人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.4《空间向量的应用---空间向量研究夹角问题》教学设计
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.4《空间向量的应用---空间向量研究夹角问题》教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-16 11:33:28 | ||
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文档简介
《1.4空间向量的应用---空间向量研究夹角问题》
教学设计
一、单元內容及其解析
1.内容
本单元包括运用空间向量解决立体几何中的距离和夹角等度量问题，知识结构图如下：
本单元建议用3课时：第1课时，用向量方法研究距离问题；第2课时，用向量方法研究夹角问题；第3课时，解决综合性问题.
2.内容解析
立体几何研究空间图形的形状、大小及其位置关系.距离和角度是立体几何中的基本度量.距离主要包含两点间的距离，点到直线的距离，平行线间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离（直线与平面平行），平行平面间的距离，等等；角度主要包含两条直线所成的角，直线和平面所成的角，两个平面所成的角，等等.
对于距离问题，由于前面已研究了两点间的距离，本单元利用向量投影统一研究其余距离问题，其中点到直线的距离，点到平面的距离是核心，其他距离问题都可以转化为这两类距离进行求解.对于角度问题，利用直线的方向向量和平面的法向量，统一将这些角度化归为这些向量之间的夹角，进而利用向量的数量积解决问题.
通过本单元求解距离和角度的问题，可以帮助学生归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，并自觉地运用“三步曲”解决立体几何问题，从而进一步体会向量及其运算在解决立体几何问题中的作用和普适性，培养学生直观想象、数学运算和逻辑推理等素养.
基于以上分析，确定本单元的教学重点：利用投影向量推导点到直线的距离公式和点到平面的距离公式，利用向量的数量积推导直线、平面间的夹角公式，运用“三步曲”解决立体几何问题.
二、单元目标及其解析
1.目标
（1）能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、直线到平面（直线与平面平行）、相互平行的平面的距离问题.
（2）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角（夹角）问题.
（3）理解用向量方法解决立体几何问题的程序，并用来解决立体几何问题，体会向量方法的作用.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）能利用向量投影推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式.能把相互平行的直线间的距离、直线到平面的距离（直线与平面平行）、相互平行的平面间的距离转化为点到直线的距离或点到平面的距离，进而求得上述距离.
（2）能通过实例归纳出利用向量的数量积求空间两条异面直线所成角的一般方法；能够利用向量的数量积得出直线与平面、平面与平面所成角的计算公式，并用来解决有关夹角问题.体会利用向量数量积解决空间角度问题的优势.
（3）能归纳出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，并自觉地运用“三步曲”解决立体几何中的问题；通过用向量方法、综合几何方法从不同角度解决立体几何问题，体会向量方法的优势以及向量及其运算在解决立体几何问题中的作用.
三、单元教学问题诊断分析
学生在“立体几何初步”的学习中，对于距离和夹角有了一定的认识，但缺乏整体性、系统性.在本章前面的学习中，也已经利用空间向量及其运算、空间向量基本定理等解决了一些简单的立体几何问题，但对于其中的向量方法体会还不够深刻，对于用空间向量解决立体几何问题“三步曲”，也达不到熟练运用的程度，特别是在解决综合性问题时，常常对其中的第一步“建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题”缺乏经验和体会.
本单元的教学难点为：整体理解空间距离公式和角度公式，以及运用“三步曲”解决立体几何中的综合问题.
四、教学过程设计
（一）教学内容
两条直线所成的角，直线和平面所成的角，两个平面的夹角.
（二）教学目标
能用向量方法得到两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面的夹角的向量表达式，解决立体几何中有关角度的度量问题.
（三）教学重点与难点
重点：利用向量的数量积研究两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面的夹角.
难点：根据问题的条件选择适当的基底.
（四）教学过程设计
导入问题：与距离一样，角度是立体几何中的另一类度量问题.本质上，角度是对两个方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度问题有其独特的优势.本节我们用空间向量研究夹角问题，你认为可以按怎样的顺序展开研究.
