人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.4《空间向量的应用---空间向量研究距离问题》教学设计
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.4《空间向量的应用---空间向量研究距离问题》教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 830.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-16 11:32:02 | ||
图片预览
文档简介
《1.4空间向量的应用---空间向量研究距离问题》
教学设计
一、单元內容及其解析
1.内容
本单元包括运用空间向量解决立体几何中的距离和夹角等度量问题，知识结构图如下：
本单元建议用3课时：第1课时，用向量方法研究距离问题；第2课时，用向量方法研究夹角问题；第3课时，解决综合性问题.
2.内容解析
立体几何研究空间图形的形状、大小及其位置关系.距离和角度是立体几何中的基本度量.距离主要包含两点间的距离，点到直线的距离，平行线间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离（直线与平面平行），平行平面间的距离，等等；角度主要包含两条直线所成的角，直线和平面所成的角，两个平面所成的角，等等.
对于距离问题，由于前面已研究了两点间的距离，本单元利用向量投影统一研究其余距离问题，其中点到直线的距离，点到平面的距离是核心，其他距离问题都可以转化为这两类距离进行求解.对于角度问题，利用直线的方向向量和平面的法向量，统一将这些角度化归为这些向量之间的夹角，进而利用向量的数量积解决问题.
通过本单元求解距离和角度的问题，可以帮助学生归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，并自觉地运用“三步曲”解决立体几何问题，从而进一步体会向量及其运算在解决立体几何问题中的作用和普适性，培养学生直观想象、数学运算和逻辑推理等素养.
基于以上分析，确定本单元的教学重点：利用投影向量推导点到直线的距离公式和点到平面的距离公式，利用向量的数量积推导直线、平面间的夹角公式，运用“三步曲”解决立体几何问题.
二、单元目标及其解析
1.目标
（1）能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、直线到平面（直线与平面平行）、相互平行的平面的距离问题.
（2）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角（夹角）问题.
（3）理解用向量方法解决立体几何问题的程序，并用来解决立体几何问题，体会向量方法的作用.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）能利用向量投影推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式.能把相互平行的直线间的距离、直线到平面的距离（直线与平面平行）、相互平行的平面间的距离转化为点到直线的距离或点到平面的距离，进而求得上述距离.
（2）能通过实例归纳出利用向量的数量积求空间两条异面直线所成角的一般方法；能够利用向量的数量积得出直线与平面、平面与平面所成角的计算公式，并用来解决有关夹角问题.体会利用向量数量积解决空间角度问题的优势.
（3）能归纳出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，并自觉地运用“三步曲”解决立体几何中的问题；通过用向量方法、综合几何方法从不同角度解决立体几何问题，体会向量方法的优势以及向量及其运算在解决立体几何问题中的作用.
三、单元教学问题诊断分析
学生在“立体几何初步”的学习中，对于距离和夹角有了一定的认识，但缺乏整体性、系统性.在本章前面的学习中，也已经利用空间向量及其运算、空间向量基本定理等解决了一些简单的立体几何问题，但对于其中的向量方法体会还不够深刻，对于用空间向量解决立体几何问题“三步曲”，也达不到熟练运用的程度，特别是在解决综合性问题时，常常对其中的第一步“建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题”缺乏经验和体会.
本单元的教学难点为：整体理解空间距离公式和角度公式，以及运用“三步曲”解决立体几何中的综合问题.
四、教学过程设计
（一）教学内容
点到直线、点到平面、相互平行的直线、直线到平面（直线与平面平行）、相互平行的平面的距离.
（二）教学目标
能利用投影向量得到点到直线、点到平面的距离公式，结合一些具体的距离问题的解决，归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，提升直观想象、数学运算等素养.
（三）教学重点与难点
重点：利用投影向量推导点到直线的距离公式和点到平面的距离公式.
难点：利用投影向量统一研究空间距离问题.
（四）教学过程设计
引导语：前面，我们通过直线的方向向量、平面的法向量，运用向量的线性运算、数量积运算等研究了直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的位置关系.下面我们继续用向量方法研究立体几何中的距离和角度等度量问题，进一步体会解决立体几何中有关问题的向量方法.
1.明确研究内容，聚焦基本问题
问题1：立体几何中有哪些距离问题？
师生活动：通过教师提问，学生回答，确定立体几何中的各种距离问题.教师进一步指出，我们已经在学习空间向量的坐标运算时学习了两点间的距离，接下来进一步利用向量研究其他距离问题.
追问：你认为可以如何研究这些距离问题？
师生活动：教师进一步引导学生将上述距离问题归为两类，并由学生交流、讨论得出研究的路径，两点间的距离是根本，点到直线的距离和点到平面的距离是基础，其他距离问题都可以转化为这两类距离问题.
设计意图：明确研究内容和研究思路，将距离问题归类，引导学生研究其中最基本的问题.
