人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.4《空间向量的应用》课时4 教学设计

《空间向量的应用课时4》教学设计
课时4 用空间向量研究距离问题
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
空间中点、直线、平面的向量表示 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 直观想象 逻辑推理 【考查内容】 运用空间向量研究立体几何中图形的位置关系和度量关系,主要是用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系,用空间向量解决空间距离、夹角问题等,同时结合数形结合的数学思想、函数与方程的数学思想分析解决问题 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
用空间向量研究直线、平面的平行关系 直观想象 数学建模
用空间向量研究直线、平面的垂直关系 直观想象 逻辑推理 数学建模
用空间向量研究距离问题 直观想象 逻辑推理 数学建模 数学运算
用空间向量研究夹角问题 直观想象 逻辑推理 数学运算 数学建模
用空间向量解决实际问题、综合问题 直观想象 逻辑推理 数学建模 数学运算
一、本节内容分析
本节主要学习空间向量的应用,在空间中点、直线、平面的坐标表示的基础之上,运用空间向量解决线线、线面、面面的位置关系问题,解决计算空间距离、空间角问题等.
在位置关系部分主要是平行和垂直关系,将空间中线线、线面、面面的位置关系,转化为向量语言,进而运用向量的坐标表示,实现运用空间向量解决立体几何问题;在求距离、求空间角部分,主要是解决空间中点到线、点到面、两条平行线及两平行平面的距离问题,以及用空间向量解决空间中线线角、线面角及二面角问题,首先转化为向量语言,进而运用向量的坐标表示.
本节学习内容为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点,为培养学生思维提供了更广阔的空间.侧重提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.空间中点、直线、平面的向量表示 2.用空间向量研究直线、平面的平行关系 3.用空间向量研究直线、平面的垂直关系 4.用空间向量研究距离问题 5.用空间向量研究夹角问题 6.用空间向量解决实际问题、综合问题 直观想象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
学生普遍具有立体几何相关证明定理的基础,也具备一定的空间想象能力,对于向量的理解基础也是有的,但是对于利用空间向量证明、求解立体几何问题的掌握还是有一定的难度,需要较强的分析计算能力以及综合问题解决能力.要引导学生在具体的立体几何问题中,体会向量方法在解决立体几何中的作用,并引导学生自己总结利用空间向量解题步骤.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.空间中点、直线、平面的向量表示
2.用空间向量研究直线、平面的平行关系
3.用空间向量研究直线、平面的垂直关系
4.用空间向量研究距离问题
5.用空间向量研究夹角问题
6.用空间向量解决实际问题、综合问题
【教学目标设计】
1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.能表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系;能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理;能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.
3.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系;能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理;能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系.
4.能用向量语言表示并解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题.
5.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成角;理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成角;理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小.
6.熟悉用向量方法解决立体几何问题的步骤;会用综合法、向量法、坐标法解决立体几何题.
【教学策略设计】
本节主要是利用向量方法解决简单的立体几何问题,为了使学生掌握向量方法,要注意以典型的立体几何问题为例,让学生体会向量方法在解决立体几何问题中的作用,并引导学生自己归纳用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”,同时,要注意引导学生归纳向量法、综合法与坐标法的特点,根据具体问题的特点选择合适的方法,注意关注空间向量与立体几何知识间的联系,突出用向量方法解决立体几何问题,少教精教、先学后教,做到以学生的理解为中心,重点发展直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点
1.用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系.
2.理解运用向量方法求空间距离的原理.
3.理解运用向量方法求空间角的原理.
难点
1.用向量方法证明空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系.
2.掌握运用空间向量求空间距离的方法.
3.掌握运用空间向量求空间角的方法.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:我们知道,立体几何中的距离问题包括点到直线,点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等.如何用空间向量解决这些距离问题呢 下面我们先研究用向量方法求直线l外一点P到直线l的距离.
教学精讲
【情境设置】
利用空间向量探究点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为是直线上的定点,是直线外一点,如何利用这些条件求点到直线的距离
【先学后教】
教师引出立体几何中的距离问题,引导学生思考用向量方法解决求距离问题,先由学生自己建立起对所研究问题和要学习方法的认识.
【学生阅读题目,积极思考,教师讲解】
师:如图,向量在直线上的投影向量为,则是直角三角形.因为都是定点,所以与的夹角都是确定的.于是可求.再利用勾股定理,可以求出点到直线的距离.
【典例解析】
点到直线的距离例题讲解
解:设,则向量在直线上的投影向量.
在Rt中,由勾股定理,得
师:上述概念就是我们利用空间向量求点到直线的距离的方法,上述公式是从勾股定理出发,或者同学们也可以这样理解,求点到直线的距离,即为,而,而,所以,其实所表达的含义是一致的.注意表示的是直线的单位方向向量,其长度为1.那么类比于点到直线的距离的求法,如何求两条平行直线之间的距离
【发现创新能力】
教师提供点到直线的距离公式的另一种解释及推导过程,加深学生对应用空间向量求距离的知识和方法的掌握,培养学生的发现创新能力.
