人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册1.4 《空间向量的应用---向量法解决立体几何问题的综合应用》教学设计
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册1.4 《空间向量的应用---向量法解决立体几何问题的综合应用》教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 985.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-16 11:35:35 | ||
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文档简介
《1.4空间向量的应用---向量法解决立体几何问题的综合应用》教学设计
一、单元內容及其解析
1.内容
本单元包括运用空间向量解决立体几何中的距离和夹角等度量问题，知识结构图如下：
本单元建议用3课时：第1课时，用向量方法研究距离问题；第2课时，用向量方法研究夹角问题；第3课时，解决综合性问题.
2.内容解析
立体几何研究空间图形的形状、大小及其位置关系.距离和角度是立体几何中的基本度量.距离主要包含两点间的距离，点到直线的距离，平行线间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离（直线与平面平行），平行平面间的距离，等等；角度主要包含两条直线所成的角，直线和平面所成的角，两个平面所成的角，等等.
对于距离问题，由于前面已研究了两点间的距离，本单元利用向量投影统一研究其余距离问题，其中点到直线的距离，点到平面的距离是核心，其他距离问题都可以转化为这两类距离进行求解.对于角度问题，利用直线的方向向量和平面的法向量，统一将这些角度化归为这些向量之间的夹角，进而利用向量的数量积解决问题.
通过本单元求解距离和角度的问题，可以帮助学生归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，并自觉地运用“三步曲”解决立体几何问题，从而进一步体会向量及其运算在解决立体几何问题中的作用和普适性，培养学生直观想象、数学运算和逻辑推理等素养.
基于以上分析，确定本单元的教学重点：利用投影向量推导点到直线的距离公式和点到平面的距离公式，利用向量的数量积推导直线、平面间的夹角公式，运用“三步曲”解决立体几何问题.
二、单元目标及其解析
1.目标
（1）能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、直线到平面（直线与平面平行）、相互平行的平面的距离问题.
（2）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角（夹角）问题.
（3）理解用向量方法解决立体几何问题的程序，并用来解决立体几何问题，体会向量方法的作用.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）能利用向量投影推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式.能把相互平行的直线间的距离、直线到平面的距离（直线与平面平行）、相互平行的平面间的距离转化为点到直线的距离或点到平面的距离，进而求得上述距离.
（2）能通过实例归纳出利用向量的数量积求空间两条异面直线所成角的一般方法；能够利用向量的数量积得出直线与平面、平面与平面所成角的计算公式，并用来解决有关夹角问题.体会利用向量数量积解决空间角度问题的优势.
（3）能归纳出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，并自觉地运用“三步曲”解决立体几何中的问题；通过用向量方法、综合几何方法从不同角度解决立体几何问题，体会向量方法的优势以及向量及其运算在解决立体几何问题中的作用.
三、单元教学问题诊断分析
学生在“立体几何初步”的学习中，对于距离和夹角有了一定的认识，但缺乏整体性、系统性.在本章前面的学习中，也已经利用空间向量及其运算、空间向量基本定理等解决了一些简单的立体几何问题，但对于其中的向量方法体会还不够深刻，对于用空间向量解决立体几何问题“三步曲”，也达不到熟练运用的程度，特别是在解决综合性问题时，常常对其中的第一步“建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题”缺乏经验和体会.
本单元的教学难点为：整体理解空间距离公式和角度公式，以及运用“三步曲”解决立体几何中的综合问题.
四、教学过程设计
（一）教学内容
用向量方法解决立体几何问题的综合应用.
（二）教学目标
综合运用“基底法”“坐标法”解决立体几何问题，掌握用向量方法解决立体几何问题的思想和一般步骤.
（三）教学重点与难点
重点：对向量方法的理解
难点：将立体几何问题转化为向量问题.
（四）教学过程设计
引导语：前面我们学习了如何用向量方法求解立体几何中的距离和角度问题.这节课我们应用这些知识解决综合性较强的问题.
1.典型例题，实践应用
例4图1为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为1，每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取，精确到0.01N）.
师生活动：教师引导学生思考下列问题：
①降落伞匀速下落，下落过程中，8根绳子拉力的合力大小与礼物重力大小有什么关系？
②每根绳子的拉力和合力有什么关系？
③如何用向量方法解决这个问题？
师生共同分析，将实际问题转化数学问题，进而解决问题.
设计意图：让学生体会向量方法在解决实际问题中的作用.
例5如图2，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点，作交于点.
（1）求证：//平面；
（2）求证：⊥平面；
（3）求平面与平面的夹角的大小.
师生活动：教师指导学生认真读题，看懂空间几何图形，分析解题思路.
追问1：已知条件“四棱锥的底面是正方形，一条侧棱垂直于底面”对你有什么启发？由此你能找到解决问题的方法吗？
师生活动：教师引导学生根据条件确定利用空间直角坐标系解决问题.建立以为原点所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系.
追问2：直线和平面是由哪些要素确定的？直线和平面的平行关系是用这些要素之间怎样的关系来刻画的？你能用这些要素之间的关系证明//平面吗？
师生活动：师生共同回顾用向量法证明直线与平面平行的步骤，设直线的方向向量为，平面的法向量为，则，在此基础上，用坐标表示以及平面的一个法向量，进而利用向量的数量积运算解决问题.