2.明晰要素，向量表示，探究点到直线的距离
问题2：已知一条直线和直线外一点，求点到直线的距离.
追问1：问题中有哪些几何要素？如何用向量来表示这些几何要素？
师生活动：教师引导学生用向量表示问题中的点和直线两个几何要素.用直线上任意一点和点构成向量，建立点与直线的关联；直线由一个点和一个方向向量确定，可以取单位方向向量表示直线的方向向量.
追问2：作出点到直线的距离，向量与点到直线的距离之间有什么关系？
师生活动：学生自主探究，得出向量及其在直线上的投影向量与之间的关系，得到（图1）.
追问3：你能借助图形，用向量方法求出点到直线的距离吗？
师生活动：教师先引导学生得出在直线上的投影向量的表达式，进而在中，由勾股定理得点到直线的距离公式
.
设计意图：引导学生自主探究，利用向量表示问题中的几何元素，再利用投影向量以及勾股定理推导点到直线的距离公式.
问题3：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
师生活动：教师引导学生分析，问题中的条件是什么，如何利用条件实现问题的转化.通过讨论得出将两条平行直线之间的距离转化为点到直线的距离.
设计意图：让学生感悟转化思想，化未知为已知.为后续把直线与平面间的距离、两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，在思想方法上作铺垫.
3.类比探究，推导点到平面的距离公式
问题4：类似于点到直线的距离，如何求平面外一点到平面的距离？
追间1：类似于直线可由一个点和方向向量确定，确定一个平面的条件是什么？
师生活动：由学生回答.
追问2：你能类比求点到直线的距离的方法，利用向量投影求出点到平面的距离吗？
师生活动：学生独立思考，然后分组讨论交流；教师巡视、点拨；学生分享研究成果，多媒体投影展示，师生评价，梳理成果，得出用空间向量求点到平面的距离的步骤（图2）：
第一步，确定平面的法向量；
第二步，选择“参考向量”；
第三步，确定“参考向量”向法向量的的投影向量；
第四步，求投影向量的模长，得到
设计意图：类比点到直线距离的研究过程，合作探究，得到点到平面的距离公式，让学生进一步体会平面的法向量在刻画平面、求距离中的作用.在求解点到平面的距离的过程中，平面的法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了图形直观，又提供了代数定量刻画.在这个过程中，向量与起点无关的自由性也为求距离带来了便利.
问题5：如何求平行于平面的直线到平面的距离？两个平行平面之间的距离呢？
师生活动：通过学生回答，把问题转化为求平面外一点到平面的距离，由此得到求距离问题的统一公式.
设计意图：师生共析，将平行于平面的直线到平面的距离和两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，得到统一的向量表达式，进一步体会转化的思想.
4.典型例题，实践应用，归纳“三步曲”
例1如图3，在棱长为1的正方体 中，为线段的中点，为线段的中点.
（1）求点到直线的距离；
（2）求直线到面的距离.
师生活动：教师引导学生分析问题的条件和所求，再根据问题条件建立适当的直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量、平面的法向量，再利用有关公式，经过坐标运算解决问题.本题的第一问师生共同分析完成，教师示范；第二问学生完成，教师评价.
设计意图：通过典型例题，使学生巩固并逐步掌握利用向量方法求空间距离的方法，体会向量方法在解决距离问题中的作用，渗透用空间向量解决立体几何问题的一般过程.
课后练习：请同学们课后试一试用综合几何的方法求解例题中的两个距离.与教科书中用向量方法求解进行比较，你有什么体会？
设计意图：通过利用向量方法和综合几何方法解决空间距离问题，引导学生体会向量方法的优势.
问题6：结合例1，回顾用空间向量解决距离问题的过程，你能总结用向量方法解决立体几何问题的基本步骤吗？
师生活动：学生先讨论回答，师生共同归纳，得到“三步曲”.
设计意图：结合例1，以及以前的一些用空间向量解决立体几何的问题，梳理出“三步曲”，体会向量方法是解决立体几何问题的普适性方法.
5.梳理归纳，感悟本质
问题7：回顾这节课的学习，我们学习了哪些内容？用的是什么方法？
设计意图：通过课堂小结，梳理总结本节课所学知识和学习过程，提炼用向量方法解决距离问题的过程与方法，使学生形成用向量方法研究距离问题的完整认识，进一步体会用向量方法解决立体几何问题的一般步骤.
6.布置作业
教科书习题1.4第6，7题.
（五）目标检测设计
1.在棱长为1的正方体中，点到平面的距离等于________;直线到平面的距离等于________；平面到平面的距离等于________.
设计意图：考查利用向量方法解决空间距离问题的能力.
2.如图，在棱长为1的正方体 中，为线段的中点，为线段的中点.
（1）求点到直线的距离；
（2）求直线到直线的距离；
（3）求点到平面的距离；
（4）求直线到平面的距离.
