人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何《空间向量的应用》专题精讲课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
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空间向量的应用
---专题精讲
直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量
若、是直线上的任意两点,则为直线的一个方向向量;与平行的任意非零向量也是直线的方向向量.
注意:
①在直线上取有向线段表示的向量,或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量,均为直线的方向向量.
②在解具体立体几何题时,直线的方向向量一般不再叙述而直接应用,可以参与向量运算或向量的坐标运算.
直线的方向向量和平面的法向量
(2)平面的法向量
已知平面,直线,取的方向向量,有,则称为平面的法向量.
注意:
一个平面的法向量不是唯一的,在应用时,可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量,可求出该平面的一个法向量.
直线的方向向量和平面的法向量
(3)平面的法向量确定通常有两种方法
①几何体中有具体的直线与平面垂直,只需证明线面垂直,取该垂线的方向向量即得平面的法向量.
②几何体中没有具体的直线,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下:设出平面的法向量为;
找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标;
根据法向量的定义建立关于的方程组
解方程组,取其中的一个解,即得法向量.由于一个平面的法向量有无数个,故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量.
典例1 已知正方体的棱长为1,在上是否存在点,使成为平面的法向量 若存在,请证明你的结论,并求出点、满足的条件;若不存在,请说明理由.
典型例题
思路
本题求平面的法向量,先建立空间直角坐标系,把需要的点坐标表示出来,然后用坐标表示出向量,最后利用平面法向量与该平面内所有直线都垂直进行分析计算.
解析
建立如图所示的空间直角坐标系,则.设,则.
∵.若是平面的法向量,则.
即满足时,是平面的法向量.故存在,且满足.
用向量方法判定空间中的平行关系
(1)线线平行:设直线的方向向量分别是,则要证明,只需证明,即.
(2)线面平行:线面平行的判定方法一般有三种:
①设直线的方向向量是,平面的法向量是,则要证明,只需证明,即.
②根据线面平行的判定定理:要证明一条直线和一个平面平行,可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.
③根据共面向量定理可知,要证明一条直线和一个平面平行,只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.
用向量方法判定空间中的平行关系
(3)面面平行
①由面面平行的判定定理,要证明面面平行,只要转化为相应的线面平行、线线平行即可.
②若能求出平面的法向量,则要证明,只需证明.
典例2 如图,在正方体中,,分别是的中点.求证:平面.
典型例题
解析
证法一 建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则,.
于是,设平面的法向量是,
则,且,得
思路
本题考查空间向量的应用,利用空间向量证明线面平行,可以通过证平面的一个法向量与直线垂直或这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.
典型例题
取,得.又,∴平面.
证法二 ,
∴平面.
典例2 如图,在正方体中,,分别是的中点.求证:平面.
解析
典例3 正方体的边长为,分别是棱的中点.求证:平面平面.
典型例题
思路
本题考查利用空间向量的知识来证明面面平行,通过建立空间直角坐标系求出平面AMN与平面EFBD的法向量,证明两个法向量相互平行即可.
解析
如图,建立空间直角坐标系,则,
.
∴,.
可见,
∴平面平面.
又平面平面.
用向量方法判定空间的垂直关系
空间中的垂直关系主要是指:线线垂直、线面垂直、面面垂直.
(1)线线垂直
设直线的方向向量分别为,则要证明,只需证明,直.
(2)线面垂直
①设直线的方向向量是,平面的法向量是,则要证明,只需证明.
②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直.
(3)面面垂直
①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直.
②证明两个平面的法向量互相垂直.
典例4 在正方体中,为的中点,为底面的中心,求证:平面.
典型例题
解析
如图,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则,则.
∵,
所以.所以平面.
思路
本题考查利用空间向量证明线面垂直,只要能说明论证直线与平面的一个法向量平行或直线垂直于平面内的两条相交直线即可.
典例5 在正三棱锥中,三条侧棱两两互相垂直,是的重心,分别为、上的点,且,求证:平面平面.
典型例题
解析
证明:如图建立空间直角坐标系.令,则
,.
于是,故,∴.
∵平面平面.
又平面平面平面.
思路
本题考查利用空间向量证明面面垂直,证明平面GEF与平面PBC的法向量互相垂直.
用向量方法求空间角
(1)求异面直线所成的角
已知为两异面直线,与分别是上的任意两点,所成的角为,则.
(2)求直线和平面所成的角
设直线的方向向量为,平面的法向量为,直线与平面所成的角为与的角为,则有.
用向量方法求空间角
(3)求二面角:如图,若于于,平面交于,
则为二面角的平面角,.
若分别为面的法向量,
则二面角的平面角或,即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角.
①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时,二面角的大小等于的夹角的大小.
②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时,二面角的大小等于的夹角的补角的大小.
典例6 如图,在正方体中,点分别是的一个四等分点,求与所成的角的余弦值.
典型例题
解析
设正方体的棱长为1,分别以为单位正交基底建立
空间直角坐标系,
则.
思路
本题考查异面直线成角问题,利用空间向量进行解题,首先建立好空间直角坐标系,把向量用坐标表示出来,通过两个向量夹角余弦值公式分析求解.
典例6 如图,在正方体中,点分别是的一个四等分点,求与所成的角的余弦值.
解析
∴,
,,
,
.
因此,与所成的角的余弦值是.
典型例题
思路
本题属于空间向量的应用的综合题型,首先建立空间直角坐标系,第(1)问利用空间向量的数量积进行说明论证,第(2)问求线面角,正确求解平面的一个法向量,利用两向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值的等量关系进行分析计算.
典例7 四棱锥中,底面为平行四边形,,侧面底面.
(1)证明;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
典型例题
典例7 四棱锥中,底面为平行四边形,,侧面底面.
(1)证明;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
解析
(1)作,垂足为,连结,由侧面底面,
得平面.因为,所以.
又为等腰直角三角形,.
如图,以为坐标原点,为轴正向,建立直角坐标系,∵,∴,所以.
典型例题
解析
(2)取中点中点,连结,则
,.
,
所以平面
典例7 四棱锥中,底面为平行四边形,,侧面底面.
(1)证明;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
典型例题
解析
与的夹角记为与平面所成的角记为,则与互余..,
所以,直线与平面所成的角的正弦值为.
典例7 四棱锥中,底面为平行四边形,,侧面底面.
(1)证明;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
典型例题
典例8 长方体中,,是的中点,在线段上,且是的中点.求:(1)到直线的距离;(2)到平面的距离.
典型例题
解析
如图,建立空间直角坐标系,则,
(1),
在上的射影的模.
思路
本题是一道综合题目,可以借助空间向量解题,正确建立空间直角坐标系,第(1)问,计算出在上的射影即可,第(2)问先分析计算出平面的一个法向量,利用点到平面的距离公式求解.
解析
故到的距离为.
(2)设是平面的某一法向量,则,
∵,∴
因此可取,由于,那么点到平面的距离为:
,故到平面的距离为.
典例8 长方体中,,是的中点,在线段上,且是的中点.求:(1)到直线的距离;(2)到平面的距离.
典型例题