师生活动：学生独立思考、小组交流后，通过全班讨论达成对研究路径的共识，即：直线与直线所成的角→直线与平面所成的角→平面与平面所成的角.
设计意图：明确研究路径，为具体研究提供思路.
1.典型例题，求解直线与直线所成的角
问题1如图1，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，求直线和夹角的余弦值.
用向量方法求解几何问题时，首先要用向量表示问题中的几何元素.对于本问题，如何用向量表示异面直线与？它们所成的角可以用向量之间的夹角表示吗？
追问1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化为向量问题？
师生活动：首先，教师分析题目的条件：已知正四面体的棱长和棱与棱之间夹角，和是中线，其模长可求，与其他棱的夹角也是确定的，这些条件都有利于向量基底的选取.接着在学生回答的基础上，教师补充后形成共识：求异面直线和的夹角时，只要用基底向量表示出它们的方向即可，这样，异面直线和夹角，可以转化为求向量与的夹角.为此，选择为基底并表示向量，.
在此基础上，将此问题推广到一般，学生思考后作答，教师对学生的回答给予补充.梳理出将立体几何问题转化为向量问题的途径：
途径1：通过建立一个基底，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化为向量问题；
途径2：通过建立空间直角坐标系，用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化为向量问题.实际上，空间直角坐标系也是基底，是“特殊”的基底.
追问2：请你通过向量运算，求出向量，夹角的余弦值，进而求出直线和夹角的余弦值.
师生活动：学生利用向量的数量积求出向量，夹角的余弦值，从而解决问题.
追问3：回顾问题1的求解过程，你能归纳出利用向量求空间直线与直线所成的角的一般方法吗？
师生活动：教师引导学生梳理，得出：将直线与直线所成的角转化为直线的方向向量的夹角，进而利用向量的数量积求解.也就是说，若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是，，则
在此基础上，教师板书下面的过程，让学生进一步认识用向量方法解决几何问题的基本步骤：
几何问题→向量问题→向量运算→几何解释.
设计意图：通过用向量方法求解一个空间直线与直线所成角的具体问题，归纳得出用向量方法求解直线与直线所成角的角度的一般方法.
2.类比研究，求解直线与平面、平面与平面所成的角
问题2：你能用向量方法求问题1中直线与平面所成的角吗？一般地，如何求直线与平面所成的角？
追问：这个问题的已知条件是什么？如何将几何问题转化为向量问题？
师生活动：教师引导学生分析已知条件，明确平面的法向量在解决直线与平面所成角的问题中的关键作用，将直线与平面所成的角转化为直线的一个方向向量与平面的个法向量的夹角，进而利用向量的数量积求解.
进一步地，师生共同给出求直线与平面所成角的步骤和方法.即将直线与平面所成的角，转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角，从而得到直线与平面所成的角的一般表达式
.
其中，为直线的方向向量，为平面的法向量.
设计意图：通过本问题的解决，让学生体会法向量在求解直线与平面所成角时的关键作用，并得出一般的求解直线和平面所成角的向量表达式.
问题3：类比已有的直线、平面所成角的定义，你认为应如何合理定义两个平面所成的角？进一步地，如何求平面和平面的夹角？
师生活动：教师给出两个相交平面的图形，让学生类比已有的空间基本元素所成角的定义，给两个平面所成的角下定义.教师可以追问学生：“角度是度量方向差异的量，那么决定平面方向的是什么？”从而启发学生用两个平面的法向量刻画两个平面所成的角.在学生讨论、交流的基础上，教师小结如下：
如图2，平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角.
类似两条异面直线所成的角，若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则
.
追问1：如何求平面的法向量？
师生活动：学生思考、回答后，师生共同总结求平面法向量的方法：在平面内找两个不共线的向量和，设平面的法向量为，则
根据这个不定方程组，可以求得一个法向量.
教师在学生回答的基础上进一步指出，求得的是法向量中的一个，不是所有的法向量，但所有法向量可以用表示，即.