【要点知识】
直线到直线的距离
两条平行直线之间的距离,可在其中一条直线上任取一点,则两条平行直线间的距离就等于点到直线的距离.
师:那我们再来看一看怎样求平面外一点到平面的距离问题.
【要点知识】
平面外一点到平面的距离
已知平面的法向量为是平面内的定点,是平面外一点.过点作平面的垂线,交平面于点,则点到平面的距离为.
【情境学习】
学习点到平面的距离解法,通过具体图示,可以更形象直观地观察理解点和平面之间的位置关系,更有助于学生快速地理解知识和计算方法.
师:从点到平面的距离公式中,我们可以得到:
(1)实质上,是直线的方向向量,点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.
(2)如果一条直线与一个平面平行,可在直线上任取一点,可将线面距离转化为点到平面的距离求解.
(3)两个平行平面之间的距离即为:如果两个平面互相平行,在其中一个平面内任取一点,可将两个平行平面的距离转化为点到平面的距离求解.
【概括理解能力】
教师通过总结点到平面的距离公式,引导学生可以将线面距离、面面距离转化为点面距离去求解计算,培养学生的概括理解能力.
【典型例题】
利用空间向量求距离
例6 如图,在棱长为1的正方体中,为线段的中点,为线段的中点.
(1)求点到直线的距离;
(2)求直线到平面的距离.
【少教精教】
在分析了题目解决思路和方法后,教师设置分步问题,启发学生逐步思考,少教精教,多由学生自己去体会点到直线距离、直线到平面距离之间的方法关联.
师:同学们先根据条件建立空间直角坐标系,用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量,再利用有关公式,通过坐标运算得出相应的距离.所以我们可以以为原点,所在直线分别为轴、轴、轴,请同学说一下各点坐标.
生:
师:所以可以得到各边向量为
生:
师:取,则,套入公式,可得点到直线的距离为
生:所以,点到直线的距离为
师:很好！然后看第二问,先把平面的法向量求出来.请同学到黑板上作答.
生:设平面的法向量,则
所以
取,则.所以,是平面的一个法向量.
【自主学习】
学生通过教师的分步提问,逐步深度思考,实现自主学习,增强自主学习探究意识,加强对利用空间向量求解距离的方法的理解.
师:正确,然后我们看第二问要求直线到平面的距离,思考是否可以转化为求点到平面的距离
生:因为,所以,所以平面.所以点到平面的距离即为直线到平面的距离.
师:所以利用点到平面的距离公式,我们可以求出来距离是多少
生:又因为,所以点到平面的距离为
即直线到平面的距离为.
【以学定教】
教师启发学生自主思考,最终顺利得出正确答案,通过对求距离公式的正确应用与正确计算,可以使学生加深对知识和方法的理解.
师:正确！通过这道题目,我们将点到直线的距离公式以及点到平面的距离公式进行了实际应用,从中,在有的问题情境中,同学们要学会将所求进行转化,转化到我们熟悉的公式上来.在这里,我们可以总结一下利用空间向量解决立体几何问题的做题步骤,与用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”类似,空间向量同样有“三步曲”:
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题;
(3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.
师:学了空间向量的应用以后,大家在立体几何问题的解决中,也要注重方法的选择.
(1)解决立体几何中的问题可用三种方法:几何综合法、基向量法、坐标法.
(2)空间直角坐标系需在条件具备的前提下建立.不可盲目建系,否则会使运算烦琐,达不到化难为易的目的.
(3)建系后应结合图形特点和有关的几何性质对图中的“点、线、面”进行初步判断,选择适当的线段对应的向量进行运算.
师:好的,同学们,接下来我们练习几道题目,巩固一下所学知识.
【深度学习】
教师带领学生总结、对比解决问题的不同方法,学生在教师的引导下,对立体几何解题的方法细节引起注意,达到深度学习的效果.
【巩固练习】
用空间向量研究距离问题
1.在棱长为1的正方体中,点到平面的距离等于_________;直线到平面的距离等于_________;平面到平面的距离等于__________.
2.如图,在棱长为1的正方体中,为线段的中点,为线段的中点.
(1)求点到直线的距离;
(2)求直线到直线的距离;
(3)求点到平面的距离;
(4)求直线到平面的距离.
3.如图,在棱长为1的正方体中,求平面与平面的距离.
【分析计算能力】
在利用空间向量求距离这一部分,主要需要正确应用公式并正确计算,通过对具体题目的思考,对公式的应用,培养学生解题的分析计算能力.
【学生积极练习,独立完成,教师指定学生回答问题】
生.如图,点到平面的距离等于线段的长,又点到平面的距离为1.
∵直线平面,故直线到平面的距离即为点到平面的距离.又点到平面的距离为的长,,
∴直线到平面的距离为1.
∵平面平面平面到平面的距离即为点到平面的距离,为线段的长.又两平行平面的距离为1.
答案:1 1 1
【简单问题解决能力】
学生自主思考,用空间向量解决点、线、面之间的距离问题.