追问3：直线和平面的垂直关系是用确定直线和平面的要素之间怎样的关系来刻画的？你能证明⊥平面吗
师生活动：师生共同回顾用向量法证明直线与平面垂直的步骤，设直线的方向向量为，平面的法向量为，则.在此基础上，用坐标表示以及平面的一个法向量，进而利用向量的数乘运算解决问题.
追问4：如何根据平面与平面的夹角与两个平面的法向量的关系求出平面与平面的夹角？
师生活动：教师引导学生用向量及坐标表示平面的法向量，进而利用向量的数量积运算，求得平面与平面的法向量的夹角，进而求得这两个平面的夹角.
设计意图：通过例题，让学生进一步体会用向量方法解决空间的位置关系和度量问题的过程、方法，进一步体会用空间向量解决立体几何问题的“坐标法”.
2.单元小结
教师引导学生回顾本单元的学习内容，并回答以下问题：
（1）向量方法解决立体几何问题的基本步骤是什么？你能用一个框图表示吗？
（2）通过本节的学习，你对立体几何中的向量方法是否有了一定的认识？请结合例题和上面的框图谈谈体会.
（3）解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法.你能说出它们各自的特点吗？
师生活动：师生共同梳理总结本单元的学习内容，引导学生画出用向量法解决立体几何问题的一般步骤的“三步曲”的框图，具体如下：
进一步地，在学生回答的基础上，教师指出解决立体几何问题的综合法、向量法、坐标法的特点：综合法通过纯粹的逻辑推理解决问题，向量法利用向量的概念及其运算解决问题，坐标法利用数及其运算来解决问题.坐标法经常与向量法结合起来使用.对于具体的问题，应根据它的条件和所求选择合适的方法.
设计意图：这里的小结既是本节课的小结，也是本单元的小结.目的是从宏观的思想方法和中观的解题步骤方面进行总结，使学生掌握用向量方法解决立体几何问题的一般方法，并通过综合法、向量法、坐标法的比较，认识它们各自的特点，进一步加深对向量法的认识.
3.布置作业
教科书习题1.4第14，15题.
（五）目标检测设计
1.在四面体中，两两垂直，已知，，求直线与平面所成的角.
设计意图：考查利用向量方法解决直线与平面所成的角的能力
2.如图，在四面体中，⊥平面，⊥，，.是的中点，是的中点，点在线段上，且.
（1）证明：∥平面；
（2）若二面角的大小为，求的大小.
设计意图：考查学生利用向量方法解决立体几何中直线与平面所成的角、平面与平面的夹角的能力.
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一、单元內容及其解析
1.内容
本单元包括运用空间向量解决立体几何中的距离和夹角等度量问题，知识结构图如下：
本单元建议用3课时：第1课时，用向量方法研究距离问题；第2课时，用向量方法研究夹角问题；第3课时，解决综合性问题.
2.内容解析
立体几何研究空间图形的形状、大小及其位置关系.距离和角度是立体几何中的基本度量.距离主要包含两点间的距离，点到直线的距离，平行线间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离（直线与平面平行），平行平面间的距离，等等；角度主要包含两条直线所成的角，直线和平面所成的角，两个平面所成的角，等等.
对于距离问题，由于前面已研究了两点间的距离，本单元利用向量投影统一研究其余距离问题，其中点到直线的距离，点到平面的距离是核心，其他距离问题都可以转化为这两类距离进行求解.对于角度问题，利用直线的方向向量和平面的法向量，统一将这些角度化归为这些向量之间的夹角，进而利用向量的数量积解决问题.
通过本单元求解距离和角度的问题，可以帮助学生归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，并自觉地运用“三步曲”解决立体几何问题，从而进一步体会向量及其运算在解决立体几何问题中的作用和普适性，培养学生直观想象、数学运算和逻辑推理等素养.
基于以上分析，确定本单元的教学重点：利用投影向量推导点到直线的距离公式和点到平面的距离公式，利用向量的数量积推导直线、平面间的夹角公式，运用“三步曲”解决立体几何问题.
二、单元目标及其解析
1.目标
（1）能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、直线到平面（直线与平面平行）、相互平行的平面的距离问题.
（2）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角（夹角）问题.
（3）理解用向量方法解决立体几何问题的程序，并用来解决立体几何问题，体会向量方法的作用.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）能利用向量投影推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式.能把相互平行的直线间的距离、直线到平面的距离（直线与平面平行）、相互平行的平面间的距离转化为点到直线的距离或点到平面的距离，进而求得上述距离.
（2）能通过实例归纳出利用向量的数量积求空间两条异面直线所成角的一般方法；能够利用向量的数量积得出直线与平面、平面与平面所成角的计算公式，并用来解决有关夹角问题.体会利用向量数量积解决空间角度问题的优势.
（3）能归纳出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，并自觉地运用“三步曲”解决立体几何中的问题；通过用向量方法、综合几何方法从不同角度解决立体几何问题，体会向量方法的优势以及向量及其运算在解决立体几何问题中的作用.