追问2：你能说说平面与平面的夹角与二面角的区别和联系吗？
师生活动：学生思考、回答，教师与学生共同总结.二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，可以用其平面角的大小来定义，它的取值范围是；而平面与平面的夹角是指平面与平面相交，形成的四个二面角中不大于90°的二面角.
设计意图：引导学生类比已有的空间基本元素所成角的定义，建立平面与平面的夹角的概念，并进一步利用向量方法得到求解两个平面夹角的表达式.结合法向量的求解，使学生体验不定方程组的“通解”和“特解”之间的关系，体会一般性寓于特殊性之中的道理，通过对平面与平面的夹角和二面角的辨析，使学生对平面与平面的夹角的理解更加深入.
3.巩固应用，解决立体几何中的角度问题
例3如图3，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，且，.求平面与平面夹角的余弦值.
师生活动：教师引导学生先分析题意，明确解题思路，再让学生独立解答，教师根据学生的解答板书补充，其中重点关注法向量的求法.为了保证解题规范，教师展示学生的解答，并适当完善学生板书.
设计意图：通过例题巩固平面与平面所成的角的求解方法，进一步理解法向量的夹角和两个平面所成角的关系，进一步体会向量方法解决立体几何问题的一般步骤.
4.归纳小结
教师引导学生回顾本课时的学习内容，回答下面的问题：
（1）这节课主要学习了哪些内容？
（2）研究这些内容主要用了什么方法？
（3）用向量方法解决立体几何问题的一般步骤是什么？
设计意图：师生共同小结本节课学习的内容和学习过程，通过小结，让学生体会到，直线、平面间的角度刻画了它们的方向的差异，因而可用方向向量或法向量“代表”直线或平面，从而将直线、平面间的角度问题转化为求相应的方向向量、法向量的夹角.进一步体会用向量方法解决立体几何问题的一般步骤.
5.布置作业
教科书习题1.4第9，10题
（五）目标检测设计
1.如图，在正方体中，直线与直线所成角的正切值为（ ）.
设计意图：考查利用向量方法解决直线与直线所成角的能力.
2.长方体中，，，分别是，的中点，是与的交点.求直线与平面所成角的正弦值.
设计意图：考查利用向量方法解决直线与平面所成角的能力.
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教学设计
一、单元內容及其解析
1.内容
本单元包括运用空间向量解决立体几何中的距离和夹角等度量问题，知识结构图如下：
本单元建议用3课时：第1课时，用向量方法研究距离问题；第2课时，用向量方法研究夹角问题；第3课时，解决综合性问题.
2.内容解析
立体几何研究空间图形的形状、大小及其位置关系.距离和角度是立体几何中的基本度量.距离主要包含两点间的距离，点到直线的距离，平行线间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离（直线与平面平行），平行平面间的距离，等等；角度主要包含两条直线所成的角，直线和平面所成的角，两个平面所成的角，等等.
对于距离问题，由于前面已研究了两点间的距离，本单元利用向量投影统一研究其余距离问题，其中点到直线的距离，点到平面的距离是核心，其他距离问题都可以转化为这两类距离进行求解.对于角度问题，利用直线的方向向量和平面的法向量，统一将这些角度化归为这些向量之间的夹角，进而利用向量的数量积解决问题.
通过本单元求解距离和角度的问题，可以帮助学生归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，并自觉地运用“三步曲”解决立体几何问题，从而进一步体会向量及其运算在解决立体几何问题中的作用和普适性，培养学生直观想象、数学运算和逻辑推理等素养.
基于以上分析，确定本单元的教学重点：利用投影向量推导点到直线的距离公式和点到平面的距离公式，利用向量的数量积推导直线、平面间的夹角公式，运用“三步曲”解决立体几何问题.
二、单元目标及其解析
1.目标
（1）能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、直线到平面（直线与平面平行）、相互平行的平面的距离问题.
（2）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角（夹角）问题.
（3）理解用向量方法解决立体几何问题的程序，并用来解决立体几何问题，体会向量方法的作用.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）能利用向量投影推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式.能把相互平行的直线间的距离、直线到平面的距离（直线与平面平行）、相互平行的平面间的距离转化为点到直线的距离或点到平面的距离，进而求得上述距离.
