人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册1.4 《空间向量的应用》课时5 教学设计

《空间向量的应用》教学设计
课时5用空间向量研究夹角问题
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
空间中点、直线、平面的向量表示 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 直观想象 逻辑推理 【考查内容】 运用空间向量研究立体几何中图形的位置关系和度量关系,主要是用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系,用空间向量解决空间距离、夹角问题等,同时结合数形结合的数学思想、函数与方程的数学思想分析解决问题 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
用空间向量研究直线、平面的平行关系 直观想象 数学建模
用空间向量研究直线、平面的垂直关系 直观想象 逻辑推理 数学建模
用空间向量研究距离问题 直观想象 逻辑推理 数学建模 数学运算
用空间向量研究夹角问题 直观想象 逻辑推理 数学运算 数学建模
用空间向量解决实际问题、综合问题 直观想象 逻辑推理 数学建模 数学运算
一、本节内容分析
本节主要学习空间向量的应用,在空间中点、直线、平面的坐标表示的基础之上,运用空间向量解决线线、线面、面面的位置关系问题,解决计算空间距离、空间角问题等.
在位置关系部分主要是平行和垂直关系,将空间中线线、线面、面面的位置关系,转化为向量语言,进而运用向量的坐标表示,实现运用空间向量解决立体几何问题;在求距离、求空间角部分,主要是解决空间中点到线、点到面、两条平行线及两平行平面的距离问题,以及用空间向量解决空间中线线角、线面角及二面角问题,首先转化为向量语言,进而运用向量的坐标表示.
本节学习内容为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点,为培养学生思维提供了更广阔的空间.侧重提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.空间中点、直线、平面的向量表示 2.用空间向量研究直线、平面的平行关系 3.用空间向量研究直线、平面的垂直关系 4.用空间向量研究距离问题 5.用空间向量研究夹角问题 6.用空间向量解决实际问题、综合问题 直观想象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
学生普遍具有立体几何相关证明定理的基础,也具备一定的空间想象能力,对于向量的理解基础也是有的,但是对于利用空间向量证明、求解立体几何问题的掌握还是有一定的难度,需要较强的分析计算能力以及综合问题解决能力.要引导学生在具体的立体几何问题中,体会向量方法在解决立体几何中的作用,并引导学生自己总结利用空间向量解题步骤.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.空间中点、直线、平面的向量表示
2.用空间向量研究直线、平面的平行关系
3.用空间向量研究直线、平面的垂直关系
4.用空间向量研究距离问题
5.用空间向量研究夹角问题
6.用空间向量解决实际问题、综合问题
【教学目标设计】
1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.能表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系;能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理;能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.
3.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系;能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理;能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系.
4.能用向量语言表示并解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题.
5.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成角;理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成角;理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小.
6.熟悉用向量方法解决立体几何问题的步骤;会用综合法、向量法、坐标法解决立体几何题.
【教学策略设计】
本节主要是利用向量方法解决简单的立体几何问题,为了使学生掌握向量方法,要注意以典型的立体几何问题为例,让学生体会向量方法在解决立体几何问题中的作用,并引导学生自己归纳用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”,同时,要注意引导学生归纳向量法、综合法与坐标法的特点,根据具体问题的特点选择合适的方法,注意关注空间向量与立体几何知识间的联系,突出用向量方法解决立体几何问题,少教精教、先学后教,做到以学生的理解为中心,重点发展直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点
1.用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系.
2.理解运用向量方法求空间距离的原理.
3.理解运用向量方法求空间角的原理.
难点
1.用向量方法证明空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系.
2.掌握运用空间向量求空间距离的方法.
3.掌握运用空间向量求空间角的方法.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师：我们已经学完了用空间向量求距离问题，记住了点到直线的距离公式以及点到平面的距离公式，与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量，今天这节课我们就用向量的方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角.涉及的一个核心公式便是利用向量的数量积求夹角的公式.先来看一道例题.
【典型例题】
利用空间向量求直线与直线所成角
例1 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.
【少教精教】
教师由求异面直线夹角的具体题目引出要研究的向量方法，总结做题步骤，梳理思路，启发学生通过做题思考向量方法在求空间角问题上的应用.
