学习策略,培养了学生概括理解能力、分析计算、简单问题解决能力,提升了学生的直观想象、数学建模等核心素养.
【课堂小结】
用空间向量研究直线、平面的平行关系
教学评价
本节课主要学习空间向量的应用,主要是利用向量方法解决简单的立体几何问题,包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系,证明直线、平面位置关系的判定定理,用空间向量解决空间距离、夹角问题等,学会用综合法、向量法、坐标法解决立体几何中的问题.
【设计意图】
教师引导学生思考,使学生体会用空间向量解决立体几何问题相关知识方法的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,锻炼学生学科能力,提高素养.
应用所学知识,完成下面各题:
1.在直三棱柱中,为的中点,为的中点.
(1)求点到直线的距离;
(2)求点到平面的距离.
解析:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
直线的一个单位方向向量为,
故点到直线的距离.
(2)设平面的法向量为,
则即
取,得,故为平面的一个法向量,
因为,所以,
故到平面的距离.
【意义学习】
本题主要考查学生对距离公式的运用程度,在理解的基础上记忆点到直线的距离公式、点到平面的距离公式,正确代入数值并计算,培养学生的分析计算能力.体现意义学习.
【简单问题解决能力】
在求点到平面距离过程中,需要用到平面的法向量,利用已知的直线向量的坐标表示,求解出平面法向量,培养学生的简单问题解决能力.
2.在四棱锥中,底面,点为棱的中点.
(1)证明:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.
解析:(1)如图,取中点,连接分别为的中点,
∴,且,又由已知,可得,且,
∴四边形为平行四边形,∴平面平面,
∴平面.
(2)∵底面,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
∵,点为棱的中点.
∴.
∵,
设平面的法向量,由得
令,则,则直线与平面所成角满足:
,故直线与平面所成角的正弦值为.
【分析计算能力】
求空间中直线与平面所成角,如果用坐标法解决问题,需要首先建立合适的空间直角坐标系,正确表示出直线的方向向量和平面的法向量,套用公式分析计算求解,培养学生的分析计算能力.
(3)∵,
由点在棱上,设,
故,
由,得,解得,
即,
设平面的法向量为,由得
令,则,取平面的法向量,
则二面角的平面角满足:,
故二面角的余弦值为.
【发现创新能力】
本题求解二面角的余弦值,根据题意,求解出两个平面的法向量,再由求夹角余弦值公式求出数值,但是注意求解二面角时,还需回到图形,观察所求角是锐角还是钝角,从而确定最终得数,这个观察判断的过程培养学生的发现创新能力.
【以学定教】
教师要让学生理解并掌握立体几何问题中的空间向量解法及解题思路,会根据题目条件选定合适的方法,如空间向量中的基向量法、坐标法或是立体几何方法,并能在不同的具体情境中合理应用.
教学反思
本节课内容分为6课时,是空间向量的核心应用部分,教学中主要突出了几个方面:一是创设问题情景,通过现实情境提出问题,让学生初步体会运用向量解决立体几何问题的基本方法,并以此来激发学生的探究心理.二是突出类比学习,让学生类比向量解决平行问题,进而学习运用空间向量解决垂直问题,发展学生的类比思想和逻辑推理核心素养.三是进一步突出运用向量法解决立体几何问题的基本程序,发展学生的数学建模思想.四是典例解析,通过对典型问题的分析解决,帮助学生建立运用空间向量解决立体几何问题的基本思路.教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律,触发学生的思维,使教学过程真正成为学生的学习过程,以思维教学代替单纯的记忆教学.注意在探究问题时留给学生充分的时间,使数学教学成为数学活动的教学.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中要培养学生的空间想象力以及对公式的理解能力,要与前者学过的平面向量、立体几何相关知识做类比学习,在比较中加深对向量方法解决立体几何问题的理解与认识,还需加强学生的自主思考意识以及公式运用能力.
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