设计意图：考查利用向量方法解决空间距离问题的能力.
1 / 8
教学设计
一、单元內容及其解析
1.内容
本单元包括运用空间向量解决立体几何中的距离和夹角等度量问题，知识结构图如下：
本单元建议用3课时：第1课时，用向量方法研究距离问题；第2课时，用向量方法研究夹角问题；第3课时，解决综合性问题.
2.内容解析
立体几何研究空间图形的形状、大小及其位置关系.距离和角度是立体几何中的基本度量.距离主要包含两点间的距离，点到直线的距离，平行线间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离（直线与平面平行），平行平面间的距离，等等；角度主要包含两条直线所成的角，直线和平面所成的角，两个平面所成的角，等等.
对于距离问题，由于前面已研究了两点间的距离，本单元利用向量投影统一研究其余距离问题，其中点到直线的距离，点到平面的距离是核心，其他距离问题都可以转化为这两类距离进行求解.对于角度问题，利用直线的方向向量和平面的法向量，统一将这些角度化归为这些向量之间的夹角，进而利用向量的数量积解决问题.
通过本单元求解距离和角度的问题，可以帮助学生归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，并自觉地运用“三步曲”解决立体几何问题，从而进一步体会向量及其运算在解决立体几何问题中的作用和普适性，培养学生直观想象、数学运算和逻辑推理等素养.
基于以上分析，确定本单元的教学重点：利用投影向量推导点到直线的距离公式和点到平面的距离公式，利用向量的数量积推导直线、平面间的夹角公式，运用“三步曲”解决立体几何问题.
二、单元目标及其解析
1.目标
（1）能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、直线到平面（直线与平面平行）、相互平行的平面的距离问题.
（2）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角（夹角）问题.
（3）理解用向量方法解决立体几何问题的程序，并用来解决立体几何问题，体会向量方法的作用.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）能利用向量投影推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式.能把相互平行的直线间的距离、直线到平面的距离（直线与平面平行）、相互平行的平面间的距离转化为点到直线的距离或点到平面的距离，进而求得上述距离.
（2）能通过实例归纳出利用向量的数量积求空间两条异面直线所成角的一般方法；能够利用向量的数量积得出直线与平面、平面与平面所成角的计算公式，并用来解决有关夹角问题.体会利用向量数量积解决空间角度问题的优势.
（3）能归纳出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，并自觉地运用“三步曲”解决立体几何中的问题；通过用向量方法、综合几何方法从不同角度解决立体几何问题，体会向量方法的优势以及向量及其运算在解决立体几何问题中的作用.
三、单元教学问题诊断分析
学生在“立体几何初步”的学习中，对于距离和夹角有了一定的认识，但缺乏整体性、系统性.在本章前面的学习中，也已经利用空间向量及其运算、空间向量基本定理等解决了一些简单的立体几何问题，但对于其中的向量方法体会还不够深刻，对于用空间向量解决立体几何问题“三步曲”，也达不到熟练运用的程度，特别是在解决综合性问题时，常常对其中的第一步“建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题”缺乏经验和体会.
本单元的教学难点为：整体理解空间距离公式和角度公式，以及运用“三步曲”解决立体几何中的综合问题.
四、教学过程设计
（一）教学内容
点到直线、点到平面、相互平行的直线、直线到平面（直线与平面平行）、相互平行的平面的距离.
（二）教学目标
能利用投影向量得到点到直线、点到平面的距离公式，结合一些具体的距离问题的解决，归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，提升直观想象、数学运算等素养.
（三）教学重点与难点
重点：利用投影向量推导点到直线的距离公式和点到平面的距离公式.
难点：利用投影向量统一研究空间距离问题.
（四）教学过程设计
引导语：前面，我们通过直线的方向向量、平面的法向量，运用向量的线性运算、数量积运算等研究了直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的位置关系.下面我们继续用向量方法研究立体几何中的距离和角度等度量问题，进一步体会解决立体几何中有关问题的向量方法.
1.明确研究内容，聚焦基本问题
问题1：立体几何中有哪些距离问题？
师生活动：通过教师提问，学生回答，确定立体几何中的各种距离问题.教师进一步指出，我们已经在学习空间向量的坐标运算时学习了两点间的距离，接下来进一步利用向量研究其他距离问题.
追问：你认为可以如何研究这些距离问题？
师生活动：教师进一步引导学生将上述距离问题归为两类，并由学生交流、讨论得出研究的路径，两点间的距离是根本，点到直线的距离和点到平面的距离是基础，其他距离问题都可以转化为这两类距离问题.
设计意图：明确研究内容和研究思路，将距离问题归类，引导学生研究其中最基本的问题.
2.明晰要素，向量表示，探究点到直线的距离
问题2：已知一条直线和直线外一点，求点到直线的距离.