生2:2.建立如图所示的空间直角坐标系,则.
【情境学习】
在具体的问题情境中,分析不同的关键信息条件,选取合适的求距离的公式,代入数值计算结果,通过问题情境的不断练习,达到对知识和方法的深度理解与掌握.
(1).
设,
∴点到直线的距离为.
(2)∵,
∴,
∴点到直线的距离即为直线到直线的距离.
.
设,
∴直线到直线的距离为.
(3)设平面的法向量,
又
取,则.
又点到平面的距离为.
(4)∵平面平面,
∴到平面的距离即为到平面的距离.
又平面的单位法向量,
∴直线到平面的距离为.
【意义学习】
通过对用空间向量研究距离问题习题的练习,巩固所学知识,体现意义学习.
【分析计算能力】
在不同的具体问题情境中,调用所学的求距离公式和空间向量的计算方法,加深对知识和方法的掌握,培养分析计算能力.
生3:3.建立如图所示的空间直角坐标系,则,
,
∴,
∴平面平面.
∴点到平面的距离即为两平行平面的距离.
设平面的法向量,则
取,
∴,
∴.又,
∴平面与平面的距离为.
师:最后一起总结一下本节所学:
【课堂小结】
用空间向量研究距离问题
【设计意图】
通过对用空间向量研究空间距离的学习,利用了以学定教、少教精教、先学后教的教学策略和深度学习、自主学习、情境学习的学习策略,培养了学生概括理解能力、分析计算、发现创新、简单问题解决能力,提升了学生的直观想象、数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养.
教学评价
本节课主要学习空间向量的应用,主要是利用向量方法解决简单的立体几何问题,包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系,证明直线、平面位置关系的判定定理,用空间向量解决空间距离、夹角问题等,学会用综合法、向量法、坐标法解决立体几何中的问题.
应用所学知识,完成下面各题:
1.在直三棱柱中,为的中点,为的中点.
(1)求点到直线的距离;
(2)求点到平面的距离.
解析:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
直线的一个单位方向向量为,
故点到直线的距离.
(2)设平面的法向量为,
则即
取,得,故为平面的一个法向量,
因为,所以,
故到平面的距离.
【意义学习】
本题主要考查学生对距离公式的运用程度,在理解的基础上记忆点到直线的距离公式、点到平面的距离公式,正确代入数值并计算,培养学生的分析计算能力.体现意义学习.
【简单问题解决能力】
在求点到平面距离过程中,需要用到平面的法向量,利用已知的直线向量的坐标表示,求解出平面法向量,培养学生的简单问题解决能力.
2.在四棱锥中,底面,点为棱的中点.
(1)证明:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.
解析:(1)如图,取中点,连接分别为的中点,
∴,且,又由已知,可得,且,
∴四边形为平行四边形,∴平面平面,
∴平面.
(2)∵底面,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
∵,点为棱的中点.
∴.
∵,
设平面的法向量,由得
令,则,则直线与平面所成角满足:
,故直线与平面所成角的正弦值为.
【分析计算能力】
求空间中直线与平面所成角,如果用坐标法解决问题,需要首先建立合适的空间直角坐标系,正确表示出直线的方向向量和平面的法向量,套用公式分析计算求解,培养学生的分析计算能力.
(3)∵,
由点在棱上,设,
故,
由,得,解得,
即,
设平面的法向量为,由得
令,则,取平面的法向量,
则二面角的平面角满足:,
故二面角的余弦值为.
【发现创新能力】
本题求解二面角的余弦值,根据题意,求解出两个平面的法向量,再由求夹角余弦值公式求出数值,但是注意求解二面角时,还需回到图形,观察所求角是锐角还是钝角,从而确定最终得数,这个观察判断的过程培养学生的发现创新能力.
【以学定教】
教师要让学生理解并掌握立体几何问题中的空间向量解法及解题思路,会根据题目条件选定合适的方法,如空间向量中的基向量法、坐标法或是立体几何方法,并能在不同的具体情境中合理应用.
教学反思
本节课内容分为6课时,是空间向量的核心应用部分,教学中主要突出了几个方面:一是创设问题情景,通过现实情境提出问题,让学生初步体会运用向量解决立体几何问题的基本方法,并以此来激发学生的探究心理.二是突出类比学习,让学生类比向量解决平行问题,进而学习运用空间向量解决垂直问题,发展学生的类比思想和逻辑推理核心素养.三是进一步突出运用向量法解决立体几何问题的基本程序,发展学生的数学建模思想.四是典例解析,通过对典型问题的分析解决,帮助学生建立运用空间向量解决立体几何问题的基本思路.教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律,触发学生的思维,使教学过程真正成为学生的学习过程,以思维教学代替单纯的记忆教学.注意在探究问题时留给学生充分的时间,使数学教学成为数学活动的教学.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中要培养学生的空间想象力以及对公式的理解能力,要与前者学过的平面向量、立体几何相关知识做类比学习,在比较中加深对向量方法解决立体几何问题的理解与认识,还需加强学生的自主思考意识以及公式运用能力.
1 / 5