（2）能通过实例归纳出利用向量的数量积求空间两条异面直线所成角的一般方法；能够利用向量的数量积得出直线与平面、平面与平面所成角的计算公式，并用来解决有关夹角问题.体会利用向量数量积解决空间角度问题的优势.
（3）能归纳出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，并自觉地运用“三步曲”解决立体几何中的问题；通过用向量方法、综合几何方法从不同角度解决立体几何问题，体会向量方法的优势以及向量及其运算在解决立体几何问题中的作用.
三、单元教学问题诊断分析
学生在“立体几何初步”的学习中，对于距离和夹角有了一定的认识，但缺乏整体性、系统性.在本章前面的学习中，也已经利用空间向量及其运算、空间向量基本定理等解决了一些简单的立体几何问题，但对于其中的向量方法体会还不够深刻，对于用空间向量解决立体几何问题“三步曲”，也达不到熟练运用的程度，特别是在解决综合性问题时，常常对其中的第一步“建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题”缺乏经验和体会.
本单元的教学难点为：整体理解空间距离公式和角度公式，以及运用“三步曲”解决立体几何中的综合问题.
四、教学过程设计
（一）教学内容
两条直线所成的角，直线和平面所成的角，两个平面的夹角.
（二）教学目标
能用向量方法得到两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面的夹角的向量表达式，解决立体几何中有关角度的度量问题.
（三）教学重点与难点
重点：利用向量的数量积研究两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面的夹角.
难点：根据问题的条件选择适当的基底.
（四）教学过程设计
导入问题：与距离一样，角度是立体几何中的另一类度量问题.本质上，角度是对两个方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度问题有其独特的优势.本节我们用空间向量研究夹角问题，你认为可以按怎样的顺序展开研究.
师生活动：学生独立思考、小组交流后，通过全班讨论达成对研究路径的共识，即：直线与直线所成的角→直线与平面所成的角→平面与平面所成的角.
设计意图：明确研究路径，为具体研究提供思路.
1.典型例题，求解直线与直线所成的角
问题1如图1，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，求直线和夹角的余弦值.
用向量方法求解几何问题时，首先要用向量表示问题中的几何元素.对于本问题，如何用向量表示异面直线与？它们所成的角可以用向量之间的夹角表示吗？
追问1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化为向量问题？
师生活动：首先，教师分析题目的条件：已知正四面体的棱长和棱与棱之间夹角，和是中线，其模长可求，与其他棱的夹角也是确定的，这些条件都有利于向量基底的选取.接着在学生回答的基础上，教师补充后形成共识：求异面直线和的夹角时，只要用基底向量表示出它们的方向即可，这样，异面直线和夹角，可以转化为求向量与的夹角.为此，选择为基底并表示向量，.
在此基础上，将此问题推广到一般，学生思考后作答，教师对学生的回答给予补充.梳理出将立体几何问题转化为向量问题的途径：
途径1：通过建立一个基底，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化为向量问题；
途径2：通过建立空间直角坐标系，用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化为向量问题.实际上，空间直角坐标系也是基底，是“特殊”的基底.
追问2：请你通过向量运算，求出向量，夹角的余弦值，进而求出直线和夹角的余弦值.
师生活动：学生利用向量的数量积求出向量，夹角的余弦值，从而解决问题.
追问3：回顾问题1的求解过程，你能归纳出利用向量求空间直线与直线所成的角的一般方法吗？
师生活动：教师引导学生梳理，得出：将直线与直线所成的角转化为直线的方向向量的夹角，进而利用向量的数量积求解.也就是说，若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是，，则
在此基础上，教师板书下面的过程，让学生进一步认识用向量方法解决几何问题的基本步骤：
几何问题→向量问题→向量运算→几何解释.
设计意图：通过用向量方法求解一个空间直线与直线所成角的具体问题，归纳得出用向量方法求解直线与直线所成角的角度的一般方法.