三、单元教学问题诊断分析
学生在“立体几何初步”的学习中，对于距离和夹角有了一定的认识，但缺乏整体性、系统性.在本章前面的学习中，也已经利用空间向量及其运算、空间向量基本定理等解决了一些简单的立体几何问题，但对于其中的向量方法体会还不够深刻，对于用空间向量解决立体几何问题“三步曲”，也达不到熟练运用的程度，特别是在解决综合性问题时，常常对其中的第一步“建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题”缺乏经验和体会.
本单元的教学难点为：整体理解空间距离公式和角度公式，以及运用“三步曲”解决立体几何中的综合问题.
四、教学过程设计
（一）教学内容
用向量方法解决立体几何问题的综合应用.
（二）教学目标
综合运用“基底法”“坐标法”解决立体几何问题，掌握用向量方法解决立体几何问题的思想和一般步骤.
（三）教学重点与难点
重点：对向量方法的理解
难点：将立体几何问题转化为向量问题.
（四）教学过程设计
引导语：前面我们学习了如何用向量方法求解立体几何中的距离和角度问题.这节课我们应用这些知识解决综合性较强的问题.
1.典型例题，实践应用
例4图1为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为1，每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取，精确到0.01N）.
师生活动：教师引导学生思考下列问题：
①降落伞匀速下落，下落过程中，8根绳子拉力的合力大小与礼物重力大小有什么关系？
②每根绳子的拉力和合力有什么关系？
③如何用向量方法解决这个问题？
师生共同分析，将实际问题转化数学问题，进而解决问题.
设计意图：让学生体会向量方法在解决实际问题中的作用.
例5如图2，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点，作交于点.
（1）求证：//平面；
（2）求证：⊥平面；
（3）求平面与平面的夹角的大小.
师生活动：教师指导学生认真读题，看懂空间几何图形，分析解题思路.
追问1：已知条件“四棱锥的底面是正方形，一条侧棱垂直于底面”对你有什么启发？由此你能找到解决问题的方法吗？
师生活动：教师引导学生根据条件确定利用空间直角坐标系解决问题.建立以为原点所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系.
追问2：直线和平面是由哪些要素确定的？直线和平面的平行关系是用这些要素之间怎样的关系来刻画的？你能用这些要素之间的关系证明//平面吗？
师生活动：师生共同回顾用向量法证明直线与平面平行的步骤，设直线的方向向量为，平面的法向量为，则，在此基础上，用坐标表示以及平面的一个法向量，进而利用向量的数量积运算解决问题.
追问3：直线和平面的垂直关系是用确定直线和平面的要素之间怎样的关系来刻画的？你能证明⊥平面吗
师生活动：师生共同回顾用向量法证明直线与平面垂直的步骤，设直线的方向向量为，平面的法向量为，则.在此基础上，用坐标表示以及平面的一个法向量，进而利用向量的数乘运算解决问题.
追问4：如何根据平面与平面的夹角与两个平面的法向量的关系求出平面与平面的夹角？
师生活动：教师引导学生用向量及坐标表示平面的法向量，进而利用向量的数量积运算，求得平面与平面的法向量的夹角，进而求得这两个平面的夹角.
设计意图：通过例题，让学生进一步体会用向量方法解决空间的位置关系和度量问题的过程、方法，进一步体会用空间向量解决立体几何问题的“坐标法”.
2.单元小结
教师引导学生回顾本单元的学习内容，并回答以下问题：
（1）向量方法解决立体几何问题的基本步骤是什么？你能用一个框图表示吗？
（2）通过本节的学习，你对立体几何中的向量方法是否有了一定的认识？请结合例题和上面的框图谈谈体会.
（3）解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法.你能说出它们各自的特点吗？
师生活动：师生共同梳理总结本单元的学习内容，引导学生画出用向量法解决立体几何问题的一般步骤的“三步曲”的框图，具体如下：
进一步地，在学生回答的基础上，教师指出解决立体几何问题的综合法、向量法、坐标法的特点：综合法通过纯粹的逻辑推理解决问题，向量法利用向量的概念及其运算解决问题，坐标法利用数及其运算来解决问题.坐标法经常与向量法结合起来使用.对于具体的问题，应根据它的条件和所求选择合适的方法.
设计意图：这里的小结既是本节课的小结，也是本单元的小结.目的是从宏观的思想方法和中观的解题步骤方面进行总结，使学生掌握用向量方法解决立体几何问题的一般方法，并通过综合法、向量法、坐标法的比较，认识它们各自的特点，进一步加深对向量法的认识.
3.布置作业
教科书习题1.4第14，15题.
（五）目标检测设计
1.在四面体中，两两垂直，已知，，求直线与平面所成的角.
设计意图：考查利用向量方法解决直线与平面所成的角的能力
2.如图，在四面体中，⊥平面，⊥，，.是的中点，是的中点，点在线段上，且.
（1）证明：∥平面；
（2）若二面角的大小为，求的大小.
设计意图：考查学生利用向量方法解决立体几何中直线与平面所成的角、平面与平面的夹角的能力.
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