【简单问题解决能力】
教师引导学生通过“三步曲”解决简单的求夹角问题，过程思路清晰，利用向量方法解决立体几何问题，培养学生简单问题解决能力.
师分析:求直线和夹角的余弦值,可以转化为求向量与夹角的余弦值.为此需要把向量用适当的基底表示出来,进而求得向量夹角的余弦值.
其实解决这道问题,我们可以分为三步,即上节课总结的“三步曲”(1)化为向量问题,(2)进行向量运算,(3)回到图形问题.
【学生思考、教师多媒体讲解】
【多媒体展示】
【典型解析】
利用空间向量求直线与直线所成角
例1 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.
师分析:求直线和夹角的余弦值,可以转化为求向量与夹角的余弦值.为此需要把向量用适当的基底表示出来,进而求得向量夹角的余弦值.
其实解决这道问题,我们可以分为三步,即上节课总结的“三步曲”:(1)化为向量问题,(2)进行向量运算,(3)回到图形问题.
【学生思考、教师多媒体讲解】
【典例解析】
利用空间向量求直线与直线所成角
解：(1)化为向量问题
可以设定基向量，把正四面体的边化为向量，用基底表示.
以作为基底,则
.
设向量与的夹角为,则直线和夹角的余弦值等于.
(2)进行向量运算
.
又和均为等边三角形,所以.
所以.
(3)回到图形问题
根据计算得出向量的夹角的余弦值为,所以直线和夹角的余弦值为.
师：同学们这里要注意一下：空间中两条直线所成角范围是[0°,90°]，而异面直线所成角的范围是(0°,90°]，所以其夹角的余弦值一定是非负数，而向量夹角范围是[0°,180°]，若通过向量计算求出的余弦值为负数，注意在写答案时要表明直线所成角范围并取正值.
上述解法可以概括为“向量法”，你可以用其他方法做出来吗？比如“坐标法”.可以互相交流讨论一下，先从建立一个合适的坐标系开始.
【学生积极思考，交流讨论，教师巡视，检查学生思考结果】
师：为了方便建系，表示点的坐标，我们可以补全正四面体，使之成为一个正方体.
【发现创新能力】
学生用空间向量求直线与直线所成角后，思考用不同的方法解题，给出问题的答案，提高学生的发现创新能力.
【典例解析】
利用坐标法求直线与直线所成角
坐标法：
补形正四面体为正方体，如图所示
建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体棱长为,则,
【先学后教】
学生经过思考讨论，对“坐标法”已有一定认识，通过师生问答，教师引导学生逐步深入，最终计算得出结果.
师:那请同学依次表示一下各点坐标及向量的坐标表示.
生:∴,
师:非常好！注意到表示的是向量和,所以我们可以用这两个向量的坐标求算一下向量夹角的余弦值.
生:计算得到是.
师:设直线和的夹角为,
∴直线和的夹角的余弦值为.
注意到直线所成角的余弦值一定为非负数,所以大家在解题时注意最后的结论.
总结一下:关于两条异面直线所成的角,可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.
【分析计算能力】
在用“坐标法”解决问题的同时，利用空间向量求夹角余弦值的公式，也锻炼了学生的分析计算能力.正确表示点和直线的向量坐标，正确代入数值求出运算结果.
【要点知识】
利用向量方法求两异面直线所成角
若两异面直线所成角为,它们的方向向量分别为,则有
师:注意不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两异面直线所成角的范围是,而两个向量夹角的范围是,事实上,两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.同学们,你可以类比这个方法,用向量法求上述例题中直线与平面所成的角吗
【要点知识】
利用向量方法求直线与平面所成角
若直线与平面所成的角为,直线的方向向量为,平面的法向量为,则有.
师：结合直线与平面所成角的计算方法，同学们可以把上述例题中的直线AB与平面BCD所成的角计算一下.在这里我们可以分为两个小组，一组用向量法，一组用坐标法.
【学生积极思考，分小组积极交流讨论，教师巡视，并给予启发】
师：同学们的思路还是很清晰的，算出来的结果也正确，不管用哪种方法，最终计算得到直线AB与平面BCD所成的角的正弦值为.大家看一下黑板，梳理一下这两种方法的解题过程.
