人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 《空间向量及其运算的坐标表示》专题精讲课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
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空间向量及其运算的坐标表示
---专题精讲
空间向量及其运算的坐标表示
1.空间向量的坐标表示
(1)空间直角坐标系
在空间选定一点和一个单位正交基底,以点为原点,分别以的方向为正方向建立三条数轴:轴、轴、z轴,它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系,点叫原点,向量都叫坐标向量.
通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别称为平面,平面,平面.
空间向量及其运算的坐标表示
(2)空间直角坐标系中的坐标
①向量的坐标表示
给定一个空间直角坐标系和向量,其坐标向量为,,若,则有序数组叫做向量在此直角坐标系中的坐标,上式可简记作.
②点的坐标表示
在空间直角坐标系中,对于空间任一点,对应一个向量,则有序数组既表示向量,也叫做点在此空间直角坐标系中的坐标,记为,其中叫做点的横坐标,叫点的纵坐标,叫点的竖坐标.
空间向量及其运算的坐标表示
③若,
.
即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
典例1 在直三棱柱中,为的中点,建立适当的空间直角坐标系,求的坐标.
典型例题
思路
本题考查空间直角坐标系的建立以及其中点和向量的坐标表示,在理解相关概念的基础上进行分析计算.
解析
由已知,从而建立以方向上的单位向量为正交基底的空间直角坐标系,如图,
则,
典例1 在直三棱柱中,为的中点,建立适当的空间直角坐标系,求的坐标.
典型例题
解析
,
故的坐标为.
,
故的坐标为.即.
空间向量及其运算的坐标表示
2.空间向量的坐标运算
3.空间两点的距离公式或空间向量的长度
若,
或.
空间向量及其运算的坐标表示
4.向量加减法、数乘的坐标运算
若,
则:①.
②.
③.
5.向量数量积的坐标运算
若,则:;即:空间两个向量的数量积等于它们的对应坐标的乘积之和.
空间向量及其运算的坐标表示
6.两向量夹角的坐标计算公式及相关概念
若.
(1)
(2)夹角公式可以根据数量积的定义推出:
的范围是.
(3)注意向量方向不同,所得到的角度不同..用此公式求异面直线所成角等角度时,要注意所求角度与的关系(相等,互余,互补).
空间向量及其运算的坐标表示
7.空间向量平行和垂直的条件
若,则
(1),
.
(2).
规定:0与任意空间向量平行或垂直.
作用:证明线线平行、线线垂直.
典例2 已知在空间直角坐标系中.
(1)求;
(2)若点满足,求点的坐标;
(3)若,求.
典型例题
解析
(1)因为,所以.
所以,又,,
所以,又,,所以.
思路
本题考查空间向量的坐标运算,在概括理解坐标运算相关规律的基础上,运用坐标进行向量的加、减运算,数乘运算以及数量积运算,计算求解出结果.
典型例题
解析
(2)由(1)知,,
若设,则,
于是解得故.
典例2 已知在空间直角坐标系中.
(1)求;
(2)若点满足,求点的坐标;
(3)若,求.
典型例题
(3)由(1)知,.
(方法1).
(方法2),
所以(.
典例2 已知在空间直角坐标系中.
(1)求;
(2)若点满足,求点的坐标;
(3)若,求.
解析
典例3 已知空间三点.设.
(1)若,求;
(2)若与互相垂直,求.
典型例题
解析
(1)∵且,∴设.
∴,
解得.
∴或.
思路
本题考查利用向量的位置关系求参数的问题,通过运用空间向量的坐标运算,可以进行分析计算.
典型例题
解析
(2)∵,
∴.
∵,
即,
解得或.
典例3 已知空间三点.设.
(1)若,求;
(2)若与互相垂直,求.
典例4 如图,在直三棱柱中,,棱分别是的中点.
(1)求的长;(2)求的面积.
典型例题
解析
以为原点,以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系(如图).则.
思路
本题考查空间向量坐标运算的应用,利用坐标运算求模,利用坐标运算求夹角,进而求算面积,先建立好空间直角坐标系,然后用坐标正确表示出点和向量,最后利用坐标进行分析计算即可得到.
典例4 如图,在直三棱柱中,,棱分别是的中点.
(1)求的长;(2)求的面积.
典型例题
解析
(1)∵,
∴,
.
故的长为的长为.
典例4 如图,在直三棱柱中,,棱分别是的中点.
(1)求的长;(2)求的面积.
典型例题
解析
(2).
,
∴,
故.即的面积为.