2.类比研究，求解直线与平面、平面与平面所成的角
问题2：你能用向量方法求问题1中直线与平面所成的角吗？一般地，如何求直线与平面所成的角？
追问：这个问题的已知条件是什么？如何将几何问题转化为向量问题？
师生活动：教师引导学生分析已知条件，明确平面的法向量在解决直线与平面所成角的问题中的关键作用，将直线与平面所成的角转化为直线的一个方向向量与平面的个法向量的夹角，进而利用向量的数量积求解.
进一步地，师生共同给出求直线与平面所成角的步骤和方法.即将直线与平面所成的角，转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角，从而得到直线与平面所成的角的一般表达式
.
其中，为直线的方向向量，为平面的法向量.
设计意图：通过本问题的解决，让学生体会法向量在求解直线与平面所成角时的关键作用，并得出一般的求解直线和平面所成角的向量表达式.
问题3：类比已有的直线、平面所成角的定义，你认为应如何合理定义两个平面所成的角？进一步地，如何求平面和平面的夹角？
师生活动：教师给出两个相交平面的图形，让学生类比已有的空间基本元素所成角的定义，给两个平面所成的角下定义.教师可以追问学生：“角度是度量方向差异的量，那么决定平面方向的是什么？”从而启发学生用两个平面的法向量刻画两个平面所成的角.在学生讨论、交流的基础上，教师小结如下：
如图2，平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角.
类似两条异面直线所成的角，若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则
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追问1：如何求平面的法向量？
师生活动：学生思考、回答后，师生共同总结求平面法向量的方法：在平面内找两个不共线的向量和，设平面的法向量为，则
根据这个不定方程组，可以求得一个法向量.
教师在学生回答的基础上进一步指出，求得的是法向量中的一个，不是所有的法向量，但所有法向量可以用表示，即.
追问2：你能说说平面与平面的夹角与二面角的区别和联系吗？
师生活动：学生思考、回答，教师与学生共同总结.二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，可以用其平面角的大小来定义，它的取值范围是；而平面与平面的夹角是指平面与平面相交，形成的四个二面角中不大于90°的二面角.
设计意图：引导学生类比已有的空间基本元素所成角的定义，建立平面与平面的夹角的概念，并进一步利用向量方法得到求解两个平面夹角的表达式.结合法向量的求解，使学生体验不定方程组的“通解”和“特解”之间的关系，体会一般性寓于特殊性之中的道理，通过对平面与平面的夹角和二面角的辨析，使学生对平面与平面的夹角的理解更加深入.
3.巩固应用，解决立体几何中的角度问题
例3如图3，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，且，.求平面与平面夹角的余弦值.
师生活动：教师引导学生先分析题意，明确解题思路，再让学生独立解答，教师根据学生的解答板书补充，其中重点关注法向量的求法.为了保证解题规范，教师展示学生的解答，并适当完善学生板书.
设计意图：通过例题巩固平面与平面所成的角的求解方法，进一步理解法向量的夹角和两个平面所成角的关系，进一步体会向量方法解决立体几何问题的一般步骤.
4.归纳小结
教师引导学生回顾本课时的学习内容，回答下面的问题：
（1）这节课主要学习了哪些内容？
（2）研究这些内容主要用了什么方法？
（3）用向量方法解决立体几何问题的一般步骤是什么？
设计意图：师生共同小结本节课学习的内容和学习过程，通过小结，让学生体会到，直线、平面间的角度刻画了它们的方向的差异，因而可用方向向量或法向量“代表”直线或平面，从而将直线、平面间的角度问题转化为求相应的方向向量、法向量的夹角.进一步体会用向量方法解决立体几何问题的一般步骤.
5.布置作业
教科书习题1.4第9，10题
（五）目标检测设计
1.如图，在正方体中，直线与直线所成角的正切值为（ ）.
设计意图：考查利用向量方法解决直线与直线所成角的能力.
2.长方体中，，，分别是，的中点，是与的交点.求直线与平面所成角的正弦值.
设计意图：考查利用向量方法解决直线与平面所成角的能力.
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