【活动学习】
学生在学习直线与平面所成角的向量方法过程中，利用小组讨论，分组学习的方式，增强自主探究意识，能更好地激发学习兴趣，加深对知识的理解与体会.
【发现创新能力】
教师启发学生多角度思考问题，加深对基向量法和坐标法的区分认识和理解，培养发现创新能力.
【典例解析】
利用向量法求直线与平面所成角
解:方法一（基向量法）：如图，以为基底，
设,则.
设为平面的法向量,设与的夹角为,则直线与平面所成的角的正弦值等于,
设,则
∴∴
取x=3,则y=-1,z=-1,∴n=3a-b-c，
∴,
∴直线与平面所成的角的正弦值为.
方法二(坐标法)：由例7另解中建立的空间直角坐标系可知,
,
设平面的法向量,则
∴取,则,
∴.
设直线与平面所成的角为,
则,
∴直线与平面所成角的正弦值为.
【以学论教】
教师把具体解题过程展示给学生，分步讲解，以学生的理解和认识为中心，用两种向量方法启发学生的做题思维，完善规范做题过程.
【深度学习】
在小组活动后，学生根据教师给出的规范答案完善自己的做题过程，查漏补缺，并能多角度思考问题，有助于学生对向量法解题形成更全面、深入的理解.
师：总结一下：直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角，除了直线与直线所成角、直线与平面所成角，还有哪一类角也是我们要研究的？平面与平面所成角，那这类方法又是怎样的呢？
【要点知识】
利用向量方法求平面与平面所成角
若平面的法向量分别为,则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.
设平面与平面的夹角为,则.
师：注意到两个平面相交，会形成四个二面角，而其中不大于90°的二面角才称为两个平面的夹角，以同学们在解题时注意是要写二面角还是平面夹角.请看下面例题.
【情境学习】
教师通过具体的求平面与平面夹角的问题情境，引发学生独立思考，师生配合共同解决问题，有助于学生对知识的理解.
【典型例题】
用向量方法求平面与平面所成角
例2 如图,在直三棱柱中,,为的中点,点,分别在棱上,.求平面与平面夹角的余弦值.
【教师进行思路分析、学生思考、教师板书第1个步骤,学生板书第2个解题步骤,师生互动完成第3个步骤,教师进行总结】
师分析：因为平面与平面的夹角可以转化为平面与平面的法向量的夹角,所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可.
同样分为“三步曲”:(1)化为向量问题;(2)进行向量运算;(3)回到图形问题.
解:(1)化为向量问题:
以为原点,所在直线为轴、轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设平面的法向量为,平面的法向量为,则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角.
生:(2)进行向量运算:
因为平面,所以平面的一个法向量为.
根据所建立的空间直角坐标系,可知.所以.设,则
所以
所以取,
师:两个平面的法向量计算的是正确的,所以这两个平面法向量的夹角余弦值是什么
生:
【整体设计 分步落实】
在分析了题目解决思路和方法后，教师展示分步过程，并附加步骤关键词，整体设计分布落实，启发学生体会利用向量解决立体几何问题的关键步骤.
【简单问题解决能力】
对简单问题，只涉及求空间角的问题，经过分步讨论，分析计算，最终得到正确答案，加深学生对学过的空间向量知识和求夹角余弦值公式的掌握，培养简单问题解决能力.
师:正确！最后我们进行第(3)步,回到图形问题:
设平面与平面的夹角为,则.
即平面与平面的夹角的余弦值为.
师:注意到本题要求的是两个平面所成的夹角,所以其余弦值不为负数.若要求二面角,则需在最后一步回到图形时,观察所求二面角为锐角还是钝角,再写最后结果,注意正负的区分.
师:同学们,本节课学的角度很多,一起总结一下不同的角的范围.
【归纳总结】
立体几何中角度的范围
1.两条直线成角范围为[0°,90°]，其余弦值一定为非负数.
2.两条异面直线所成角范围为(0°,90°]，其余弦值一定为非负数.
3.直线与平面成角范围为[0°,90°]，其余弦值一定为非负数.
4.直线与平面相交时所成角范围为(0°,90°]，其余弦值一定为非负数.