追问1：问题中有哪些几何要素？如何用向量来表示这些几何要素？
师生活动：教师引导学生用向量表示问题中的点和直线两个几何要素.用直线上任意一点和点构成向量，建立点与直线的关联；直线由一个点和一个方向向量确定，可以取单位方向向量表示直线的方向向量.
追问2：作出点到直线的距离，向量与点到直线的距离之间有什么关系？
师生活动：学生自主探究，得出向量及其在直线上的投影向量与之间的关系，得到（图1）.
追问3：你能借助图形，用向量方法求出点到直线的距离吗？
师生活动：教师先引导学生得出在直线上的投影向量的表达式，进而在中，由勾股定理得点到直线的距离公式
.
设计意图：引导学生自主探究，利用向量表示问题中的几何元素，再利用投影向量以及勾股定理推导点到直线的距离公式.
问题3：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
师生活动：教师引导学生分析，问题中的条件是什么，如何利用条件实现问题的转化.通过讨论得出将两条平行直线之间的距离转化为点到直线的距离.
设计意图：让学生感悟转化思想，化未知为已知.为后续把直线与平面间的距离、两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，在思想方法上作铺垫.
3.类比探究，推导点到平面的距离公式
问题4：类似于点到直线的距离，如何求平面外一点到平面的距离？
追间1：类似于直线可由一个点和方向向量确定，确定一个平面的条件是什么？
师生活动：由学生回答.
追问2：你能类比求点到直线的距离的方法，利用向量投影求出点到平面的距离吗？
师生活动：学生独立思考，然后分组讨论交流；教师巡视、点拨；学生分享研究成果，多媒体投影展示，师生评价，梳理成果，得出用空间向量求点到平面的距离的步骤（图2）：
第一步，确定平面的法向量；
第二步，选择“参考向量”；
第三步，确定“参考向量”向法向量的的投影向量；
第四步，求投影向量的模长，得到
设计意图：类比点到直线距离的研究过程，合作探究，得到点到平面的距离公式，让学生进一步体会平面的法向量在刻画平面、求距离中的作用.在求解点到平面的距离的过程中，平面的法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了图形直观，又提供了代数定量刻画.在这个过程中，向量与起点无关的自由性也为求距离带来了便利.
问题5：如何求平行于平面的直线到平面的距离？两个平行平面之间的距离呢？
师生活动：通过学生回答，把问题转化为求平面外一点到平面的距离，由此得到求距离问题的统一公式.
设计意图：师生共析，将平行于平面的直线到平面的距离和两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，得到统一的向量表达式，进一步体会转化的思想.
4.典型例题，实践应用，归纳“三步曲”
例1如图3，在棱长为1的正方体 中，为线段的中点，为线段的中点.
（1）求点到直线的距离；
（2）求直线到面的距离.
师生活动：教师引导学生分析问题的条件和所求，再根据问题条件建立适当的直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量、平面的法向量，再利用有关公式，经过坐标运算解决问题.本题的第一问师生共同分析完成，教师示范；第二问学生完成，教师评价.
设计意图：通过典型例题，使学生巩固并逐步掌握利用向量方法求空间距离的方法，体会向量方法在解决距离问题中的作用，渗透用空间向量解决立体几何问题的一般过程.
课后练习：请同学们课后试一试用综合几何的方法求解例题中的两个距离.与教科书中用向量方法求解进行比较，你有什么体会？
设计意图：通过利用向量方法和综合几何方法解决空间距离问题，引导学生体会向量方法的优势.
问题6：结合例1，回顾用空间向量解决距离问题的过程，你能总结用向量方法解决立体几何问题的基本步骤吗？
师生活动：学生先讨论回答，师生共同归纳，得到“三步曲”.
设计意图：结合例1，以及以前的一些用空间向量解决立体几何的问题，梳理出“三步曲”，体会向量方法是解决立体几何问题的普适性方法.
5.梳理归纳，感悟本质
问题7：回顾这节课的学习，我们学习了哪些内容？用的是什么方法？
设计意图：通过课堂小结，梳理总结本节课所学知识和学习过程，提炼用向量方法解决距离问题的过程与方法，使学生形成用向量方法研究距离问题的完整认识，进一步体会用向量方法解决立体几何问题的一般步骤.
6.布置作业
教科书习题1.4第6，7题.
（五）目标检测设计
1.在棱长为1的正方体中，点到平面的距离等于________;直线到平面的距离等于________；平面到平面的距离等于________.
设计意图：考查利用向量方法解决空间距离问题的能力.
2.如图，在棱长为1的正方体 中，为线段的中点，为线段的中点.
（1）求点到直线的距离；
（2）求直线到直线的距离；
（3）求点到平面的距离；
（4）求直线到平面的距离.
设计意图：考查利用向量方法解决空间距离问题的能力.
1 / 8