《用空间向量研究直线、平面的位置关系》竞赛培优
一、选择题
1.（2019·浙江大学自主招生）如图，点E，F分别是正方体的棱，的中点，点M，N分别是线段上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN的条数为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.无穷多
2.（2019·清华大学自主招生）如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面，线段长度的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
参考答案
一、选择题
1.
答案：B
解析：假设存在满足条件的直线MN，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则。设，
，
。
同理，若设
可得故，
又平面ABCD，解得
即存在满足条件的直线MN，且只有1条。
2.
答案：D
解析：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设。
易知则，
平面，
即
解得，
又知，
，即M是的中点时，取得最小值。
当或1，即M与点C或点重合时，取得最大值。
线段AP长度的取值范围为，故选D。
【点评】以D为原点，建立合适的空间直角坐标系，设出点P与点M的坐标，利用平面，得出点P与点M坐标之间的关系，从而利用两点间的距离公式表示出，最后利用函数思想求的取值范围。
3 / 3《用空间向量研究直线、平面的位置关系》高考通关练
一、选择题
1.（2020·湖北团风中学月考）a，b是两个非零向量，是两个平面，下列命题正确的是（ ）
A.的必要条件是是共面向量
B.是共面向量，则
C.，则
D.与不平行，则不是共面向量
2.（2020·湖北天门联考）已知a为直线的方向向量，为平面a内两共点向量，则下列关系中一定能推出的是（ ）
A.
B.
C.
D.以上均不一定
3.（2020·山西大同一中高二月考）若是平面的一个法向量，且与平面都平行，则向量a等于（ ）
A.
B.
C.
D.
4.(2020·上海十二校联考)如图，已知正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，，M在EF上，且平面BDE，则M点坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.(2020·山西运城期末)已知直线过点，平行于向量，平面过直线与点，则平面的法向量不可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
6.（2020·河北唐山模拟）已知直线的方向向量为，且直线上有一点P不在平面内，平面的一个法向量为则与的位置关系为________。
7.（2020·广东佛山测试）在△ABC中，。若向
量n与平面ABC垂直，且则的坐标为________。
8.（2020·上海浦东一模）已知正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，点N为上一点，则当________时,。
9.（2020·河南高三联考）如图，已知矩形ABCD中，平面ABCD，若在BC上只有一点Q满足，则实数a的值为_______。
三、解答题
10.（2020·河南开封模拟）在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，，分别为棱的中点。
（1）设F是AB的中点，求证：直线平面；
（2）求证：平面平面。
参考答案
一、选择题
1.
答案：A
解析：对于A，B，若，则a，b是共线向量，即为共面向量，所以的必要条件是a，b是共面向量，反之，a，b是共面向量，a与b不一定共线；对于C，可举反例，如用翻开的课本，则也满足条件，此时平面不平行；对于D，由于两平面的位置关系不确定，故也不正确。
2.
答案：D
解析：选项A，B，C都能推出或，但不能确定一定是。
3.
答案：D
解析：由题意，知，即解得
所以。
4.
答案：C
解析：在EF上，不妨设ME的长度为x，则，
，
。
。
设平面DEB的法向量为，易求其中一个法向量为。
有，即，
。。
故选C。
5.
答案：B
解析：，由题意可知平面的法向量应垂直于和a，经验证选项B的向量不满足，故选B。
6.
答案：
解析：因为所以。又因为直线上有一点P不在平面内，所以。
7.
答案：或
解析：。
设与平面ABC垂直，即
可得，
解得或。当时，当时，。
8.
答案：
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，
，
，
解得，即时，。
9.
答案：2
解析：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系。
则，设，，
则。由，得，
即。当，即时，只有一个点Q满足。
三、解答题
10.
答案：见解析
解析：（1）因为，F是AB的中点，所以，△BCF为正三角形。
因为四边形ABCD为等腰梯形，所以，取AF的中点M，连接DM，则，所以。
以DM，DC，所在直线分别作为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，
。
所以，
设平面法向量为，则即
令则。
因为，所以。
又因为直线平面，所以直线平面。
（2）由（1）知设平面的一个法向量为，由得，同理可求得平面的一个法向量为。因为，所以。
所以平面平面。
【点评】证明直线与平面平行只需证明该直线与平面的法向量垂直即可。当两平面的法向量垂直时，两平面互相垂直；当两平面法向量互相平行时，两平面平行。证明中正确求出平面的法向量是关键。
2 / 7《用空间向量研究直线、平面的位置关系》学考达标练
一、选择题
1.（2020·湖北浠水一中单元检测）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A.
B.
C.
D.与斜交
2.（2020·广西南宁二中单元检测）在空间直角坐标系中，过三点的平面的一个法向量是，则（ ）
A.2
B.0
C.1
D.
3.（2020·四川双流中学月考）下列命题中，正确命题的为（ ）
A.若分别是两个不重合平面的法向量，则
B.若分别是平面的法向量，则
C.若是平面的法向量，向量与平面平行，则
D.若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直
4.（2020·浙江杭州二中月考）已知平面内有一点的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
5.（2020·安徽淮南二中单元检测）如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论：
①平面的一个法向量为；
②平面的一个法向量为；
③平面的一个法向量为；
④平面的一个法向量为。
其中正确结论的个数为_________。
6.（2020·湖北仙桃中学月考）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，且。对于结论：
①；
②；
③是平面ABCD的法向量；
④。
其中正确的结论是_____。（填序号）
三、解答题
7.（2020·福建泉州质量检测）如图，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，。
（1）求证：平面平面DCQ；
（2）求证：平面BAQ。
参考答案
一、选择题
1.
答案：B
解析：由题意得，所以，所以，故选B。
2.
答案：B
解析：由题意知因为为平面ABC的一个法向量，所以解得所以。
3.
答案：ABCD
解析：由平面法向量的概念知ABCD均正确。
4.
答案：B
解析：由题意得，排除选项A。同理，可排除选项
C，D。因为，所以。故选B。
二、填空题
5.
答案：2
解析：因为，又，所以平面，所以①正确；因为，而，所以不是平面的法向量，所以②不正确；因为，所以是平面的一个法向量，所以③正确；因为，而，所以（0，1，1）不是平面的法向量，所以④不正确。因此正确结论的个数为2。
6.
答案：①②③
解析：且是平面ABCD的法向量，①②③正确。
不存在实数使成立，不平行，④不正确。
三、解答题
7.
答案：见解析
解析：如图，以点D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系。
（1）依题意有
则，
。
又平面DCQ。
又，平面平面DCQ。
（2）根据题意，
，为平面BAQ的一个法向量。
又，即。
又平面BAQ，平面BAQ。
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