5.平面与平面所成的夹角范围为[0°,90°]，其余弦值一定为非负数.
6.二面角范围为[0°,180°]，其余弦值可能为负数，可能为正数；可能为0.
7.两个向量的方向向量所成角范围为[0°,180°]，其余弦值可能为负数，可能为正数；可能为0.
【整体学习】
将本节课涉及的角的取值范围以及相关联的角的取值范围，整理到一起进行分类比较，通过对比，更有助于学生对前、后知识的理解，形成更全面、深入、系统的知识系统.
师：同学们，熟记定理，熟练运用，接下来，关于利用空间向量解决角度问题，我们再深入练习几道题目.
【少教精教】
教师通过让学生做课堂练习，使学生真正自己思考，将所学变为所用，在做题中，理解空间向量在立体几何求空间角问题中的应用，掌握更熟练.
【巩固练习】
用空间向量研究夹角问题
1.在直三棱柱中,分别是的中点,,则与所成角的余弦值是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.是从点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为,那么直线与平面所成角的余弦值是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.如图,正三棱柱的所有棱长都为2,求平面与平面成角的余弦值.
4.如图,和所在平面垂直,且.求:
(1)直线与直线所成角的大小;
(2)直线与平面所成角的大小;
(3)平面和平面的夹角的余弦值.
【少教精教】
教师通过让学生做课堂练习，使学生真正自己思考，将所学变为所用，在做题中，理解空间向量在立体几何求空间角问题中的应用，掌握更熟练.
【学生积极练习,独立完成,教师指定学生回答问题,并启发学生尝试更多解法】
【分析计算能力】
在利用空间向量求空间角这一部分，主要需要正确应用公式并正确计算，通过对具体题目的思考，对公式的应用，培养学生解题的分析计算能力.
生(方法一 坐标法)建立如图(1)所示的空间直角坐标系.
设,
∴
∴.
设与所成角为.
(方法二 基向量法)取为基底,如图(2).
设,则
,
.
设与所成角为.
(方法三 几何法)如图(3),取的中点,设.
∵分别为的中点,∴.
又,
∴四边形为平行四边形,∴.
∴或其补角为异面直线与所成的角.
在中,,
∴.
设与所成角为,则.选.
【简单问题解决能力】
练习题是对所学内容的一个巩固，让学生能运用空间向量解决夹角问题.
【深度学习】
对于练习题目，不止步于做出答案，而要根据所给信息追求更好解法，对于一题多解的问题，也要善于比较各种方法的异同，从而会对知识有更深的理解.
【以学论教】
教师通过让学生自主练习题目，并启发不同解法，激发学生自主探究意识，只有学生真正要提问时，收获的知识才能理解更深，印象更深.
【推测解释能力】
在利用几何法解决问题时，需要充分理解各几何要素的相互位置及关系，正确进行逻辑推理，完成证明过程，培养学生解题的推测解释能力.
生2:2.(方法一 坐标法)如图(1)所示,把放在正方体中,的夹角均为.
建立如图(1)所示的空间直角坐标系, 设正方体棱长为1 ,
则.
∴.
设平面的法向量,则
令,则,
∴.
设直线与平面所成角为,
∴.
(方法二 几何法)如图(2),在上任取一点并作平面,则即为直线与平面所成的角.
过点作,垂足分别为.∵平面,
∴,
∴.
∵,
∴.
设,
∴,
设直线与平面所成角的余弦值为,选.
【自主学习】
学生自主练习，自主探究，激发对知识的探求意识，通过具体立体几何题目的练习，加深学生对空间向量方法以及几何方法的区分和认识.
生.
正三棱柱的所有棱长均为2,取的中点,则,
∴平面.
取的中点两两垂直,以为原点建立如图所示的空间直角坐标系.
则,∴ .
设平面的法向量,则
取,则.
设平面的法向量,
则
取,则.
∴.
设平面与平面的夹角为,则.
【分析计算能力】
利用空间向量求空间角，主要需要正确应用公式并正确计算，也涉及前面所学求法向量的计算方法，通过对具体题目的思考，对公式的应用，培养学生解题的分析计算能力.
生4:4.如图,建立空间直角坐标系.
设AB=a,则
(1)∵,
∴与所成角的大小为.
(2)设与平面所成角为是平面的一个法向量,
∴.
∴,即与平面所成角的大小为.
(3)设是平面的法向量,
则即
取,则.
∴.
设平面和平面的夹角为,则.
师:接下来,整体总结回顾本节课所学知识和方法.
【课堂小结】
用空间向量研究夹角问题
【设计意图】
通过对用空间向量研究空间角的学习，利用了以学论教、少教精教、先学后教、整体设计分步落实的教学策略和深度学习、自主学习、情境学习、整体学习、活动学习的学习策略，培养了学生分析计算能力、推测解释能力、简单问题解决能力、发现创新能力，提升了学生的直观想象、数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养.
教学评价
本节课主要学习空间向量的应用,主要是利用向量方法解决简单的立体几何问题,包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系,证明直线、平面位置关系的判定定理,用空间向量解决空间距离、夹角问题等,学会用综合法、向量法、坐标法解决立体几何中的问题.
应用所学知识,完成下面各题:
1.在直三棱柱中,为的中点,为的中点.
(1)求点到直线的距离;
(2)求点到平面的距离.
解析:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
直线的一个单位方向向量为,
故点到直线的距离.
(2)设平面的法向量为,
则即
取,得,故为平面的一个法向量,
因为,所以,
故到平面的距离.
【意义学习】
本题主要考查学生对距离公式的运用程度,在理解的基础上记忆点到直线的距离公式、点到平面的距离公式,正确代入数值并计算,培养学生的分析计算能力.体现意义学习.
【简单问题解决能力】
在求点到平面距离过程中,需要用到平面的法向量,利用已知的直线向量的坐标表示,求解出平面法向量,培养学生的简单问题解决能力.
2.在四棱锥中,底面,点为棱的中点.
(1)证明:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.
解析:(1)如图,取中点,连接分别为的中点,
∴,且,又由已知,可得,且,
∴四边形为平行四边形,∴平面平面,
∴平面.
(2)∵底面,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
∵,点为棱的中点.
∴.
∵,
设平面的法向量,由得
令,则,则直线与平面所成角满足:
,故直线与平面所成角的正弦值为.
【分析计算能力】
求空间中直线与平面所成角,如果用坐标法解决问题,需要首先建立合适的空间直角坐标系,正确表示出直线的方向向量和平面的法向量,套用公式分析计算求解,培养学生的分析计算能力.
(3)∵,
由点在棱上,设,
故,
由,得,解得,
即,
设平面的法向量为,由得
令,则,取平面的法向量,
则二面角的平面角满足:,
故二面角的余弦值为.
【发现创新能力】
本题求解二面角的余弦值,根据题意,求解出两个平面的法向量,再由求夹角余弦值公式求出数值,但是注意求解二面角时,还需回到图形,观察所求角是锐角还是钝角,从而确定最终得数,这个观察判断的过程培养学生的发现创新能力.
【以学定教】
教师要让学生理解并掌握立体几何问题中的空间向量解法及解题思路,会根据题目条件选定合适的方法,如空间向量中的基向量法、坐标法或是立体几何方法,并能在不同的具体情境中合理应用.
教学反思
本节课内容分为6课时,是空间向量的核心应用部分,教学中主要突出了几个方面:一是创设问题情景,通过现实情境提出问题,让学生初步体会运用向量解决立体几何问题的基本方法,并以此来激发学生的探究心理.二是突出类比学习,让学生类比向量解决平行问题,进而学习运用空间向量解决垂直问题,发展学生的类比思想和逻辑推理核心素养.三是进一步突出运用向量法解决立体几何问题的基本程序,发展学生的数学建模思想.四是典例解析,通过对典型问题的分析解决,帮助学生建立运用空间向量解决立体几何问题的基本思路.教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律,触发学生的思维,使教学过程真正成为学生的学习过程,以思维教学代替单纯的记忆教学.注意在探究问题时留给学生充分的时间,使数学教学成为数学活动的教学.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中要培养学生的空间想象力以及对公式的理解能力,要与前者学过的平面向量、立体几何相关知识做类比学习,在比较中加深对向量方法解决立体几何问题的理解与认识,还需加强学生的自主思考意识以及公式运用能力.
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